選出符合題目的一項）2.空間四邊形ABCO中，若向量福=（-3,5,2）,CD=（-7,-1,-4）點、E,F分別為線段選出符合題目的一項）2.空間四邊形ABCO中，若向量福=（-3,5,2）,CD=（-7,-1,-4）點、E,F分別為線段BC,AO的中點，則前的坐標為（）A.(2,3,3)B.C.(5-2,1)D.(-5,2,-1)空間向量及其運算學校:姓名：班級：考號：-一、單選題（本大題共11小題，共55.0分。在每小題列出的選項中,1.如圖，正方形4BCO與矩形ACEF所在平面互相垂直,1.AB=0，A尸=1.M在E/上，且a例〃平面BQE,則M點的坐標為（）V272B.（拳,三』）3,已知三棱柱ABC-的所有棱長相等，若乙3片=NA4G=60。，則異面直線A。與3,所成角的余弦值是（）

A.— B.— C.— D.—6 3 6 3.如圖所示，二面角。一/一4為30°,Awa,DeB,過點A作A8_L/,垂足為8,過點。作CQ_L/,垂足為C,若AB=y/3,BC=1,CD=\,則AO的長度為（）1V26D.2.在四面體A8CO中，AB=6,BC=3,30=4,若NABO與NABC互余，則麗?（而+麗）的最大值為（）A.20 B.30 C.40 D.50.如圖，在正四棱柱A8CO-4月6"中，A4,=2,AB=8C=1,動點尸、。分別在線段G。、AC上，則線段P。長度的最小值是（）A>/2A.——3B63C.-3ny[5L）. 3.如圖，在正方體A8C￡>-A4GA中，M，N分別是棱AB,BB1的中點，點P在對角線CR上運動.當aPMN的面積取得最小值時，點尸的位置是（）A,線段CA的三等分點，且靠近點A.線段CA的中點

c.線段ca的三等分點，且靠近點cD.線段CA的四等分點，且靠近點c.向量的運算包含點乘和又乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數量積.現定義向量的叉乘：給定兩個不共線的空間向量1與B，axb規定：①Mxb為同時與b垂直的向量；②。，b,axb三個向量構成右手系(如圖1)；③|=|萬|出|sin(a,b)；④若萬=(須，兇，為)，- _ y,,z, x.,z, x.,y. a,bb=(x2,y2,z2),貝Kxb=(+|九1|,-|11|,+|1"I),其中| |=ad如圖2,y2,z2 ±,Z2 c,dIABxADHMIABxAD=ADxAB(AB-AD)xX\=ABxX\-ADxA^D.長方體ABC。—A4GA的體積V=(入*xA/5).柒.已知三棱錐A—BCD中，底面BCO為等邊三角形，AB=AC=AD=3,BC=26，點E為CO的中點，點尸為BE的中點，若點M、N是空間中的兩動點，且蟠==2,MN=2,MFNF則,必?擊=()A.3 B.4 C.6 D.8.萬，反^為三個非零向量，則①對空間任一向量萬，存在唯一實數組(x,y,z),使p=xa+yb+zci②若G〃反5〃5,則己〃5；③若G?B=B?,則1=｝；④(ab)-c=a(b-c),以上說法一定成立的個數()A.0BA.0B.1C.2D.3 3—1—1—.4,8,(7是不共線的三點,0是平面48(7外一點,設〃滿足條件0〃=巳。4+上05+20。,4 8 8則直線AM.()A.與平面ABC平行B.是平面A8C的斜線 C,是平面ABC的垂線D.在平面A8C內二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求).在三棱錐產一ABC中，以下說法正確的有()A.若2通=福+而，則麗=3而B.若麗?〃=(),PAAB=0,則可?肥=0C.若PA=PB=PC=2,AB=AC=8C=2&,M、N分別為PA、BC的中點，則|麗|=2D.若T為A4BC的重心，則2行+祈=PQ+正.正方體A8CO—4耳G"的棱長為2,且麗=力璃(0<%<1),過尸作垂直于平面80。耳的直線/,/交正方體A8CD-AqCQ的表面于M,N兩點，下列說法不正確的是()A.8〃，平面。加8聲B.四邊形面積的最大值為2#C.若四邊形。的面積為卡，則4=一4D.若;1=5,則四棱錐B-QMqN的體積為2014.如圖，已知直四棱柱ABCO-EFG”的底面是邊長為4的正方形，CG=m，點、M為CG的中點，點P為底面EFG”上的動點，則()A.當，〃=4時，存在點尸滿足QA+PM=87TB.當加=4時，存在唯一的點尸滿足NAPM=—2C.當m=4時，滿足BP，AM的點尸的軌跡長度為2加D.當機=逑時，滿足NAPM=%的點尸的軌跡長度為述乃3 2 9.以下四個命題中錯誤的是（）A.空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B.若伍石1｝為空間向量的一組基底，則他+B石+己5+菊構成空間向量的另一組基底C.對空間任意一點。和不共線的三點4、B、C,若而=2礪一2萬一玄，則P、A、B、C四點共面D.任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底三'填空題（本大題共1小題，共5.0分）.如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABC。為平行四邊形， p所=阮，在線段a”上取一點g,使g,5,p,o四點四面.若/=x^+y就+z即（x,y,z為常數），則孫z= /]答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本題考查空間中點的坐標的求法，是基礎題.設AC、BD交于點、0,連結0E,由己知推導出四邊形OAME是平行四邊形，從而M是E尸的中點，由此能求出點M的坐標.【解答】解：設AC、BD交于點O,連結OE,:AM〃平面BOE,AA/u平面ACEF,平面平面4儀戶=七0，AM//OE,又AO〃EM,.?.四邊形OAME是平行四邊形，是E尸的中點，易得CE_L平面4BCQ、4/_1_平面48€7),???￡(0,0,1),F(V2,72,1),山&&八??〃(-z-,---4)-2 2故選C.【答案】B【解析】【分析】本題考查了向量的線性運算、向量坐標運算，屬于基礎題.點分別為線段BC,AO的中點,0為空間內任一點,可得麗=而-礪，赤=g(O4+0z5),OE=^(OB+dC),代入計算即可得出.【解答】解：vXb=(-3,5,2),.-.BA=(3,-5,-2),:點E,尸分別為線段BC,AO的中點，。為空間內任一點，:.EF=OF-OE,OF=-(OA+OD),OE=-(OB+OC),2 2：.EF=^OA+bD)-^(bB+OC)=^BA+CD)=^[(3,-5,-2)+(-7-1,-4)]2=；(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).故選：B..【答案】A【解析】【分析】本題主要考查的異面直線所成的角，空間向量的數量積運算，屬于中檔題.設麗=爪4瓦=反而=乙設三棱柱ABC-A3C的棱長為如利用空間向量基本定理，將而與麗用乙尻5表示出來，利用空間向量的運算求出cos＜卡,A瓦〉，即可得到異面直線所成角的余弦值.【解答】解：設乖=色宿=瓦宿=口設三棱柱ABC—AgG的棱長為加.2又AC=4G+AA=a+c,A6]=/4|B|—A^A=b-u.所以41d?ABi=(Z+N)?(丁—/)=/?萬一/2+丁.z_z./=—%2,|祝卜+Z）2=，矛+"?N+之2=\f3rn.|ABi|=｛（引—N）=^~ct2—2~ct■ +~^2=m._/ _12所以cos＜碗，耦＞=|竺?普=-^―=—g.祝網V3m-m6n則異面直線AC與A4所成角的余弦值是6故選A.【答案】B【解析】【分析】本題考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.由題設知az5=A月+AC+麗，故AD2^AB'+BC+CD+2ABBC+2ABCD+2BCCb,由此能求出40的長.【解答】解：??,二面角。一/一夕的大小為30°,點8,C在棱/上，Aea,Dw/3,AB11,CDLl,AB=6,BC=\,CD=\AD=AB+BC+CD,AD2=AB+BC2+CD'+2ABBC+2ABW+2BCCD=3+l+l+0+2x＞/3xlxcos150+0=2,.?.IAD|=y/2.故選B..【答案】B【解析】【分析】本題考查空間向量的數量積運算以及三角函數求最值，屬于中檔題.7T設NA8O=a,可得/ABC=-—a,利用空間向量數量積的定義以及輔助角公式，結合正弦函2數的值域可求得BA(BC+BD)的最大值.【解答】TT解：設NA8￡)=a,可得NABC=-—a,則a為銳角，2在四面體ABCO中，AB=6,BC=3,B￡>=4,!RiJBA-(BC+BD)=BABC+BABD=\BA\-\BC\cos(^-a)+\BA\-\BD\cosa=18sina+24cosa4=30sin(a+Q),其中夕為銳角，且tane=§.c 式ml 冗?：0<a<—,則9<a+e<a+e，所以，當a+e=2■時，麗?(及+而)取得最大值30.故選：B..【答案】C【解析】【分析】本題考查了空間向量的模，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.設D戶=4方或,AQ=pAC,(2,/ze[0,l]).利用向量模的計算公式可得：|PQ|=7(1-//)2+(//-^)2+422,從而得解.【解答】解：建立如圖所示的空間宜角坐標系,A(1,O,O), C(O,1,O),C,(0,l,2),設麗=入明,AQ=^AC,(2,^e[0,l])..-.DP=2(0,1,2)=(0,2,22),DQ=DA+p(DC-DA)=(1,0,0)+〃(-1,1,0)=(1-",0).\~PQ=~DQ-DP=(\-/j,/j-A,-2A),■\PQ1=J(1_〃.+(〃一；l、+4萬9,9, 5、24 4+W+g?電TOC\o"1-5"\h\z當且僅當；1=幺，p=~,5 91 5即；l=±,〃=/時取等號.9 92.??線段P。長度的最小值為早故選C.【答案】B【解析】【分析】本題考查點的位置判斷，考查空間中兩點之間的距離，考查運算求解能力，是中檔題.以4為原點,A8為x軸,AO為y軸，A4為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出aPMN的面積取得最小值時，P為CR的中點.【解答】

解：以A為原點，解：以A為原點，48為x軸，AO為y軸，A4為z軸，建立空間直角坐標系,設正方體ABC。—Ag的棱長為1,P為A。上的動點,設「(九之/一之)，其中噫氏1,M(g,O,O),N(1,O,；),|PM|=J(2-1)2+22+(l-2)2=小3尤2—3/1+j,|PN|=^(A-l)2+/l2+(l-2-1)2=,3分一34+；,:]PM\=\PN\,aPMN為等腰三角形,底邊|MN|=芋，IPM|2-i.設底邊MN上的高為爪則有IPM|2-i.3A2-3A+-=3（2一J）?+,，.?.九='時aPMN的面積取得最小值,4 2 2 2此時尸為CR的中點.故選：B..【答案】C【解析】【分析】本題考查空間向量的新定義，空間向量的數量積，屬于中檔題.利用新定義，結合棱柱的體積公式逐個判斷即可：法二：建立空間直角坐標系，由向量法逐個進行判斷.【解答】解：砧同時與,后，A萬垂直，羽，AB, 三個向量構成右手系，且|而x而|=|而||而|sin＜而，而＞=2x2xsin90°=4前福|=3,所以選項A錯誤;根據右手系知：ABxAZ）與AZ）xA8反向，所以A與xAfj4 A有，故選項B錯誤；因為|（血―亞）x陽|=|。后x8瓦|=20x3xsin90°=60,且麗、函=—麗x畫與日同向共線，又因為|A*x涵|=2x3xsin90°=6,且M又題與方同向共線，|而x麗|=2x3xsin90°=6,而x麗與比同向共線，所以|麗x羽—而*羽|=60,旦腦xM—a/5x麗■與百同向共線，（麗一而）x羽=麗乂羽一而x羽，故選項C正確；所以長方體A8CO-A4GA的體積為2x2x3=12,又因為由右手系知向量而x而方向垂直底面向上，與束反向，所以（A^xATi）.束＜0,故選項。錯誤；故選C法二：如圖，建立空間直角坐標系，*D/ \/c^yi bAB=(0,2,0),AD=(-2,0,0),麗'=((),0,3),則麗x而=(0,0,4),所以選項4錯誤;束=(0,0,-3),則(與x而).束=一12,故選項O錯誤；ADxAB=(0,0,-4),故選項8錯誤；AB-AD=DB=(2,2,0),則(4月一歷)x涵=(6,-6,0),

ABxA4,'=(6,0,0),加x麗=(0,6,0),則冊x麗-AZix麗=(6,-6,0),所以(麗一亞)乂麗=而*麗一而乂麗，故選項C正確；故選C..【答案】B【解析】【分析】本題考查平面向量數量積的性質及其應用，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，屬難題.由題意畫出圖形，建立空間直角坐標系，由已知說明點M,N在以。為球心，以1為半徑的球上，結合MN=2,得MN為球的直徑，由向量的數量積，即可得到答案.【解答】解：設A在底面8co的投影為O,\AB=AC=AD=3,底面BC。為等邊三角形，且BC=2百，：.OD=2,AO=s/5,以O為坐標原點，OA為z軸，。。為y軸，以過點。且與8c平行的直線為z軸，建立如圖所示空間宜角坐標系.則8則8(-6,-1,0),￡>(0,2,0),又E為CO的中點，r.E(立,,22點F為的的中點，小.C（省,0）,4,卜+舊了+④+按+豕=2、（"等）+（"+；）+〃x2+y2+z2=l,BP\OM\=1,.?.點何在以。為球心，以1為半徑的球上，同理N也在這個球上，且MN=2,；.MN為球的直徑，則布7?俞=（〃+麗j?（正+麗）=（AO+OM）（AO-OM） -2 -2=A0-0M=5-1=4.故選：B..【答案】B【解析】【分析】本題考查命題的真假判斷與應用，考查空間向量基本定理、向量數量積的運算性質，屬于中檔題.①利用空間向量基本定理可判斷；②利用非零向量共線的性質可判斷；③利用向量的數量積的運算性質可判斷；④伍石）刀=萬?（加司錯誤.【解答】解：因為25忑為三個非零向量，所以，對于①，當25,不為三個非零共面向量時，對空間任一向量日，不存在唯一實數組（x,y,z）,使p=xa+yb+zc,故①錯誤；對于②，???1,5,1為三個非零向量，allb,bllc,:.a//c,故②正確：對于③，若dB=則＞展—0=0,即而不是1=5,故③錯誤；對于④，（i5）^=a-（5e）不一定成立，等號左端為（萬萬）倍的1,等號右端為（小己）倍的心而G與e不一定共線，故④錯誤.綜上所述，以上說法一定成立的個數為1個，故選：B.

.【答案】D【解析】【分析】本題考查空間向量中向量線性運算以及共面定理，屬于中檔題.TOC\o"1-5"\h\z根據題中向量等式，將向量協/進行拆分，移項整理可得礪=-,礪-！碇，從而得到向量6 6MA.MB.而是共面向量，由此不難得到本題答案.【解答】解：-.om=-om+-om+-om'4 8 8OM=-OA+-OB+-OC

4 8 8 OM=-OA+-OB+-OC

4 8 8..由 + 得2。“+上4 8 8 4 8移項，得—礪）=」（。月一*）+」（反一。而）：.-AM=-MB+-MC,即加=—與一,沅4 8 8 6 6由此可得向量M4、MB,而是共面向量，由此可得直線AM在平面A8C內故選：D..【答案】BD【解析】【分析】本題主要考查了空間向量的加法、減法以及數乘、數量積運算，考查了向量的模的計算.根據空間向量的線性運算，逐項判斷每項的正誤即可.【解答】解：如圖：對于A,因為2而=赤+而，即加=,A月+"!?入戶，所以。為8P的中點,

2 2則麗=2而，故A錯誤：對于8,因為西?衣=0,PAAB=0,所以西?配=麗?（/—而）=西?/-麗?麗=0,故B正確；對于C,因為麗=麗-而'=1（而+無）—‘而='（而+定—麗），2 2 2且%=P8=PC=2,AB=AC=BC=2丘,根據勾股定理的逆定理可得PA,PB,PC兩兩垂直，故|麗|=g|而+定—而=73,故C錯誤；對于。，因為t為aABC的重心，所以諉+屈+無=0,所以2萬+方+而+元=2萬，2PT+fB+fC^2PT-TA,即（行+河）+（西+元）=2行+行，所以2PT+/= 故。正確.故答案選：BD..【答案】ACD【解析】【分析】本題主要考查了線面垂直的判定，空間直角坐標系，空間向量的正交分解及坐標表示，空間向量的模，夾角與距離求解問題，棱錐的體積，屬于較難題.根據已知及線面垂直的判定，可知A是否正確，根據已知及空間直角坐標系，利用；I表示出點M,N的坐標，從而可求出四邊形的面積以及四棱錐B-DWB|N的體積.【解答】解：因為BQ與耳。不垂直，所以8。與平面不垂直，故A不正確.如圖，以。為坐標原點，取—醞'，麗的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系2-盯z,則。(0,0,2),4(2,2,0),4(2,0,0)，c,(0,2,0).因為麗=%函，所以P(2Z2Z2-2；l).因為AG，平面,所以設標=麗=〃馴，則A/(24+2",22—2〃,2—2A)?N(22—2〃,22+2〃,2—2/1).若Me平面AO.A，則4=4，即M(4Z0,2-2；l),W,42,2-22),0<4,g；若Me平面A8B1A，則；1+〃=1,TOC\o"1-5"\h\z即M(2,44-2,2-24),N(44—2,2,2-24), 2<1.因為MNL8Q,所以四邊形。MgN的面積( 0<入《彳S=5|B1D||MAT|=V3\MN\=( // IV6(1-A),^<A<L當a=；時，四邊形0MqN的面積最大，且最大值為2指：點B到直線B}D的距離為2x2/=巫,20 3J7即點8到平面。M4N的距離為」一,I ^rzo故四棱錐B-￡)M3]N的體積V=-x2\/6x =—,故3正確，故D不正確.3 3若四邊形DMB|N的面積為逐，則4"彳=#(0<4,4)或4指(1一/1)=#(！</1<1),2 21 3解得4=上或三，故C不正確.44故選ACD..【答案】BCD【解析】【分析】本題考查了向量的數量積，空間中的軌跡長度，多面體的結構特征，屬于較難題.建立空間直角坐標系，對選項ABCO一—進行分析判斷即可得.【解答】m解：建立如圖所示的空間直角坐標系，可知A(4,0,0),M(0,4,y),設P(x,y,m),作點M關于EFGH的對稱點為M',連接AM,交平面EFGH于點、外，當點P不在兄處，PA+PM=PA+PM'>AM',即Q4+AM的最小值為AM',A:當m=4時,M'(0,4,6),所以AM'=.平+(0-4)2+(0-6)2=2717>8，故4錯誤;B：~Ap=(X—4,y,4). =(?,p—4,2),若~aP■ =(x-4)h+ —4)+4x2=0.

則x=2,y=2,所以存在唯一的點滿足N4PM=工，故8正確;2C：AAf=(-4,4,2),/=(工_4e_4,4)滿足82_1_/^,即癡.即=0,Aft/■B戶=—4(?—4)+4(?—4)+4x2=。，即y=x-2,在平面E/G〃作出該直線y=九一2與四邊形EFG”的交線KQ,即K(2,0,4),Q(4,2,4),所以KQ=J?iai6=2j5,故C正確；尸*,乂4J3.尸*,乂。：當機=---時,A(4,0,0),M(0,4,"與芍因為NAPM=生，則五3.如=(?-4)x+v(?-4)+1=0,2 3即a—2)2+3—2)2=與，與平面EFG”聯合起來交于4段圓弧(如圖所示)，設該圓弧G尸交于S,7兩點，令y=4,可得丹=