第5節空間向量的運算及應用知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練空間向量的線性運算1,7向量共線、向量共面的應用2,3,4,6,9空間向量的數量積及其應用5,8綜合問題10,11,12,13,1415,16靈活鄉點合數提彩課時作業闞選題明細表A級基礎鞏固練.已知a=(2,3,—4),b=(-4,—3,—2),b=1x-2a,貝ljx等于(B)A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)解析：由b」x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).故選B.2.在下列命題中：①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行；②若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面；③若三個向量a,b,c兩兩共面，則向量a,b,c共面；④已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p總存在實數x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中正確命題的個數是(A)A.0B.1C.2D.3解析:a與b共線,a,b所在的直線也可能重合,故①不正確；根據自由向量的意義知，空間任意兩向量a.b都共面，故②不正確；三個向量a,b,c中任意兩個一定共面，但它們三個卻不一定共面，故③不正確;只有當a,b,c不共面時,空間任意一個向量p才能表示為p=xa+yb+zc(x,y,z￡R),故④不正確,綜上可知正確命題的個數為0.故選A.3.已知向量a=(2m+l,3,mT),b=(2,m,-m),Ka/7b,則實數m的值等于(B)A.-B.-22C.0D.g或-2解析：當m=0時,a=(l,3,-1),b=(2,0,0),a與b不共線,所以m#0,因為a〃b,所以萼工三絲三解得m-2.故選B.4.(多選題)下列四個命題中，真命題是(AC)A.若p=xa+yb,則p與a,b共面B.若p與a,b共面，則p=xa+ybC.若MP=xM4+yMB,則P,M,A,B共面D.若P,M,A,B共面，則MP二xM4+yMB解析:A正確;B中若a,b共線,p與a不共線,則p=xa+yb就不成立;C正確;D中若M,A,B共線，點P不在此直線上,則M%=x/7+yM%不成立.故選AC.5.(多選題)已知ABCD_ABCD為正方體,則下列四個命題中，真命題是(AB)TOC\o"1-5"\h\z—> —> —> —>2(i4iA+4iOi+4]Bi)2=341Bi—> T T41c?(久/-4遇)=0C.向量4a與向量的夾角是60°—> —? —>D.正方體ABCD-AiB.C^i的體積為|AB?AAr?AD—> T —> —> T2T2 —>2解析:A中，(4i4+AiOi+4iBi)2=4iA2+4]D] ,故A正確;B正4$i-AiA=4Bi，因為AB」A￡,故B正確;C中，兩異面直線AB與ADi所成的角為60°,但“Bi與4；B的夾角為120。，故C不~~~~~?正確;D中，4B,A4i?40|=0,故D不正確.故選AB.6.已知a=(2,1,-3),b=(T,2,3),c=(7,6,入)，若a,b,c三向量共面,則實數人等于(B)A.9B.-9C.一3D.3解析:顯然a與b不共線,若a,b,c三向量共面，則c=xa+yb(x,y￡R),即(7,6,入)=x(2,1,—3)+y(-l,2,3),2x~y=7,所以k+2y=6,解得X=-9.故選B.-3x+3y=A,7.如圖所示,在長方體ABCD-ABCR中,0為AC的中點.用4kAD,AAr表示。21，則oh尸 .解析：因為鼠=|后=^AB+AD),TTT所以og=oc+"i1TT、T=-(AB+AD)^AAt2 1T1TT=-AB^-AD^AAt.2 11TlTT答案：;8.如圖所示，已知空間四邊形OABC,OB=OC,且NAOB=NAOCg則TTcos<OA,BC>的值為.0B—> —> >解析：設0/=a,OB=b,OC=c,由已知條件得<a,b>=〈a,c>三,且Ib|=|c|,—> —OA,BC-a?(c-b)-a?c-a?tF|a||c|?cos包c>-|a||b|cos<a,b>=0,所以所以cos<fM,BC>=Q.答案：0.已知A,B,C三點不共線,對平面ABC外的任一點0,若點M滿足0M=；(04+0B+0C).(1)判斷M4,MB,MC三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內.解:⑴由題意知&+。3+日＞36，所以。4-OM=(OM08)+(OMOC),TT即M4=BM+CM=-MBMC,所以M4,MB,MC三個向量共面.⑵由⑴知扇1,MB,A?C共面且過同一點M,所以MA,B,C四點共面,所以點M在平面ABC內.B級綜合運用練~~~~~~.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),0為坐標原點，OA+X。8與。8的夾角為120。，則實數人的值為(C)TOC\o"1-5"\h\zA.±&更6 6C.D.±V66解析:易+入幾=(1,一入，入)，cos120°二7=-；,得入=土裳V1+2A2?V22 6經檢驗入邛不符合題意，舍去,所以入=咚故選C.O O.在空間直角坐標系Oxyz中有一正三角形ABC,其邊長為4,其中點A在z軸上運動，點B在平面xOy上，則0C的長度的取值范圍是(C)A.[2,6] B.[2V2-1,2V2+1]C.[2V3-2,2V3+2]D.[2行1,273+1]解析:取AB的中點為D,連接OD,CD,因為在空間直角坐標系中，NA0B=90°,即aAOB為直角三角形，又AB=4,所以OD=；AB=2,因為4ABC是邊長為4的等邊三角形，所以CD=V42-22=2V3,因此點C在以點D為圓心，以為半徑的圓上，為使0C的長度取得最值，只需0,C,D三點共線，因此IIdcHodI|<|0C|W|0D|+|CD|,即2代-2W|0C|〈2V^+2,所以0C的長度的取值范圍是[26-2,2V3+2].故選C..已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z)(x,y,z￡R),a//b,b_Lc,貝!Jc=.解析：因為a/7b,易知y^O,所以彳)=4,解得x=2,y=-4,-2y1此時a=(2,4,l),b=(-2,-4,-l),又因為b±c,所以b?c=0,即-6+8-z=0,解得z-2,于是c=(3,~2,2).答案：⑶-2,2)13.已知a=(l,-3,2),b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).⑴求|2a+b|;(2)在直線AB上是否存在一點E,使得后，b(0為原點)?解：(D2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|-Jo2+(-5)2+52=5班.⑵設於Vli(t￡R),^VXOE=OA+AE=OA+tAB-(-3,T,4)+t(1,-1,-2)二(_3+t,_l_t,4-2t),若后，b,貝ijoi1-b=0,所以-2(-3+t)+(~l-t)+(4-2t)=0,解得t-.5因此直線AB上存在點E,使得及_Lb,此時點e的坐標為5 5514.已知0(0,0,0),A(l,2,1),B(2,1,2),P(1,1,2),點Q在直線OP上運動,求誦誦取最小值時，點Q的坐標.解：由題意，設&2=入誦(入￡R),則而=(人,入，2人)，即Q(入,入，2人)，則凝=(1-入，2-入，1-2人)，QB=(2-X,1-X,2-2X),—> —>所以QA?QB=(1-入)(2-入)+(2-入)(1-入)+(1-2入)(2-2入)二6人2-12入+6=6(入-1)2,當入=1時，凝-淳取最小值,此時點Q的坐標為（1,1,2）.C級應用創新練-? —> —> —>.A,B,C,D是空間不共面的四點，且滿足43-AC=O,AC-AD-O,6?G=O,M為BC的中點，則△4\0是（C）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定解析:因為M為BC的中點，所以京=1（6+A）,所以京?AD=^（AB+AC）?AD=-AB?AD+-AC?AD^O.2 2所以AM±AD,AAMD為直角三角形.故選C..如圖，在直三棱柱ABC_A'B'C中，AC=BC=AA',NACB=90°,D,E分別為棱AB,BB'的中點.(1)求證:CE_LA'D;T(2)求向量占與AC'所成角的余弦值.T(1)證明：設C4=a,CB=b,CC'=c,根據題意,得瓜|=|1)|=|(}|,且2?b=b?c