西南財經大學省級精品課程《經濟管理數學分析》課題組版權所有請勿外傳1西南財經大學1第十六章多元函數的極限與連續§2二元函數的極限§3二元函數的連續性§1平面點集與多元函數經濟管理數學分析2第十六章多元函數的極限與連續§2二元函數的極限§3§1平面點集與多元函數第十六章多元函數的極限與連續3§1平面點集與多元函數第十六章多元函數的極限與連續3一平面點集1.平面點集的基本概念(P85)第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數4一平面點集1.平面點集的基本概念(P85)第十六章多元2.點與點集的關系Ⅰ(按內外關系)：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數52.點與點集的關系Ⅰ(按內外關系)：第十六章多元函數的極限與x+y=0xyO如圖D1例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}：易見，直線上方每一點都是D1的內點.但直線上的點不是D1的內點.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數6x+y=0xyO如圖D1例如，平面點集D1={(xyOx2+y2=111D2易知，圓內部的每一點都是D2

的內點.但圓周上的點不是D2

的內點.又如，平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}，如圖：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數7xyOx2+y2=111D2易知，圓內其中CE=R2\E是E關于全平面的余集，E

的全體界點所成集合稱為E

的邊界，記作E.例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}的邊界是直線x+y=0上點的全體.平面點集D2={(x,y)|x2+y2

1}的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點的全體.如圖所示：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數8其中CE=R2\E是E關于全平面的余集，E的全體界點所成集xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOE的界點可以是E

中的點，也可以不是E

中的點.D1例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}的邊界是直線x+y=0上點的全體.平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點的全體.如圖所示：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數9xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyO

從幾何上看，所謂A是E的聚點是指在A的附近聚集了無限多個E中的點.即在A的任意近旁都有無限多個E中的點.A如圖所示3.點與點集的關系Ⅱ(按疏密關系)：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數10從幾何上看，所謂A是E的聚點是指在A的附近聚D1的界點是D1的聚點，但它不屬于D1；D2

的界點是D2的聚點，但它屬于D2.例如,

平面點集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}如圖所示：xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOD1第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數11D1的界點是D1的聚點，但它不屬于D1第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數12第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數12例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}是開集.平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}不是開集.xyOE一般地，E如右圖所示：若E不包含邊界，則E為開集.若E包含邊界，則E不是開集.4.一些重要的平面點集第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數13例如，平面點集D1={(x,y)|如圖XYE連通YXE不連通例如,

平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是閉集.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數14如圖XYE連通YXE不連通例如,平面點集D2=從幾何上看，閉區域是連成一片的，包括邊界的平面點集.從幾何上看，所謂E是連通集，是指E是連成一片的，E中的點都可用折線連接.例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}都是連通集.例如，平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是閉區域.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數15從幾何上看，閉區域是連成一片的，包括邊界的平面點集.例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}是無界集，它是無界開區域，而平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是有界集，它是有界閉區域.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數16例如，平面點集D1={(x,y)|第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數17第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數17第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數18第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數18點集D—定義域，—值域.x、y

—自變量，z—因變量.函數的兩個要素:定義域、對應法則.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數19點集D—定義域，—值域.x、y—自變量，z—因變量與一元函數相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.解所求定義域為第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數其中D為有界半開半閉區域.20與一元函數相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算二元函數

z=f(x,y)的幾何意義如圖所示設函數z=f(x,y)的定義域為D，對于任意取定的(x,y)∈D

，對應的函數值為z=f(x,y).以x為橫坐標、y為縱坐標、z為豎坐標在空間就確定一點M(x,y,z)，當(x,y)取遍D上一切點時，得一個空間點集{(x,y,z)|

z=f(x,y),(x,y)∈D}

，二元函數的圖形通常是一張曲面.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數21二元函數z=f(x,y)的幾何意義如圖所示例如，1.

z=ax+by+c

——一張平面，如圖Oxyz

——球心在(0，0，0)，半徑

為R的上半球球面S，如圖ROxyzS第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數22例如，1.z=ax+by+c——頂點在原點，位于xoy面上方的園錐面SOxyzSOyzxS——雙曲拋物面(馬鞍面)S注與例4(P91)的區別第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數23——頂點在原點，位于xoy面上方的園錐面第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數24第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數242525西南財經大學省級精品課程《經濟管理數學分析》課題組版權所有請勿外傳26西南財經大學1第十六章多元函數的極限與連續§2二元函數的極限§3二元函數的連續性§1平面點集與多元函數經濟管理數學分析27第十六章多元函數的極限與連續§2二元函數的極限§3§1平面點集與多元函數第十六章多元函數的極限與連續28§1平面點集與多元函數第十六章多元函數的極限與連續3一平面點集1.平面點集的基本概念(P85)第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數29一平面點集1.平面點集的基本概念(P85)第十六章多元2.點與點集的關系Ⅰ(按內外關系)：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數302.點與點集的關系Ⅰ(按內外關系)：第十六章多元函數的極限與x+y=0xyO如圖D1例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}：易見，直線上方每一點都是D1的內點.但直線上的點不是D1的內點.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數31x+y=0xyO如圖D1例如，平面點集D1={(xyOx2+y2=111D2易知，圓內部的每一點都是D2

的內點.但圓周上的點不是D2

的內點.又如，平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}，如圖：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數32xyOx2+y2=111D2易知，圓內其中CE=R2\E是E關于全平面的余集，E

的全體界點所成集合稱為E

的邊界，記作E.例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}的邊界是直線x+y=0上點的全體.平面點集D2={(x,y)|x2+y2

1}的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點的全體.如圖所示：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數33其中CE=R2\E是E關于全平面的余集，E的全體界點所成集xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOE的界點可以是E

中的點，也可以不是E

中的點.D1例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}的邊界是直線x+y=0上點的全體.平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點的全體.如圖所示：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數34xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyO

從幾何上看，所謂A是E的聚點是指在A的附近聚集了無限多個E中的點.即在A的任意近旁都有無限多個E中的點.A如圖所示3.點與點集的關系Ⅱ(按疏密關系)：第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數35從幾何上看，所謂A是E的聚點是指在A的附近聚D1的界點是D1的聚點，但它不屬于D1；D2

的界點是D2的聚點，但它屬于D2.例如,

平面點集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}如圖所示：xyO11x2+y2=1D2x+y=0xyOD1第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數36D1的界點是D1的聚點，但它不屬于D1第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數37第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數12例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}是開集.平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}不是開集.xyOE一般地，E如右圖所示：若E不包含邊界，則E為開集.若E包含邊界，則E不是開集.4.一些重要的平面點集第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數38例如，平面點集D1={(x,y)|如圖XYE連通YXE不連通例如,

平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是閉集.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數39如圖XYE連通YXE不連通例如,平面點集D2=從幾何上看，閉區域是連成一片的，包括邊界的平面點集.從幾何上看，所謂E是連通集，是指E是連成一片的，E中的點都可用折線連接.例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}和D2

={(x,y)|x2+y2

1}都是連通集.例如，平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是閉區域.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數40從幾何上看，閉區域是連成一片的，包括邊界的平面點集.例如，平面點集D1={(x,y)|x+y>0}是無界集，它是無界開區域，而平面點集D2

={(x,y)|x2+y2

1}是有界集，它是有界閉區域.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數41例如，平面點集D1={(x,y)|第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數42第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數17第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數43第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數18點集D—定義域，—值域.x、y

—自變量，z—因變量.函數的兩個要素:定義域、對應法則.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數44點集D—定義域，—值域.x、y—自變量，z—因變量與一元函數相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.解所求定義域為第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數其中D為有界半開半閉區域.45與一元函數相類似，對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算二元函數