第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示整理ppt基礎(chǔ)梳理1.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

的向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=

.其中

,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解一個(gè)平面向量用一組基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我們稱它為向量a的分解.當(dāng)e1,e2所在直線

時(shí),這種分解稱為向量a的正交分解.不共線有且只有λ1e1+λ2e2不共線的向量e1,e2互相垂直整理ppt(3)平面向量的坐標(biāo)表示①一般地,對(duì)于向量a,當(dāng)它的起點(diǎn)移至原點(diǎn)O時(shí),其終點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)稱為向量a的(直角)坐標(biāo),記作

.②若分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底,則a=xi+yj.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算向量aba+ba－bλa坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2)a=(x,y)（x1+x2,y1+y2)（x1-x2,y1-y2）(λx1,λy1)整理ppt(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2－x1,y2－y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量

的坐標(biāo)減去

的坐標(biāo).(3)平面向量中平行(共線)向量的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,則a與b共線b=,

.終點(diǎn)始點(diǎn)λax1y2-x2y1=0整理ppt基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(必修4P73練習(xí)5改編)已知A(2,3),B(5,3),a=(x+1,x-2y)與相等，則實(shí)數(shù)x,y的值分別是

.2.已知a=(-2,3),b=(1,5),則3a+b=

.3.(2011·湖南雅禮中學(xué)月考)已知點(diǎn)G是△ABC的重心，(λ,μ∈R),那么λ+μ=

.4.(必修4P75練習(xí)1改編)向量a=(2,5)與b=(x,-15)平行,則x=

.5.(必修4P73練習(xí)2改編)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，,∠xOA=60°,則的坐標(biāo)為

.2，1(－5，14)－6整理ppt經(jīng)典例題題型一平面向量基本定理【例1】如圖,在△OAB中,,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)=a,=b,以a、b為基底表示.整理ppt分析：本題可用待定系數(shù)法,設(shè)=ma+nb(m,n∈R),再利用向量的運(yùn)算及共線向量的條件列出方程組,確定m,n的值.解：設(shè)=ma+nb(m,n∈R),則=(m-1)a+nb,.因?yàn)锳,M,D三點(diǎn)共線,所以,即m+2n=1.整理ppt而,,又因?yàn)镃,M,B三點(diǎn)共線,所以,即4m+n=1.由,解得,所以.整理ppt變式1-1如圖所示，OADB是以向量=a,=b為邊的平行四邊形，點(diǎn)C為對(duì)角線AB、OD的交點(diǎn)，又BM=BC,CN=CD,試用a,b表示,,.整理ppt又整理ppt題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8)以及,求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和CD的坐標(biāo).分析：根據(jù)題意可設(shè)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo),然后利用已知的兩個(gè)關(guān)系式列方程組,求出坐標(biāo).整理ppt解：設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由題意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因?yàn)?所以有和解得和所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是(0,4),(-2,0),從而=(-2,-4).整理ppt變式2-1（2010·山東改編）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下，對(duì)任意的a=(m,n),b=(p,q)，令a⊙b=mq－np，則下面說(shuō)法錯(cuò)誤的有

.（寫出所有錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)）①若a與b共線，則a⊙b=0;②a⊙b=b⊙a(bǔ);③對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b).②整理ppt若a與b共線，則有a⊙b=mq-np=0，故①正確；因?yàn)閎⊙a(bǔ)=pn-qm，而a⊙b=mq-np,所以a⊙b≠b⊙a(bǔ)，故②錯(cuò)誤；易證③正確.故應(yīng)該填②.解析：整理ppt題型三平面向量的坐標(biāo)表示【例3】平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k;(2)設(shè)d=(x,y)滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.分析：(1)由兩向量平行的條件得出關(guān)于k的方程,從而求出實(shí)數(shù)k的值.(2)由兩向量平行及|d-c|=1得出關(guān)于x,y的兩個(gè)方程,解方程組即可得出x,y的值,從而求出d.整理ppt解：(1)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=.(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴解得∴整理ppt變式3-1已知梯形ABCD中，,A(1,1),B(3,－2),C(－3,－7),若,求D點(diǎn)坐標(biāo).解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則=(x-1,y-1),=(2,-3),=(x+3,y+7),=(-6,-5),∵,∴2(y+7)+3(x+3)=0,即3x+2y+23=0,又∵,∴(x-1)+10(y-1)=0即x+10y-11=0,由,得∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,2).整理ppt題型四向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,試問(wèn):(1)t為何值時(shí),點(diǎn)P在x軸上?在y軸上?點(diǎn)P在第二象限?(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：利用向量相等，建立點(diǎn)P(x，y)與已知向量之間的關(guān)系，表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定P點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)特征，從而解決問(wèn)題．整理ppt解：(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴＝(1,2)，＝(3,3)，∴

＝(1＋3t,2＋3t)．若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，解得t=－

；若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，解得t＝－；若P在第二象限，則解得－<t<－.(2)∵＝(1,2)，＝(3－3t，3－3t)，若四邊形OABP為平行四邊形，則，而無(wú)解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形．整理ppt變式4-1如圖所示,已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo).解析：方法一：設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，＝(4,4)．∵，共線，∴4x－4y＝0.①又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量、共線，∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②解由①②組成的方程組，得x＝3，y＝3∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．整理ppt方法二：設(shè)

＝t(4,4)＝(4t,4t)，則＝＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，又＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，由，共線的充要條件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝，∴＝(4t,4t)＝(3,3)，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)．整理ppt易錯(cuò)警示【例】已知點(diǎn)A(1,2),點(diǎn)B(3,6),則與AB共線的單位向量為

.錯(cuò)解由A(1,2),B(3,6)知,∴.錯(cuò)解分析與共線有兩種情況:一是同向共線,一是反向共線,“錯(cuò)解”中忽略了反向共線這一情況.正解整理ppt解析：與同向時(shí)為