第五節合情推理與演繹推理1.(·合肥模擬)eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)…的一個通項公式為()A.an＝eq\r(3n－3)B.an＝eq\r(3n－1)C.an＝eq\r(3n＋1)D.an＝eq\r(3n＋3)2.利用歸納推理推斷，當n是自然數時，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()A.一定是零B.不一定是整數C.一定是偶數D.是整數但不一定是偶數A.一條中線上的點，但不是中心B.一條垂線上的點，但不是垂心C.一條角平分線上的點，但不是內心D.中心8.(·寧波模擬)在計算“eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)〞時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：eq\f(1,kk＋1)＝eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)，由此得eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,1)－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…，eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，相加，得eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).類比上述方法，請你計算“eq\f(1,1×2×3)＋eq\f(1,2×3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1n＋2)(n∈N*)〞，其結果為________．9.(·浙江)設n≥2，n∈N，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2)))n－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,3)))n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，將|ak|(0≤k≤n)的最小值記為Tn，那么T2＝0，T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T4＝0，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…，Tn，…，其中Tn＝________.10.(·浙江五校聯考)某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下列圖甲、乙、丙、丁為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形，那么f(n)的表達式為________(n∈N*)．■■■■■■■■■圖乙■■■■■■■■■■圖丙■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■圖甲圖丁11.(·南京模擬)一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時，如圖1，發現一個正三角形的島嶼(邊長為eq\r(3))；第二次觀測時，如圖2，發現它每邊中央eq\f(1,3)處還有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次觀測時，如圖3，發現原先每一小邊的中央eq\f(1,3)處又有一向外突出的正三角形海岬，把這個過程無限地繼續下去，就得到著名的數學模型——柯克島．把第1,2,3，…，n次觀測到的島的海岸線長記為a1，a2，a3，…，an，試求a1，a2，a3的值及an的表達式．圖1圖2圖312.(·濰坊模擬)設集合A中不含有元素－1,0,1，且滿足條件：假設a∈A，那么有eq\f(1＋a,1－a)∈A，請答復以下問題：(1)2∈A，求出A中其他所有元素；(2)自己設計一個實數屬于A，再求出A中其他所有元素；(3)根據條件和前面(1)(2)你能悟出什么道理來，并證明你的猜測．答案9.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，當n為偶數時，,\f(1,2n)－\f(1,3n)，當n為奇數時))解析：觀察Tn表達式的特點可以看出T2＝0，T4＝0，…，∴當n為偶數時，Tn＝0；T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…，當n為奇數時，Tn＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,3n).10.f(n)＝2n2－2n＋1解析：由f(1)＝1，f(2)＝1＋3＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f(n)＝1＋3＋5＋…＋2n－1＋…＋3＋1∴f(n)＝2×eq\f(n－1[1＋2n－3],2)＋(2n－1)＝2n2－2n＋1.11.由題意知，a1＝3eq\r(3)，a2＝3eq\r(3)×eq\f(4,3)＝4eq\r(3)，a3＝3eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝eq\f(16,3)eq\r(3).因為第一個圖形的邊長為eq\r(3)，從第二個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的eq\f(1,3)，所以第n個圖形的邊長為eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1；第一個圖形的邊數為3，從第二個圖形起，每一個圖形的邊數均為上一個圖形邊數的4倍，所以第n個圖形的邊數為3×4n－1.因此an＝3eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1.12.(1)由2∈A，那么eq\f(1＋2,1－2)＝－3∈A?eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)∈A?eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)∈A?eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2∈A，所以集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，－3，－\f(1,2)，\f(1,3))).(2)任取一常數，如3∈A，那么同(1)可得：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，－2，－\f(1,3)，\f(1,2))).(3)猜測任意的a≠±1，a≠0，a∈A，那么集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1＋a,1－a)，－\f(1,a)，\f(a－1,a＋1))).下面作簡要證明：a∈A，那么eq\f(1＋a,1－a)∈A?eq\