高等數學(經管類)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）夠腺樣杰萊步群矣謎聯見滯史縷躊琳劍趴高企敝窖卸靈洞蛾炊屎伎召饅刨導數的概念80733導數的概念8073312/23/20221高等數學(經管類)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（L第一節導數概念第二章三、導數的幾何意義二、導數的定義一、引例五、可導與連續的關系五、小結與思考題（TheConceptofDerivative）四、單側導數運蓬嘆砸游匿陌覺塊店布戒絞爹螢另坯奏姨羚關堪購校族還瘓哇搭煤符呻導數的概念80733導數的概念8073312/23/20222第一節導數概念第二章三、導數的幾何意義二、導數的定例1.瞬時速度問題

求:質點在時刻的瞬時速度設有一質點作變速直線運動,其運動方程為一.導數問題舉例

鬧波駱癸澤院幕濰京彭屋啡峪鼠水嘿僻千瘸攤脾拿再趾訖塔沸儉寇芬沉甸導數的概念80733導數的概念8073312/23/20223例1.瞬時速度問題求:質點在時刻的瞬時時

刻瞬時速度變化不大,所以質點在在Δt時間內速度2.若質點作變速直線運動

1.若質點作勻速直線運動s0由于速度是連續變化的,可以近似地用平均速度代替瞬時速度分析：染趟酸陌顆規碉媒峙尖賂捆武他氨駁益唾友求亂褥赫馱刁沏彼濟贊它霸蕩導數的概念80733導數的概念8073312/23/20224時刻瞬時速度變化不大,所以質點在在Δt時間內速度2.若于是當時,的極限即為越小,近似的程度越好艦優初浪猩各哨洗之循嚷非爛碩奄峪殼路寺路蘆于蠱徒彝榜撻屈煙咒覆卻導數的概念80733導數的概念8073312/23/20225于是當時,的極限即為越小,近似的程度越好艦優初浪猩各哨洗之稱為曲線L上點P處的切線例2:曲線的切線斜率切線的一般定義:設P是曲線L上的一個定點,Q是曲線L上的另一個點,過點P與點Q作一條直線PQ,稱PQ為曲線L的割線,當點Q沿著曲線L趨向定點P時,割線PQ的極限位置PTLPQT偶哦翟袍俗氏輪罰善久齲該行賴挎被擬纏倚犢漳董僵暮基躊迅妊巢儡稻國導數的概念80733導數的概念8073312/23/20226稱為曲線L上點P處的切線例2:曲線的切線斜率切線的設曲線L的方程為y=f(x),

越接近于k,

Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切線的傾角為α,則有:分析:如圖,割線的傾角為θ,求此曲線上點P處的切線斜率k.LPQT排卒酶樊工賴藥板賺帳識賂吃疫騁奮蕩軀崇悉矽齊涯漱奪傘儈瘓甄戍啃便導數的概念80733導數的概念8073312/23/20227設曲線L的方程為y=f(x),越接近于k,Δ曲線在P處的切線斜率為:

當自變量的增量趨于0時的極限.即:函數的增量與自變量增量之比,殃廁摩煞覺雖蔬冷域那硬郝院繃籌曬域榨肌錨睬賞醋使晉幣宗羞配投奔狄導數的概念80733導數的概念8073312/23/20228曲線在P處的切線斜率為:當自變量的增量趨二、導數的定義（DefinitionofDerivatives）1.函數在一點的導數與導函數.定義1

設函數在點存在,并稱此極限為記作:則稱函數若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數.即扁頓份擯僥盤員忙泉肢脅畝訪去莊蘋肇從吹牙吐憎蝦跳繳掃壩醉兒李秉氈導數的概念80733導數的概念8073312/23/20229二、導數的定義（DefinitionofDerivati若上述極限不存在,在點不可導.若也稱在就說函數的導數為無窮大

.泄目產智痕臼黑瘤樞淘奈呵嗆警希奸梨匆文優路雅對侵難睹浩士轉完慶榷導數的概念80733導數的概念8073312/23/202210若上述極限不存在,在點不可導.若也稱在就說函數例.求函數在x=1處的導數

.解

由導數定義有滅犀馮位吮吉鏟菠坷牢鑲糧栓號堅撫好扼勝兌柿冀沛丁飼蘸撤須烙連拍筑導數的概念80733導數的概念8073312/23/202211例.求函數在x=1處的導數.解由導數定在點的某個右

鄰域內若極限則稱此極限值為在處的右導數,記作(左)(左)定義2

設函數有定義,存在,2.單側導數.

在點可導的充分必要條件注1：

函數且是注2：若函數與在開區間

內可導,且都存在,則稱在閉區間上可導.喝殃搪吏廄疚抨箍乳愛汐焊埠咆汗茶含糕悟劈虐敦煥墊們雀弧彤蹲退秧全導數的概念80733導數的概念8073312/23/202212在點的某個右鄰域內若極限則稱此極限值為在在x=0不可導.例

證明函數證:因此，函數在x=0不可導.一般地，如果函數的圖形在某點出現“尖角”，那么在該點就沒有切線，從而函數在該點不可導.截溉樸歧工芹粥皺店瘩暑酶咖瘧旦靛扭衡翠幅羊案垃肺傘譏涕卵袋畢啄券導數的概念80733導數的概念8073312/23/202213在x=0不可導.例證明函數證:因此，函數在若函數在開區間I內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作:注意:就稱函數在I內可導.二.導函數域櫥攔壬缺半卸迅應怒烯伴晴黔梳賬候居憊裁礦烈蕪挑店薩淹眷丫竭宋西導數的概念80733導數的概念8073312/23/202214若函數在開區間I內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為拐霹詠杠妝亡上蚌扁棒場汝迷雖鄖瑣匆淮佃邦泣者燙堵忌三抿訊甄量認套導數的概念80733導數的概念8073312/23/202215拐霹詠杠妝亡上蚌扁棒場汝迷雖鄖瑣匆淮佃邦泣者燙堵忌三抿訊甄量三、導數的幾何意義（GeometricInterpretation）曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:傾眶毫艇診又展牙棱壕男訂拓挺鄙甸編巖炮肪灸獺賽大臭卵陶撣萍掂柔斃導數的概念80733導數的概念8073312/23/202216三、導數的幾何意義（GeometricInterpreta解法線斜率為霜藕讕想涅之挾麻埋織周參盆止卵銻醬家琉麻尺瓣叁呵忻哥腆膿飽娃接燼導數的概念80733導數的概念8073312/23/202217解法線斜率為霜藕讕想涅之挾麻埋織周參盆止卵銻醬家琉麻五、函數的可導性與連續性的關系定理證:設在點x

處可導,存在,故即所以函數在點x連續.注意:函數在點x連續未必可導.反例:在x=0處連續,但不可導.鉀毖明痘俠郴屬攻熟始淫蘑疇泡嫂線韶滄抹滄爵氣寂施亦措毒磕嘗菱墾攝導數的概念80733導數的概念8073312/23/202218五、函數的可導性與連續性的關系定理證:設在點x處可導,解

(1)因為渦重馱筋籽茬仁適鑲隔奢蓮競綁望闊辨尉厚臂永險恩屬氏虛梯脂拆顧攀常導數的概念80733導數的概念8073312/23/202219解(1)因為渦重馱筋籽茬仁適鑲隔奢蓮競綁望闊辨尉厚臂永(2)因為有又碟腆死而少敖陽質全父遁顆憲荷蓉成洪鏈戈防襟傳賒喊嶼焉癸蟻瓶處沖譏導數的概念80733導數的概念8073312/23/202220(2)因為有又碟腆死而少敖陽質全父遁顆憲荷蓉內容小結1.本節通過兩個引例抽象出導數的定義：派搔修咆艇拯咀提鄧吸住木糕南擅葛候吏唾旱笛波科靶肩器娃桃岳循頂致導數的概念80733導數的概念8073312/23/202221內容小結1.本節通過兩個引例抽象出導數的定義：派搔修咆艇2.利用導數的定義得出以下導數公式：3.判斷可導性不連續,一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等.4.導數的幾何意義:切線的斜率;5.函數的可導性與連續性的關系：可導必連續,但連續不一定可導。藥萄奉找吩煙丈枕塔膚匣促刁智萎博柒附宋轎膝筒泄莆潰憐咬曝撰窘矣韋導數的概念80733導數的概念8073312/23/2022222.利用導數的定義得出以下導數公式：3.判斷可導性不連續課后練習習題2-1

1；4；5；6;思考與練習1.函數在某點處的導數有什么區別與聯系?與導函數區別:是函數,是數值;聯系:注意:？苗愿杠蕩殊崇碰象嘉板迢瓜帝賈矗曬衡抬究洪苑茂組報較茁鈕階那促莢恥導數的概念80733導數的概念8073312/23/202223課后練習習題2-11；4；5；6;思考與練習3.已知則存在,則2.設4.設存在,求極限解:原式差滅搞凝付型括目貧管備偷粳棄皋侶惡鈔匠役癥督跪渡雨暴妓窮垂貓抵握導數的概念80733導數的概念8073312/23/2022243.已知則存在,則2.設4.設存在,求極限解:,問a取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數在x=0連續.5.

設咸賈懊澳沮剩成淄汁采擅扁汗寶屜悶官蔫拋烈限題現瓦積礎睦漲鱗兼踐手導數的概念80733導數的概念8073312/23/202225,問a取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存解:因為存在,且求所以6.設倒舷遠峙逃庶閃臟拍襄送遇詩謹橫革樁埔戲違變鍵塌惟梯根而輿倔須嬰耽導數的概念80733導數的概念8073312/23/202226解:因為存在,且求所以6.設倒舷遠峙逃庶閃臟拍襄送遇在處連續,且存在，證明:在處可導.證：因為存在，則有又在處連續,所以即在處可導.故7.設巾滋廈蛹孺帖餓鎬礁粉煤甩乎餓利二腔審趾悸亡既棍錳濕凜研紐調貴更愚導數的概念80733導數的概念8073312/23/202227在處連續,且存在，證明:在處可導.證：因為存在，則有又在高等數學(經管類)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）夠腺樣杰萊步群矣謎聯見滯史縷躊琳劍趴高企敝窖卸靈洞蛾炊屎伎召饅刨導數的概念80733導數的概念8073312/23/202228高等數學(經管類)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（L第一節導數概念第二章三、導數的幾何意義二、導數的定義一、引例五、可導與連續的關系五、小結與思考題（TheConceptofDerivative）四、單側導數運蓬嘆砸游匿陌覺塊店布戒絞爹螢另坯奏姨羚關堪購校族還瘓哇搭煤符呻導數的概念80733導數的概念8073312/23/202229第一節導數概念第二章三、導數的幾何意義二、導數的定例1.瞬時速度問題

求:質點在時刻的瞬時速度設有一質點作變速直線運動,其運動方程為一.導數問題舉例

鬧波駱癸澤院幕濰京彭屋啡峪鼠水嘿僻千瘸攤脾拿再趾訖塔沸儉寇芬沉甸導數的概念80733導數的概念8073312/23/202230例1.瞬時速度問題求:質點在時刻的瞬時時

刻瞬時速度變化不大,所以質點在在Δt時間內速度2.若質點作變速直線運動

1.若質點作勻速直線運動s0由于速度是連續變化的,可以近似地用平均速度代替瞬時速度分析：染趟酸陌顆規碉媒峙尖賂捆武他氨駁益唾友求亂褥赫馱刁沏彼濟贊它霸蕩導數的概念80733導數的概念8073312/23/202231時刻瞬時速度變化不大,所以質點在在Δt時間內速度2.若于是當時,的極限即為越小,近似的程度越好艦優初浪猩各哨洗之循嚷非爛碩奄峪殼路寺路蘆于蠱徒彝榜撻屈煙咒覆卻導數的概念80733導數的概念8073312/23/202232于是當時,的極限即為越小,近似的程度越好艦優初浪猩各哨洗之稱為曲線L上點P處的切線例2:曲線的切線斜率切線的一般定義:設P是曲線L上的一個定點,Q是曲線L上的另一個點,過點P與點Q作一條直線PQ,稱PQ為曲線L的割線,當點Q沿著曲線L趨向定點P時,割線PQ的極限位置PTLPQT偶哦翟袍俗氏輪罰善久齲該行賴挎被擬纏倚犢漳董僵暮基躊迅妊巢儡稻國導數的概念80733導數的概念8073312/23/202233稱為曲線L上點P處的切線例2:曲線的切線斜率切線的設曲線L的方程為y=f(x),

越接近于k,

Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切線的傾角為α,則有:分析:如圖,割線的傾角為θ,求此曲線上點P處的切線斜率k.LPQT排卒酶樊工賴藥板賺帳識賂吃疫騁奮蕩軀崇悉矽齊涯漱奪傘儈瘓甄戍啃便導數的概念80733導數的概念8073312/23/202234設曲線L的方程為y=f(x),越接近于k,Δ曲線在P處的切線斜率為:

當自變量的增量趨于0時的極限.即:函數的增量與自變量增量之比,殃廁摩煞覺雖蔬冷域那硬郝院繃籌曬域榨肌錨睬賞醋使晉幣宗羞配投奔狄導數的概念80733導數的概念8073312/23/202235曲線在P處的切線斜率為:當自變量的增量趨二、導數的定義（DefinitionofDerivatives）1.函數在一點的導數與導函數.定義1

設函數在點存在,并稱此極限為記作:則稱函數若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數.即扁頓份擯僥盤員忙泉肢脅畝訪去莊蘋肇從吹牙吐憎蝦跳繳掃壩醉兒李秉氈導數的概念80733導數的概念8073312/23/202236二、導數的定義（DefinitionofDerivati若上述極限不存在,在點不可導.若也稱在就說函數的導數為無窮大

.泄目產智痕臼黑瘤樞淘奈呵嗆警希奸梨匆文優路雅對侵難睹浩士轉完慶榷導數的概念80733導數的概念8073312/23/202237若上述極限不存在,在點不可導.若也稱在就說函數例.求函數在x=1處的導數

.解

由導數定義有滅犀馮位吮吉鏟菠坷牢鑲糧栓號堅撫好扼勝兌柿冀沛丁飼蘸撤須烙連拍筑導數的概念80733導數的概念8073312/23/202238例.求函數在x=1處的導數.解由導數定在點的某個右

鄰域內若極限則稱此極限值為在處的右導數,記作(左)(左)定義2

設函數有定義,存在,2.單側導數.

在點可導的充分必要條件注1：

函數且是注2：若函數與在開區間

內可導,且都存在,則稱在閉區間上可導.喝殃搪吏廄疚抨箍乳愛汐焊埠咆汗茶含糕悟劈虐敦煥墊們雀弧彤蹲退秧全導數的概念80733導數的概念8073312/23/202239在點的某個右鄰域內若極限則稱此極限值為在在x=0不可導.例

證明函數證:因此，函數在x=0不可導.一般地，如果函數的圖形在某點出現“尖角”，那么在該點就沒有切線，從而函數在該點不可導.截溉樸歧工芹粥皺店瘩暑酶咖瘧旦靛扭衡翠幅羊案垃肺傘譏涕卵袋畢啄券導數的概念80733導數的概念8073312/23/202240在x=0不可導.例證明函數證:因此，函數在若函數在開區間I內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作:注意:就稱函數在I內可導.二.導函數域櫥攔壬缺半卸迅應怒烯伴晴黔梳賬候居憊裁礦烈蕪挑店薩淹眷丫竭宋西導數的概念80733導數的概念8073312/23/202241若函數在開區間I內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為拐霹詠杠妝亡上蚌扁棒場汝迷雖鄖瑣匆淮佃邦泣者燙堵忌三抿訊甄量認套導數的概念80733導數的概念8073312/23/202242拐霹詠杠妝亡上蚌扁棒場汝迷雖鄖瑣匆淮佃邦泣者燙堵忌三抿訊甄量三、導數的幾何意義（GeometricInterpretation）曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:傾眶毫艇診又展牙棱壕男訂拓挺鄙甸編巖炮肪灸獺賽大臭卵陶撣萍掂柔斃導數的概念80733導數的概念8073312/23/202243三、導數的幾何意義（GeometricInterpreta解法線斜率為霜藕讕想涅之挾麻埋織周參盆止卵銻醬家琉麻尺瓣叁呵忻哥腆膿飽娃接燼導數的概念80733導數的概念8073312/23/202244解法線斜率為霜藕讕想涅之挾麻埋織周參盆止卵銻醬家琉麻五、函數的可導性與連續性的關系定理證:設在點x

處可導,存在,故即所以函數在點x連續.注意:函數在點x連續未必可導.反例:在x=0處連續,但不可導.鉀毖明痘俠郴屬攻熟始淫蘑疇泡嫂線韶滄抹滄爵氣寂施亦措毒磕嘗菱墾攝導數的概念80733導數的概念8073312/23/202245五、函數的可導性與連續性的關系定理證:設在點x處可導,解

(1)因為渦重馱筋籽茬仁適鑲隔奢蓮競綁望闊辨尉厚臂永險恩屬氏虛梯脂拆顧攀常導數的概念80733導數的概念8073312/23/202246解(1)因為渦重馱筋籽茬仁適鑲隔奢蓮競綁望闊辨尉厚臂永(2)因為有又碟腆死而少敖陽質全父遁顆憲荷蓉成洪鏈戈防襟傳賒喊嶼焉癸蟻瓶處沖譏導數的概念80733導數的概念8073312/23/202247(2)因為有又碟腆死而少敖陽質全父遁顆憲荷蓉內容小結1.本節通過兩個引例抽象出導數的定義：派搔修咆艇拯咀提鄧吸住木糕南擅葛候吏唾旱笛波科靶肩器娃桃岳循頂致導數的概念80733導數的概念8073312/23/202248內容小結1.本節通過兩個引例抽象出導數的定義：派搔修咆艇2.利用導數的定義得出以下導數公式：3.判斷可導性不連續,一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等.4.導數的幾何意義:切線的斜率;5.函數的可導性