第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值【考試要求】L會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最值的作用和實(shí)際意義.【高考考情】考點(diǎn)考法：高考命題常以基本初等函數(shù)為載體，考查單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性比較大小、解不等式，求函數(shù)的最值.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用是高考熱點(diǎn)，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算O =一/知謂梳理.思傕激活》一 O【歸納?知識(shí)必備】1.函數(shù)的單調(diào)性定義設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?,區(qū)間愿/：如果Vx”xFD,當(dāng)時(shí)都有則函數(shù)f（x）在區(qū)間〃上單調(diào)遞減都有/UXAxJ,則函數(shù)/Xx）在區(qū)間〃上單調(diào)遞增2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間⑴函數(shù)7=f（x）是增函數(shù)或減函數(shù)的自變量的范圍.，注解1①函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開.②單調(diào)區(qū)間公定義域/.3.函數(shù)的最值（1）存在性：函數(shù)的最值是一個(gè)函數(shù)值；（2）最大（?。┬裕汉瘮?shù)的最大（?。┲荡螅ㄐ。┯诨虻扔谥涤騼?nèi)的其他函數(shù)值.智學(xué)?變式探源1.必修一P85習(xí)題T12.必修一P81例5L（改變圖象）函數(shù)尸/U）,*￡[—4,4]的圖象如圖所示，則/U）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.[—4,—3]B.[—4,—3]U[1,4]C.[-3,1] D.[-4,-3],[1,4]【解析】選D.由圖象知單調(diào)遞減區(qū)間為[—4,-3],[1,4].92.(改變條件)函數(shù)y=-?在[3,7]上的最大值是.X—12【解析】因?yàn)楹瘮?shù)尸』在⑶7]上是減函數(shù)，所以當(dāng)戶3時(shí),八大值=1.答案：1D.f(x)=y[xA.f(x)D.f(x)=y[xA.f(x)=-x3.基礎(chǔ)知識(shí)4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力3.(函數(shù)單調(diào)性的判斷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()C.f(x)【解析】選D.f(x)=-x為R上的減函數(shù)，f(x)=(I)*為R上的減函數(shù)，f(x)在(-8,o)為減函數(shù)，f(x)=/為R上的增函數(shù)..(圖象法求函數(shù)的最值)已知函數(shù)/\x)=(―x,—IWxWO,{y,(X啟1, 則F(x)的最小值為.[x,l<^r^2,【解析】作F(x)的圖象如圖,則F(x)的最小值為F(象=0.答案：o.(利用單調(diào)性求參數(shù))若函數(shù)f(x)=|x—a|+1的增區(qū)間是［2,+8),則a=.【解析】因?yàn)?'(x)=|x—a|+l的增區(qū)間是［a,+8),所以a=2.答案：2.(求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)函數(shù)y=logl(爐一4)的單調(diào)遞減區(qū)間為.2【解析】由題可知，函數(shù)定義域?yàn)?一8,-2)U(2,+8),根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知,(2,+8)是原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.答案：(2,+°°)o =—考點(diǎn)棵急二傳法培優(yōu) ——o?考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性 |講練互動(dòng)［典例11(1)(2021?萍鄉(xiāng)模擬)下列函數(shù)中，在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()A.y=—Z+lB.y=|x-11C.y=xD.尸2r(2)(金榜原創(chuàng)?易錯(cuò)對對碰)①函數(shù)/'(x)=|V—11+x的單調(diào)增區(qū)間為；②函數(shù)f{x)=|V—l+x|的單調(diào)增區(qū)間為.(3)★(命題?新視角)若函數(shù)f(x)在定義域〃內(nèi)滿足對任意的X”X“用2〃且汨+及>吊，有F(xj+f(x2)>f(x3),則稱函數(shù)/U)為“類單調(diào)遞增函數(shù)”.下列函數(shù)是“類單調(diào)遞增函數(shù)”的有(填寫所有滿足題意的函數(shù)序號(hào)).①/1(x)=y［x； ②/'(*)=*； ③/'(x)=lnx；④/'(x)=sin，0</萬).(4)(2021?臨沂模擬)若函數(shù)f(x)滿足:①對于任意實(shí)數(shù)％,X2,當(dāng)ov*v涇時(shí)，都有F(xJVF(蒞)；②彳，=f(布)一〃就，則f(x)=.(答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個(gè)函數(shù)即可)【解析】(1)選C.y=一y+1在(0,+8)上單調(diào)遞減；y=|x-1|的圖象關(guān)于x=l對稱，在(1,+8)上單調(diào)遞增；為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，(0,+8)上是單調(diào)遞增的函數(shù),y=2~'—(1)”在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減.(2)①作出函數(shù)/1(又)=|*2—1|+、的圖象(如圖實(shí)線部分).由圖可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-1，!，[1，+°°).(D答案：一1，1，口，+8)②作出函數(shù)/1(*)=，-l+x|的圖象(如圖實(shí)線部分).由圖可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為胃-H'+W，答案:廣產(chǎn)/‘I，+3(3)對于①，顯然，片+yjx22，xi+x2>y/x3,即f(xt)+f(x)>f(x>,是“類單調(diào)遞增函數(shù)”；2 2 2對于②，取為=而=2,X3=3,此時(shí)X[+*=8,x、=9,即/'(x)+f(x2)Vf(x3),不是''類單調(diào)遞增函數(shù)”；對于③，取m=*2=X3=1，此時(shí)In為+lnX2=0，Inx3=0,即/'(x)+f(xz)=f(X3),不是“類單調(diào)遞增函數(shù)”；n jt對于④，也，生￡(0,牙)，若由+及?丁，貝ijsin為+sin及2sinXicos照+sin及cos*=sin（*1+及）>sinx3,若A-<Xi+^<n,貝（J0<K—%<xK17,sin為+sin^>sinx2\+sinj^=cos及+sinx2=/sin[%+1]>l>sinx3,即f{x^)+f{x^)>“吊)，是“類單調(diào)遞增函數(shù)”，所以是“類單調(diào)遞增函數(shù)”的有①④.答案：①④(4)根據(jù)題意，若函數(shù)f(x)滿足①，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)，若函數(shù)/'(x)滿足②，可以考慮/'(x)為對數(shù)函數(shù)，則f(X)可以為f(x)=1gX.答案：1gX，規(guī)律方法判斷函數(shù)單調(diào)性常用的四種方法(1)定義法：取值、作差、變形(因式分解、配方、有理化、通分)、定號(hào)、下結(jié)論.(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù).(3)圖象法：如果/Xx)是以圖象形式給出的，或者/Xx)的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性.(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”隔開.，對點(diǎn)訓(xùn)練.(多選題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()A.y=ln(x+2) B.y=yj~x+iC.尸(J)' D.y=x+:【解析】選AB.函數(shù)y=ln(x+2)的增區(qū)間為(-2,+°°),所以在(0,十8)上單調(diào)遞增；函數(shù)尸的增區(qū)間為[-1,+8),所以在(0,+8)上單調(diào)遞增..函數(shù)y=一父+2|削+3的單調(diào)遞減區(qū)間是.【解析】由題意知，當(dāng)“20時(shí)，y=~x+2x+3=—(jf-1)'+4；當(dāng)水0時(shí)，y=-x-2x+3=-(%+1)2+4,如圖所示,則函數(shù)尸一系+2|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間為[―1,o],E1,+°°）.答案：[-1,o],[1,+8）穹國【加練備選】后2x>2-后2x>2已知函數(shù)￡（*）={ '」og.2*-1,AA4))=,函數(shù)/1(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是—【解析】，⑷=log?4—1=1,所以/(/(4))=/(l)=-l2+2Xl=bxW2時(shí)，/1(x)=-V+2x,對稱軸為x=1,所以/'(X)在[1,2]上單調(diào)遞減，所以/'(*)的單調(diào)遞減區(qū)間為[1,2].答案：1[1，2],考點(diǎn)二函數(shù)的最值 自主練透1.函數(shù)/■(x)=2'—loglG+1)在區(qū)間[0,2]上的最大值為()3A.1B.3C.5D.7（2021?全國乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是（）A.y=y+2^+4B.y=\sinx\4—i-—r|sinx\4C.y=2'+22r 0.y=ln——In%.函數(shù)y=x+qr二7的最小值為（）A.-y[2B.-1C.1D.y[2.(多選題)已知函數(shù)/'(x)=In(x—2)+ln(6—x),則()f(x)在(2,6)上單調(diào)遞增/tv)在(2,6)上的最大值為21n2/Xx)在(2,6)上單調(diào)遞減y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱Cx,0<xW2,.已知函數(shù)/V)=42 則函數(shù)/'(X)的最大值為 7，x>2,【解析】1.選C.由于尸2,在［0,2］上單調(diào)遞增，y=loglG+0在［0,2］上單調(diào)遞減，所以/'(*)在［0,2］上單調(diào)遞增，故/U)在［0,2］上3的最大值為f(2)=5.2.選C.y=f+2x+4=(x+1)?+323,當(dāng)且僅當(dāng)犬=一1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3,A不符合題意；因?yàn)?<Isinx|<l,y=|sinx|+t~^―T22#=4,當(dāng)且僅當(dāng)|sin=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意；因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而4 L2'>0,夕=2"+22r=2'+亍22#=4,當(dāng)且僅當(dāng)才=2,即x=l時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意；y=lnx+不入，函數(shù)定義域?yàn)?0，1)U(1,+°°),而InxWR且InxW0,如當(dāng)Inx=-1,y=-5,D不符合題意..選B.由1一卡20,可得一1W啟1.可令x=cos。,，G［0,n］,則y=cos。+sin。=-^2sin(0+1)>。G［0,n］,所以，故原函數(shù)的最小值為-1..選BD.F(x)=ln(x—2)+ln(6—x)=ln［(x—2)(6—x)］,定義域?yàn)?2,6).令t=(x—2)(6—jr),則〃x)=lnl.因?yàn)槎魏瘮?shù)￡=(才一2)(6—才)的圖象的對稱軸為直線x=4,又/'(x)的定義域?yàn)?2,6),

所以/'(x)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，且在(2,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=4時(shí)，力有最大值，所以f(x)s=ln(4—2)+ln(6—4)=21n2.5.作出f(x)的圖象如圖.由圖象可知當(dāng)x=2時(shí)/1(')取最大值為2；當(dāng)時(shí)f(x)取最小值為一；.1答案：2 --教師專用可【規(guī)律方法】教師專用可【規(guī)律方法】求函數(shù)最值的常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.(4)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.【加練備選】【加練備選】.用min{a,8}表示a,6兩個(gè)數(shù)中的最小值.設(shè)/'(x)=min{x+2,10—x}(x》O),則/'(x)的最大值為.【解析】在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)尸x+2和y=10—x的圖象.根據(jù)min{x+2,10—x}(x20)的含義可知，f(x)的圖象應(yīng)為圖中的實(shí)線部分.解方程x+2=10—x,得x=4,此時(shí)y=6,故兩圖象的交點(diǎn)為(4,6).(x+2,0這后4,所以/■(*)=C、， 其最大值為交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以f(x)的最大值為6.(10-A-,尤>4,答案：62.(2021?長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=，2*—2+yj6-2x.(1)求/'(x)的定義域；(2)求F(x)的值域.(2萬—220,【解析】(1)由，°得/'(x)的定義域?yàn)閇1,3].、6—2x30,(2)易知f(x)20,又[f(x)『=2x—2+2、(2X一2)(6—2x)+6—2*=4+23—4/+16才-12=4+4#—(一一2)，+1,x=2時(shí)，一(又-2)2+1有最大值1,x=l或x=3時(shí)，一(/-2)2+1有最小值0,所以xG[l,3]時(shí)，易得"(x)『e[4,8],故/'(x)的值域?yàn)閇2,2y[2].，考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 |多維探究高考考情：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，是研究函數(shù)必備知識(shí)，也是高考命題的熱點(diǎn)，考查類型全面，常以基本初等函數(shù)為載體，考查比較大小、解不等式等，難度中檔或以上.?角度1比較大小問題[典例2](2021?安陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(―x)=f(x),且VX”x2e(0,+°°)(x1^x2)有(Xi—X2)?[f(xt)—f(x2)]>0,則()A.f(-2)<f(-3)<f(l) B.f(-3)<f(-2)<f(l)C.f(-l)<f(-2)<f(3) D.f(-l)<f(3)<f(-2)【解析】選C因?yàn)閷X”x2G(0,+8),且xHx2,都有(X|—X2)[f(xJ—f(X2)]>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)f(X)滿足f(―x)=f(x),所以f(一2)=f(2),f(-l)=f(l),f(-3)=f(3),所以f(l)<f(2)<f(3),即f(-l)<f(-2)<f(3).?角度2解不等式問題[典例3](2020?新高考1卷)若2*+/。題=4，+2/。刖，則()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2【解析】選B.設(shè)f(x)=2*+/。&x,貝ijf(x)為增函數(shù)，因?yàn)?1,+/O^a=4b+27^1b=22b+7o^b)所以f(a)-f(2b)=2*+/儂a—(2%+/。92b)=22b+7o^b-(22b+7o^2b)= =-l<0,所以f(a)〈f(2b),所以a<2b.f(a)-f(b2)=Z+log2a-(2b2+7o^b2)=22b+7o^b-(2b2+/o^b2)=22b-2b2-7o^b,當(dāng)b=1時(shí)f(a)-f(b2)=2>0,此時(shí)f(a)>f(b2),有a>b2,當(dāng)b=2時(shí)f(a)-f(b2)=-l<0,此時(shí)f(a)<f(b2),有a〈b?,所以G〃錯(cuò)誤.?角度3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題/、fax-2,xW2[典例4](1)若函數(shù)f(x)=/ 、(. 在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范(3—2a)In(x—1),x>2圍是()I)A.(0,1]B.(0,2]C.(0,I)D.1,(2)已知函數(shù)f(x)=log2(V—ax+3a)在[2,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解析】⑴選A.因?yàn)閒(x)=I)ax—2,zXzx在R上單調(diào)遞增，[(3-2a)ln(*-1),x>2'a>0,所以《3—2a>0, 解得OVaWL、2a—2W(3—2a)In(2—1),(2)設(shè)g(x)=f-ax+3a,根據(jù)對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，g(x)在[2,+8)上是增函數(shù)，且g(2)〉0,所以所以一4<aW4,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4,4].[4+a>0,答案：(-4,4],規(guī)律方法函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再用函數(shù)的單調(diào)性解決..求解含“尸的不等式，應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為/1(血(力的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“尸，要注意勿，〃應(yīng)在定義域內(nèi)取值..利用單調(diào)性求參數(shù)，應(yīng)根據(jù)具體情況，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出與參數(shù)有關(guān)的不等式，或把參數(shù)分離出來求解.,多維訓(xùn)練[*+4x,x20,.已知函數(shù)f(x)= 2八 若/U-aDAa),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()[4%—/,K0,A.(一8,2) B.(2,+°0)C.(-8,-2) D.(-2,+8)[解析]選A.畫出f(x)的圖象(圖略)可判斷f(x)在R上單調(diào)遞增，故/'(4—a)>f(a)=4—a>a,解得a<2..已知函數(shù)/<x)=F°g" ,則％=—1”是“函數(shù)/U)在R上單調(diào)遞增”的( )[x-\~c9XIA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若函數(shù)/tv)在R上單調(diào)遞增，則需log212c+l,即cW—1.由于C=-1,即cW—1,但cW—1不能得出C=-l,所以“c=-1”是“函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件..若2021-2O21'〉2022r—2022r(*,yGR)>則()A.xyy B.Inx>lnyC.一<- D.-