所有：中華資源庫.ziyuanku..z圓錐曲線中離心率及其圍的求解專題【高考要求】1．熟練掌握三種圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質，并靈活運用它們解決相關的問題。2．掌握解析幾何中有關離心率及其圍等問題的求解策略；3．靈活運用教學中的一些重要的思想方法〔如數形結合的思想、函數和方程的思想、分類討論思想、等價轉化的思想學〕解決問題。【熱點透析】與圓錐曲線離心率及其圍有關的問題的討論常用以下方法解決：〔1〕結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系；〔2〕不等式〔組〕求解法：利用題意結合圖形〔如點在曲線等〕列出所討論的離心率〔a,b,c〕適合的不等式〔組〕，通過解不等式組得出離心率的變化圍；〔3〕函數值域求解法：把所討論的離心率作為一個函數、一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求離心率的變化圍。〔4〕利用代數根本不等式。代數根本不等式的應用，往往需要創造條件，并進展巧妙的構思；〔5〕結合參數方程，利用三角函數的有界性。直線、圓或橢圓的參數方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于：①通過參數θ簡明地表示曲線上點的坐標；②利用三角函數的有界性及其變形公式來幫助求解圍等問題；〔6〕構造一個二次方程，利用判別式0。2.解題時所使用的數學思想方法。〔1〕數形結合的思想方法。一是要注意畫圖，草圖雖不要求準確，但必須正確，特別是其中各種量之間的大小和位置關系不能倒置；二是要會把幾何圖形的特征用代數方法表示出來，反之應由代數量確定幾何特征，三要注意用幾何方法直觀解題。〔2〕轉化的思想方漢。如方程與圖形間的轉化、求曲線交點問題與解方程組之間的轉化，實際問題向數學問題的轉化，動點與不動點間的轉化。〔3〕函數與方程的思想，如解二元二次方程組、方程的根及根與系數的關系、求最值中的一元二次函數知識等。〔4〕分類討論的思想方法，如對橢圓、雙曲線定義的討論、對三條曲線的標準方程的討論等。【題型分析】1.雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線的頂點在原點，準線與雙曲線的左準線重合，假設雙曲線與拋物線的交點滿足，則雙曲線的離心率為〔〕A． B． C． D．解：由可得拋物線的準線為直線，∴方程為；由雙曲線可知，∴，∴，∴，．2．橢圓〔〕的兩個焦點分別為、，以、為邊作正三角形，假設橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率為〔B〕A．B．C．D．解析：設點為橢圓上且平分正三角形一邊的點，如圖，由平面幾何知識可得，所以由橢圓的定義及得：，應選B．變式提醒：如果將橢圓改為雙曲線，其它條件不變，不難得出離心率．3.〔09理〕過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．假設，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．【解析】對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B，C，，，因此．答案：C4.〔09理〕過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，假設，則橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．【解析】因為，再由有從而可得，應選B5.〔08理〕雙曲線〔，〕的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，假設垂直于軸，則雙曲線的離心率為〔B〕A． B． C． D．6.〔08理〕假設雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是〔D〕〔A〕3〔B〕5〔C〕〔D〕7.〔08全國一理〕在中，，．假設以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率．8.〔10文〕設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，則此雙曲線的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：選D.不妨設雙曲線的焦點在軸上，設其方程為：，則一個焦點為一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，，，解得.9.〔10全國卷1理〕F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且＝2，則C的離心率為________．解析：答案：eq\f(\r(3),3)如圖，設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)不妨設B為上頂點，F為右焦點，設D(*，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(*－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在橢圓上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.【解析1】如圖，,作軸于點D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得【解析2】設橢圓方程為第一標準形式，設，F分BD所成的比為2，，代入，10.〔07全國2理〕設分別是雙曲線的左、右焦點，假設雙曲線上存在點，使且，則雙曲線的離心率為〔B〕A．B． C． D．解11.橢圓的左焦點為F，假設過點F且傾斜角為的直線與橢圓交于A、B兩點且F分向量BA的比為2/3，橢圓的離心率e為:。此題通法是設直線方程，將其與橢圓方程聯立，借助韋達定理將向量比轉化為橫坐標的比。思路簡單，運算繁瑣。下面介紹兩種簡單解法。解法〔一〕：設點A，B，由焦半徑公式可得，則，變形，所以因為直線傾斜角為，所以有，所以提示：本解法主要運用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉化為橫坐標的關系。焦半徑是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運用它解題，可以化繁為簡，提高解題效率。一般來說，如果題目中涉及的弦如果為焦點弦，應優先考慮焦半徑公式。解法〔二〕：12.〔10理〕(20)〔本小題總分值12分〕設橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.橢圓C的離心率；解：設，由題意知＜0，＞0.〔Ⅰ〕直線l的方程為，其中.聯立得解得因為，所以.即得離心率.……6分13.A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，假設橢圓上存在一點P，使∠OPA=,則橢圓離心率的圍是_________.解析：設橢圓方程為=1(a＞b＞0),以OA為直徑的圓：*2－a*+y2=0,兩式聯立消y得*2－a*+b2=0.即e2*2－a*+b2=0,該方程有一解*2,一解為a,由韋達定理*2=－a,0＜*2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.答案：＜e＜114.在橢圓上有一點M，是橢圓的兩個焦點，假設，橢圓的離心率的取值圍是;解析:由橢圓的定義，可得又，所以是方程的兩根，由，可得，即所以，所以橢圓離心率的取值圍是15.〔08〕假設雙曲線〔a＞0,b＞0〕上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值圍是A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 解析由題意可知即解得應選B.16.〔07〕橢圓的焦點為，，兩條準線與軸的交點分別為，假設，則該橢圓離心率的取值圍是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解析由題意得∴應選D.17.〔07〕設分別是橢圓〔〕的左、右焦點，假設在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值圍是〔〕A． B． C． D.分析通過題設條件可得，求離心率的取值圍需建立不等關系，如何建立.解析：∵線段的中垂線過點，∴，又點P在右準線上，∴即∴∴，應選D.點評建立不等關系是解決問題的難點，而借助平面幾何知識相對來說比擬簡便.18.〔08理〕雙曲線〔a＞0,b＞0〕的兩個焦點為F1、F2,假設P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值圍為〔B〕A.(1,3) B. C.(3,+) D.分析求雙曲線離心率的取值圍需建立不等關系，題設是雙曲線一點與兩焦點之間關系應想到用雙曲線第一定義.如何找不等關系呢.利用第二定義及焦半徑判斷解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，應選B.解2如圖2所示，設，，.當點P在右頂點處有.∵，∴.選B.小結此題通過設角和利用余弦定理，將雙曲線的離心率用三角函數的形式表示出來，通過求角的余弦值的圍，從而求得離心率的圍.點評：此題建立不等關系是難點，如果記住一些雙曲線重要結論〔雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小于〕則可建立不等關系使問題迎刃而解.19.〔08理〕、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓部，則橢圓離心率的取值圍是〔C〕A．B．C．D．解據題意可知，∠M是直角，則垂足M的軌跡是以焦距為直徑的圓.所以.又，所以.選C.小結此題是最常見的求離心率圍的問題，其方法就是根據條件，直接列出關于a，b，c間的不等量關系，然后利用a，b，c間的平方關系化為關于a，c的齊次不等式，除以即為關于離心率e的一元二次不等式，解不等式，再結合橢圓或雙曲線的離心率的圍，就得到了離心率的取值圍.20.〔04〕雙曲線的左，右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：()ABCD∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，應選B.21.，分別為的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，假設的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值圍是〔〕ABCD解析，欲使最小值為，需右支上存在一點P，使，而即所以.22.橢圓右頂為A,點P在橢圓上，O為坐標原點，且OP垂直于PA，橢圓的離心率e的取值圍是;。解：設P點坐標為〔〕,則有消去得假設利用求根公式求運算復雜，應注意到方程的一個根為a,由根與系數關系知由得23.橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使.求橢圓離心率的取值圍；解析設……①將代入①得求得.點評：中，是橢圓中建立不等關系的重要依據，在求解參數圍問題中經常使用，應給予重視.24.〔06〕雙曲線的右焦點為F，假設過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值圍是 〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析欲使過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，∴≥，即即∴即應選C.25.〔04全國Ⅰ〕設雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.求雙曲線C的離心率e的取值圍：解析由C與相交于兩個不同的點，故知方程組有兩個不同的實數解.消去y并整理得〔1－a2〕*2+2a2*－2a2所以解得雙曲線的離心率：∴所以雙曲線的離心率取值圍是總結：在求解圓錐曲線離心率取值圍時，一定要認真分析題設條件，合理建立不等關系，把握好圓錐曲線的相關性質，記住一些常見結論、不等關系，在做題時不斷總結，擇優解題.尤其運用數形結合時要注意焦點的位置等.26．設分別是橢圓〔〕的左、右焦點，假設在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值圍是〔D〕A． B． C．D．27.〔09卷文〕橢圓的左、右焦點分別為，假設橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值圍為．【答案】.解法1，因為在中，由正弦定理得則由，得，即設點由焦點半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質知，整理得解得，故橢圓的離心率28.〔10理〕橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點，即F點到P點與A點的距離相等而|FA|＝，|PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴又e∈(0,1)故e∈答案：D29．梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點E滿足，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當時，雙曲線離心率e的取值圍是：。分析：顯然，我們只要找到e與的關系，然后利用解不等式或求函數的值域即可求出e的圍。解：如圖4，建立坐標系，這時CD⊥y軸，因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱。依題意，記A(-C,0)，C(h)，E(*0,y0),其中c=為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。AOB*DCyE圖4由,即(*0+c,y0)=(-*0,h-y0)得:*0=.設雙曲線的方程為,則離心率e=。由點C、E在雙曲線上,將點C、E的坐標和e=代入雙曲線的方程得AOB*DCyE圖4將〔1〕式代入〔2〕式,整理得(4-4)=1+2,故=1.依題設得,解得.所以雙曲線的離心率的取值圍是.30．雙曲線的左、右焦點分別為，假設在雙曲線的右支上存在一點，使得，則雙曲線的離心率的取值圍為．〔答案：〕解析：方法一：由及雙曲線第一定義式，得：，，又