2022-2023學年北京市高二下期中考試數學模擬試卷一.選擇題（共io小題）1.（2021秋?西充縣校級期中）已知數列｛a〃｝滿足ai=l,an+\=an+6,則。5=（A.25 B.30 C.32 D.64（2020秋?河東區期末）下列求導運算正確的是（ ）1A.（cosx）'=sinx B.（IOffX）- xln211C.（2X）'=2tlog2e D.（-=—Y= l-o;（1-a;）（2020?沙坪壩區校級模擬）設數列｛a〃｝的前"項之和為S〃，條件p：數列｛斯｝為等差數列：條件q：S”為關于〃的二次函數.則p是夕的（ ）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要（2021春?遼寧期末）已知函數/（x）=/+3加好+內+/在-1時有極值為0,貝ij=（）TOC\o"1-5"\h\zA.11 B.4或11 C.4 D.8（2021春?雅安期末）在等比數列｛的｝中，ai=14,雨=112,則S4=（ ）A.-64 B.63 C.210 D.-210HR（2013春?利辛縣校級期中）用數學歸納法證明命題時，某命題左式為HRH ，則n=k+\與〃=攵時相比，左邊應添加的項為（ ）2n-l216+1-1—+—-—+—-—+...+——\—

2* 2*+1 2*+22k+1-1—+―-—+——--2* 2*+1 2*+1-12*2fc+1-1S|>S4,S|O<S|S1VS4,Sio>S”S4>S5,SlO<S13S4Vs5,S10>S13（2019S|>S4,S|O<S|S1VS4,Sio>S”S4>S5,SlO<S13S4Vs5,S10>S13（2019?越城區校級學業考試）數列｛斯｝,｛兒｝用圖象表示如下，記數列｛內力〃｝的前〃項和（2021春?嘉興期末）函數/（x）=，sin2x在區間［-n,n］上的圖象可能是TOC\o"1-5"\h\z, 7C(2015秋?臨沂校級月考)在梯形 中，NABC=——,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,2將梯形Z8CO繞BC所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )4兀 5兀A.n B. C. D.2n\o"CurrentDocument"3 3n—1(2021秋?朝陽區校級月考)已知數列｛a”｝,a= 則下列說法正確的是n(n+1)()A.此數列沒有最大項 B.此數列的最大項是C.此數列沒有最小項 D.此數列的最小項是44二.填空題(共5小題)兀 兀11.(2021秋?興慶區校級期末)已知函數/(x)=/(——)sinx+co&x,則八一)的值為.6 6(2021春?海淀區期中)已知3個等差數列｛%｝,｛b〃｝,｛Cn｝,其中數列｛Cn｝的前"項和記為S”,已知a,jbn=Sn，寫出一組符合條件的｛斯｝與｛b〃｝的通項公式.(2021?云南模擬)已知數列｛。〃｝的前“項和為S",ai=2,2nSn=(2"-1)念+1，則數歹心」一｝的前n項和5.%(2012春?金安區校級月考)對于函數/(x)=-2co&r,x€[0,n]與函數1g(a?)=—a?+?no;有下列命題：2①函數/(X)的圖象不管怎樣平移所得圖象對應的函數都不會是奇函數；②方程g(x)=0沒有零點；③函數/(x)和函數g(x)圖象上存在平行的切線；④若函數/(x)在點尸處的切線平行于函數g(x)在點0處的切線，則直線尸。的斜率2-x其中正確的是(把所有正確命題的序號都填上)(2015春?遂寧校級期末)給出以下五個結論：①若等比數列｛"”｝滿足。1=2,且S3=6,則公比g=-2：nK②數列｛a〃｝的通項公式a“=”cos +1,前〃項和為S〃，則Si3=19.2③若數列a〃="2+布(wGN+)為單調遞增數列，則入取值范圍是入>-2；3④已知數列｛a“｝的通項 其前〃項和為s1,則使s,>o的〃的最小值為2n-U111⑤1+ 1- !--??+ <2-——(心2)n2?2 2 ?3nn其中正確結論的序號為(寫出所有正確的序號).三.解答題(共5小題)(2021秋?東莞市期末)已知等差數列｛3｝的公差為2,且ai+1,a2+\.內+2成等比數歹U.(1)求｛"”｝的通項公式；4(2)求數列｛ ｝的前“項和S".a—1n(2021春?豐臺區期中)已知函數/(x)=--3x+l.(I)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；(II)求函數/(x)的極值.(2021春?海淀區期中)問題提出：新型冠狀病毒是一種人傳人，不易被人們直覺發現,危及人們生命的嚴重病毒.我們把與新型冠狀病毒患者有過密切接觸的人群稱為密切關聯者.已知每位密切關聯者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為p 一旦被確診為陽性后即將其隔離.某位患者在隔離之前，每天有上位密切關聯者與之接觸，其中被感染的人數為X(0WXW%).該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天內患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時間.設每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與上位密切關聯者接觸并繼續傳染其他人.小明想通過數學建模分析從某一名患者攜帶新型冠狀病毒的第1天開始算起，第〃天新增患者數蜃(〃22),同時他想研究戴口罩是否能夠切實減少病毒傳染.一、模型假設：1.潛伏期病毒未被發現，持續傳播.每位患者每天接觸的人數均為發.假設每位患者每天接觸的密切關聯者被感染人數為定值、=例二、模型求解：①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,第2天被感染人數增至為：1+卜3=1+切；第3天被感染人數增至為.于是可以得出，第〃天新增加人數耳=，小明根據自己的生活經驗取氏=10,/，=」-.2①E8的值為;②經大量臨床數據驗證佩戴口罩后被感染患病的概率p'滿足關系式p'=加(1+p)-包，當P'取得最大值時，計算P'所對應的E6'和p=」所對應的感值，然后根據TOC\o"1-5"\h\z3 2計算結果說明佩戴口罩的必要性.\o"CurrentDocument"1 2(參考數據：加2Po.7,歷加5與1.6,—20.3,一?=0.7,66=46656.計算結果3 3保留整數)三、模型檢驗與評價：通過與新聞中的數據對比，小明計算出的被感染人數遠高于實際的感染人數，你認為原因是什么？.(2013?樂山一模)已知函數/(x)=加(1+x)-mx.(I)當加=1時，求函數/G)的單調遞減區間；(II)求函數f(x)的極值；(III)若函數/(X)在區間［0,e2-1］上恰有兩個零點，求機的取值范圍.2(2021春?徐州期中)已知函數=a?na?+ 1-<2-x(1)若/(x)在［1,2］上單調遞減，求a的取值范圍；(2)若/(x)有兩個零點知，刈，求a的取值范圍；(3)證明：當a=l時，若對于任意正實數xi，xi,且xi<X2，若/(xi)—f(X2)1則

2022-2023學年北京市高二下期中考試數學模擬試卷參考答案與試題解析選擇題（共10小題）（2021秋?西充縣校級期中）已知數列｛斯｝滿足ai=1,iln+l=a?+6＞則4Z5=（ ）A.25 B.30 C.32 D.64【考點】等差數列的通項公式.【專題】計算題：方程思想；定義法；等差數列與等比數列：數學運算.【分析】推導出數列｛斯｝是首項為1，公差為6的等差數列，由此能求出as.【解答】解：?數列｛斯｝滿足ai=Lan+\=an+6,二數列｛斯｝是首項為1,公差為6的等差數列，."5=1+4X6=25.故選：A.【點評】本題考查等差數列的等5項的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.（2020秋?河東區期末）下列求導運算正確的是（ ）1A.（cosx）'=sinx B.（/oga?）= xln2D.C.(2X)'=2xlog2eD.【考點】導數的運算.【專題】計算題：函數思想；綜合法：導數的概念及應用；數學運算.【分析】根據基本初等函數和復合函數的導數的求導公式求導即可.]【解答】解：(cosx)'=-sinx,(log1)'= ，(2X)'=2xln2,2xln2故選：B.【點評】本題考查了基本初等函數和復合函數的求導公式，考查了計算能力，屬于基礎題.（2020?沙坪壩區校級模擬）設數列｛a〃｝的前〃項之和為S”，條件p：數列｛%｝為等差數列;條件/S,為關于〃的二次函數.則p是4的（ ）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【考點】等差數列的性質；充分條件、必要條件、充要條件.【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；簡易邏輯；數學運算.【分析】通過舉例說明：由p不一定得出q,反之不一定成立.【解答】解：條件p：數列｛a.｝為等差數列；條件q：S”為關于〃的二次函數.由p不一定得出q,例如：a）i—2>則S〃=2”，不是二次函數.反之不一定成立：例如S,=〃2+"+i,可得斯=1'"一，數列｛%｝不為等差數列2n,n>2則p是q的既不充分也不必要條件.故選：D.【點評】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式及其性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.（2021春?遼寧期末）已知函數/（x）=/+3加，+內+/在x=-1時有極值為0,則=（）A.11 B.4或11 C.4 D.8【考點】利用導數研究函數的極值.【專題】計算題：導數的綜合應用.【分析】求導，由題意列方程組及不等式，從而解出用，〃的值.【解答】解：f（x）=3x2+6mx+n由題意，/ 2-l+3m-n+m=0H .2.v,v…且（6加）-4X3Xw>0.3—6m+n=0解得，m=2,〃=9；故選：A.【點評】本題考查了導數求極值時的應用，注意函數要產生增減區間才可以.

5.(2021春?雅安期末)在等比數列｛a“｝中，ai=14,a4=112,則S4=( )A.-64 B.63 C.210 D.-210【考點】等比數列的前n項和.【專題】計算題；方程思想；定義法；等差數列與等比數列；數學運算.【分析】設等比數列｛金｝的公比為g,利用。4=。1/求出用后根據等比數列前〃項和公式即可求S4.ii2【解答】解：設等比數列｛斯｝的公比為4，由0=14,04=112,得［3= = =8,01 14解得q=2,414(1-2)所以S4=—— -=14X15=210.1-2故選：C.【點評】本題主要考查等比數列的通項公式、前”項和，考查學生的運算求解能力，屬于基礎題.(2013春?利辛縣校級期中)用數學歸納法證明命題時，某命題左式為—+—+—+H ,則n=k+\H ,則n=k+\與"=左時相比，左邊應添加的項為(2n-l2* 2*+1 2*+2 2k+1-1:.—+—-—+——-——2* 2*+1 2*+1-1,1). 1 2&2k+1-1【考點】數學歸納法.【專題】規律型.11【分析】"=上時，最后一項為 ，”=價1時，最后一項為 ，由此可2*-1 2*+1-1得由〃=上變至ljn=k+\時，左邊增加的項即可.11【解答】解：由題意,〃=%時，最后一項為 〃=%+1時，最后一項為 ,2ft-1 2*+1-1,.由 〃=A變至lj〃=人1時，左邊增加了故選：B.【點評】本題考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，找出規律是解題的關鍵,屬于基礎題.（2021春?嘉興期末）函數/（x）=fsin2x在區間［-it,it］上的圖象可能是（ ）

D.【考點】D.【考點】函數的圖象與圖象的變換.【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；數學抽象；數學運算.一 — 兀【分析】根據題意，先分析函數的奇偶性排除8,再分析區間(——，n)±/(x)的符2號，排除4即可得答案.【解答】解：根據題意，/(x)=/sin2x,其定義域為R,有/(-X)=-x2sin2x=-f(x),為奇函數，排除CD,一—兀在區間(_,ir)上，sin2x<0,/(x)<0,排除/,2故選：B.【點評】本題考查函數的圖象分析，涉及函數的奇偶性、單調性的分析，屬于基礎題.(2019?越城區校級學業考試)數列｛的｝,仙“｝用圖象表示如下，記數列｛a/”｝的前〃項和為S”，則(為S”，則( )A.Si>S4，SioVSuB.S4>S5,S10VS13C.Si<54C.Si<54,Sio>5nD.S4Vs5,Sio>5|3【考點】數列的函數特性.【專題】計算題；圖表型；數形結合；數形結合法：點列、遞歸數列與數學歸納法；數學運算.【分析】根據數列｛的｝,出力圖象可知，斯，兒在〃取不同值時的符號，然后利用排除法即可得到正確選項.【解答】解：由數列S”},也〃}圖象可知，當"<4時，a?<0,當〃?5時，a?>0；當"W10時，bn<0,當""11時，加>0,.,.當"<4時，anbn>0,.,.Si<S4,排除Z選項；asb5<0,：.S4>S5,排除。選項：anili>0,.,.Sio<Sii.排除C選項；11W〃W13時,anbn>0,：.Sio<Si3,8選項正確.故選：B.【點評】本題考查了數列的函數特性，考查了數形結合思想，屬中檔題.TOC\o"1-5"\h\z, X（2015秋?臨沂校級月考）在梯形X8CZ）中，NABC=——,AD//BC,8c=2/0=248=2,2將梯形ABCD繞BC所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）4兀 5兀A.n B. C. D.2n3 3【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）.【專題】計算題；方程思想；綜合法；立體幾何.【分析】由題意可知幾何體是一個底面半徑為1,高為1的圓柱，加上一個相同底面高為1的圓錐的組合體，利用體積公式，求解幾何體的體積即可.【解答】解：由題意可知幾何體是一個底面半徑為1,高為1的圓柱，加上一個相同底面高為1的圓錐的組合體，2 1 2 4幾何體的體積〃=兀。1T+—?x,1T=—X.3 3故選：B.【點評】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，比較基礎.n—1（2021秋?朝陽區校級月考）已知數列{%},a= 則下列說法正確的是n（n+1）（）A.此數列沒有最大項 B.此數列的最大項是否C.此數列沒有最小項 D.此數列的最小項是【考點】數列的函數特性.【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法：函數的性質及應用：數學運算.07—1 1 2【分析】根據題意，分析函數'= = ，由此分析數列｛。〃｝@+1)2，+1的單調情況，據此分析可得答案.[n|1 2 ]【解答】解：根據題意，a=- = = "(n+D(n+1)2(n+1)2葉12(n+1)2,1 2對于函數y= ,x21,，+1(I+1)211,1,1設，= ,fW—,則、=，-2於=-2(1--)2+—,TOC\o"1-5"\h\z1+1 2 481t=—,即x=3時，y取得最大值，4ill 1 2當時，一W W——,函數y= 為增函數，4，+12 ，+13+1)2\o"CurrentDocument"1 1 1 2當x24時， .——，函數y= 為減函數，1+14 1+1(i+l)2故數列｛a”｝中，當1W〃W3時，數列S”｝遞增，且01=0,當〃24時，數列S”｝遞減，此時有a”>0,故此數列的最大項是。3=—，最小項為切=0，8故選：B.【點評】本題考查數列與函數的綜合應用，注意分析數列的單調性，屬于基礎題.二.填空題(共5小題)X 元(2021秋?興慶區校級期末)己知函數/G)=/(―)sinx+cosx,則/(—)的值為6 6【考點】導數的運算.【專題】函數的性質及應用；導數的概念及應用.兀【分析】求函數的導數，令》=—,即可得到結論.67C【解答】解：(x)=f(—)sinx+cosx>6TOC\o"1-5"\h\z, ,x:.f(x)=f( )cosx-situ.66，兀、 . 元X?兀、5/3 1則/(一)=/(一)cos--sin—=f(——)X-*—-一,\o"CurrentDocument"6 6 6 6 6 2 2故答案為：-1.. .. K【點評】本題主要考查函數值的計算，利用導數求出/（―）的值是解決本題的關鍵.6（2021春?海淀區期中）已知3個等差數列S"｝,｛仇｝,｛Cn｝,其中數列｛Cn｝的前〃項和記為S”,已知寫出一組符合條件的丁“1與的通項公式a〃=",b“=_2±-2（答案不唯一）.【考點】等差數列的前n項和.【專題】轉化思想；轉化法；等差數列與等比數列；邏輯推理.【分析】結合等差數列的求和公式及一些特殊數列即可求.【解答】解：取斯=",bn=2 ,Cn=",2nln(n+l) n(n+l)則an*bn- ,Sn—1+2+*?,+"= .2 2故答案為：an=n,加=」+L(答案不唯一).2【點評】本題主要考查了等差數列的求和公式，屬于基礎題.(2021?云南模擬)已知數列｛的｝的前“項和為S”，ai=2,2nSn=(2n-1)an+\,則數n n-i-2列｛——｝的前n項和T?=2 a 2nn 0【考點】數列的求和.【專題】綜合題；分類討論；轉化法；等差數列與等比數列；數學運算.【分析】本題先根據表達式代入"=1計算出"2=4,當〃22時，將2"S”=(2n-1)an+i轉化為S〃=(1)an+i.然后結合公式a”=S”-S“.”進一步計算即可發現數列｛引｝2n是以2為首項，2為公比的等比數列，從而可得數列｛斯｝的通項公式，進一步計算出數列｛―上｝的通項公式，然后根據通項公式的特點運用錯位相減法即可計算出前"項和Tn.Qn【解答】解：依題意，當〃=1時，21sl=(21-1)ai，TOC\o"1-5"\h\z2,Si=2Li=2,2=4, 02=4,當"22時，由2nSn=(2n-1)an+i,\o"CurrentDocument"? 2-1 1可得S”= an+\=(1 )a”+i，\o"CurrentDocument"2n 2n“11故an=Sn-Sn.\=(1- )fln+l-(1- )a”,\o"CurrentDocument"2n 2n-1化簡整理，得an+\=2an,?*a2=2ai也符合上式，??數列｛斯｝是以2為首項，2為公比的等比數列，??斯=2?2〃1=2〃，〃WN*,HH

-4- +???+?223TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 22n+12"2n+i—T2n+12"2n+i\o"CurrentDocument"2 2223兩式相減,\o"CurrentDocument"1 1 1可得一Tn=—+ 1?■■■+?\o"CurrentDocument"2 22222n+1n+2=1 2n+1n+2：.Tn=2- 2n故答案為：2-2n【點評】本題主要考查數列求通項公式，以及運用錯位相減法求前〃項和問題.考查了分類討論思想，轉化與化歸思想，等比數列的判別，以及邏輯推理能力和數學運算能力,屬中檔題.14.(2012春?金安區校級月考)對于函數/(x)=-2co&r,xG[0,n]與函數g(x)=—1+?ni有下列命題：2①函數/(X)的圖象不管怎樣平移所得圖象對應的函數都不會是奇函數；②方程g(x)=0沒有零點：③函數/(x)和函數g(x)圖象上存在平行的切線；④若函數/(X)在點尸處的切線平行于函數g(X)在點。處的切線，則直線尸。的斜率2-X其中正確的是③④(把所有正確命題的序號都填上)【考點】命題的真假判斷與應用；函數奇偶性的性質與判斷；利用導數研究曲線上某點切線方程.【專題】綜合題.… If【分析】①函數向左平移一個單位所得的為奇函數；2②求導函數，可得函數g(x)在定義域內為增函數，利用零點存在定理，可得函數g(x)在(e11)上有且只有一個零點；_ 1③根據，(x)=2sinx<2,g'(x)=x+ 22,可得函數/(x)和函數g(x)圖象X上存在平行的切線；④要使函數/(x)在點尸處的切線平行于函數g(x)在點。處的切線只有/(x)=g'(x)=2,故可得結論._ jr -【解答】解：①函數向左平移一個單位所得的為奇函數，故①錯；21②求導函數g'(x)=x+——>2,所以函數g(x)在定義域內為增函數，X1 1Vg(e1)= KO,g(1)=—>0,...函數g(x)在(el1)上有且只有一2e2 2個零點，②錯誤；1③因為(x)=2sinxW2,g'(x)=x+ 與2,所以函數/(x)和函數g(x)圖象X上存在平行的切線，③正確；④要使函數/(x)在點尸處的切線平行于函數g(x)在點。處的切線只有/(x)=g，r I 1 _(x)=2,這時產(——，0),Q(1,—),所以直線PQ的斜率為 ④也正確2 2 2-K故答案為：③④【點評】本題以命題為載體，考查命題的真假，考查導數知識的運用，考查零點存在定理，知識綜合性強.15.(2015春?遂寧校級期末)給出以下五個結論：①若等比數列｛"”｝滿足ai=2,且S3=6,則公比g=-2：nK②數列｛a“｝的通項公式a“=〃cos +1,前"項和為S〃，則Si3=19.2③若數列斯="2+而(?GN+)為單調遞增數列，則入取值范圍是入>-2；3④已知數列｛a”｝的通項a〃= ' 其前〃項和為S),則使5“>0的〃的最小值為2n-ll111、⑤1+ 1- !--??+ <2--(心2)n2 2 ?3nn其中正確結論的序號為②⑤)(寫出所有正確的序號).【考點】等差數列的通項公式：等比數列的通項公式.【專題】等差數列與等比數列.【分析】①對g分類討論：q=l,gWl,即可判斷出；AK②數列｛a〃｝的通項公式a”=〃cos +1,則ai=l,a2=-1>。3=1，。4=5,…，n=2k2-1(keN*)時，a”=l；"=44時，an=4k+\；〃=4%-2時，tz?=3-4k.計算出，即可判斷出正誤；③由許+1>%，解得人〉-(2”+1),即可判斷出：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 13 3 3④由數列｛斯｝的通項a“= ，ai=-一，ai=-一，a3=-一，…，。9=——，2n-ll3 7 5 7\o"CurrentDocument"1 3aio=—，a\\=——，而Sio=O,當〃Nil時，Sn>0,因此使得￡>0的”的最小值為\o"CurrentDocument"3 1111,即可判斷出正誤\o"CurrentDocument"_ 1 1 1 1⑤〃，2,——< = ,利用“裂項求和”即可得出.n2n(n—1)n—1n【解答】解：①若等比數列｛斯｝滿足ai=2,且S3=6,則g=l時滿足條件，q/1,由2(l+q+/)=6,解得q=-2,因此不正確；- nK②數列｛a〃｝的通項公式斯=〃cos +1,則〃i=l,a2=-1,。3=1，44=5,…，.".n2=2左-1(%WN*)時，a〃=l；〃=4Z時，a〃=4k+l；〃=4%-2時，斯=3-4k.貝lj813=(11+43+…+ai3)+(。2+。6+。10)+(。4+。8+。12)=7+(-1-5-9)+(5+9+13)=19,正確.③若數列%=〃2+而(WGN+)為單調遞增數列，???0+1〉%，解得人〉-(2/7+1),因此人>-3,故不正確；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 13 3④由數列｛。〃｝的通項斯= ，a\=-一,。2=--，。3=--，44=-1，。5=2n-ll3 7 53 3 13 .-3,戢=3,。7=1,?8=—,。9=——，aio=—，a\\= ,而Sio=O,當〃211時，5 7 3 11S〃>0,因此使得S〃>0的〃的最小值為11,故不正確.\o"CurrentDocument"、「I11.11 1.〃22, < = ,??1+ + +…+ Vn2n(n-l)n-1n22 32n2111111+(1 >…+( )=2--("22),因此正確.2 3n-1nn綜上可得：只有②⑤正確.故答案為：【點評】本題考查了數列的單調性、求和、“裂項求和”、“放縮法”、等差數列與等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題三.解答題(共5小題)16.(2021秋?東莞市期末)已知等差數列｛斯｝的公差為2,且田+1,及+1，如+2成等比數列.(1)求｛a”｝的通項公式；4(2)求數列｛ ｝的前”項和S”.Q—1n【考點】數列的求和.【專題】方程思想；綜合法；轉化法；等差數列與等比數列；數學運算.【分析】(1)由01+1,。2+1，。3+2成等比數列，可得(%+1)2=(。1+1)(03+2),即(%+3)2=(ai+1)(ai+6),解得ai，即可得出a”.4 4 1 11= = =—— .利用裂項求和方法即(2n+l)2-1n(n+l)nn+1第18頁共26頁可得出.【解答】解：(1)Vai+1,02+1，。3+2成等比數列，/.(fl2+1)2=(ai+1)(43+2),；?(%+3)J(ai+1)(ai+6)，解得m=3,.??a〃=3+2(〃-1)=2〃+l.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 4 1 1 1(2) = = =- .a：-1 (2n+l)2-1n(n+l)nn+1\o"CurrentDocument"4 ill ii i數列｛ ｝的前"項和Si=1-—+—-—+…+- =1 =fln-l 223 n n+1 n+1nn+1【點評】本題考查了等比數列與等差數列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.(2021春?豐臺區期中)已知函數/(x)=?-3x+l.(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程：(II)求函數/(x)的極值.【考點】利用導數研究函數的極值.【專題】方程思想；轉化法；導數的綜合應用；數學運算.【分析】(I)xeR,/(x)=3/-3,可得：/(0),/(0),利用點斜式即可得出曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程.(II)令，G)=0,解得x=-l,或x=l.利用導數研究函數的單調性即可得出極值.【解答】解：(I)xGR,f(x)=3f-3,則/(0)=-3,且/(0)=1.二曲線y=/(x)在點(0,/(0?處的切線方程為V-1=-3(%-0),化為：3x+y-1=0.(II)令，(x)=0,解得x=-1,或x=l.列表如下：X(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)f(X)+0-0+f(X)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增因此，當x=-l時，/(x)有極大值，并且極大值為/(-1)=3；當x=l時，/(x)有極小值，并且極小值為/(I)=-1.【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.(2021春?海淀區期中)問題提出：新型冠狀病毒是?種人傳人，不易被人們直覺發現,危及人們生命的嚴重病毒.我們把與新型冠狀病毒患者有過密切接觸的人群稱為密切關聯者.已知每位密切關聯者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為p(0Vp<l).一旦被確診為陽性后即將其隔離.某位患者在隔離之前，每天有人位密切關聯者與之接觸，其中被感染的人數為X(0WXWA).該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天內患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時間.設每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與上位密切關聯者接觸并繼續傳染其他人.小明想通過數學建模分析從某一名患者攜帶新型冠狀病毒的第1天開始算起，第"天新增患者數&("N2),同時他想研究戴口罩是否能夠切實減少病毒傳染.一、模型假設：1.潛伏期病毒未被發現，持續傳播2.每位患者每天接觸的人數均為左3.假設每位患者每天接觸的密切關聯者被感染人數為定值X=kp二、模型求解：①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,第2天被感染人數增至為：1+1?切=1+3；第3天被感染人數增至為(1+如)2.于是可以得出，第n天新增加人數&=%(1+如)”一2,小明根據自己的生活經驗取左=10,p=一2①原的值為233280;②經大量臨床數據驗證佩戴口罩后被感染患病的概率p'滿足關系式p'=ln(1+p)-第20頁共26頁上，當p'取得最大值時，計算p'所對應的E6’和■所對應的品值，然后根據TOC\o"1-5"\h\z3 2計算結果說明佩戴口罩的必要性.\o"CurrentDocument"2(參考數據：出2=0.7,歷3七1.1,/〃5比1.6,——七0.3,一=0.7,66=46656.計算結果3 3保留整數)三、模型檢驗與評價：通過與新聞中的數據對比，小明計算出的被感染人數遠高于實際的感染人數，你認為原因是什么？實際上有更多的防疫措施；病人體內病毒的傳染性可能會降低：實際接觸人數可能較少.【考點】離散型隨機變量及其分布列：離散型隨機變量的期望與方差.【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計：邏輯推理；數學運算.【分析】①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,第2天被感染人數增至為：1+1*kp=1+Ap；第3天被感染人數增至為：(1+kp)+(1+kp)kp=(1+Ap)2.第〃-1天被感染的人數增至為：(1+kp)"2第”天被感染的人數增至為：(1+切)丁1,根據題意中均值定義，可以得出，第〃天新增加人數蜃=切(1+3)”一2,由此能求出1 2 1—2o②P，=/(p)=加(]+p)--p，從而= - ，進而p'1+p 3 3(l+p)1 1 1=/(p)maxWp(——)=/n3-ln2-——七0.1,p=——，p'=0.1,由此能推導出獻口罩是2 3 2非常必要的.原因：實際上有更多的防疫措施；病人體內病毒的傳染性可能會降低；實際接觸人數可能較少.【解答】解：①根據題意，最初患者自己被感染，即第1天人數為1,第2天被感染人數增至為：1+1?S=1+切；第3天被感染人數增至為：(l+kp)+(1+kp)kp=(1+kp)2.第〃-1天被感染的人數增至為：(1+3)”-2,第〃天被感染的人數增至為：(1+S)〃r,于是根據題意中均值定義，可以得出，第〃天新增加人數：En=(1+切)n1-(1+即)n2=kp(1+kp)"-2,1 1 16 ,取左=10,p=—,得E8=10X—(1+10X—)=5X66=233280；2 2 22②根據題意p'—fCp)=ln(1+p)-——p,3…，,、 1 2_l-2p(p)= ，1+p 3 3(l+p)1當且僅當pe(0,—)時，f(p)>0,此時p'=/(p)單調遞增,21當——,1)時，(p)<0,即p'—f(p)單調遞減,2于是p'=f(p)maxWp(——)=ln3-ln2-—^0.1,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 31此時，p=—,p'=0.1,21?,.￡6=10X—（14-10X一） =5X64=6480（人），\o"CurrentDocument"2 21 1瓦，=iox—（1+10X——） =24=16（人），10 10戴口罩情況下患者與密切接觸的關聯者被感染的人數為16人，而不戴口罩的情況下，患者與密切接觸的關聯者被感染的人數為6480人，即比遠遠大于...讖口罩是非常必要的.原因：實際上有更多的防疫措施：病人體內病毒的傳染性可能會降低；實際接觸人數可能較少.故答案為：（1+即）2,kp（1+即）”-2,233280,實際上有更多的防疫措施；病人體內病毒的傳染性可能會降低：實際接觸人數可能較少.【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列的運算，涉及到古典概型、導數性質等基礎知識，考查運算求解能力等數學核心素養，是中檔題.（2013?樂山一模）已知函數/（x）=ln（1+x）-mx.（1）當加=1時，求函數/（x）的單調遞減區間；

(II)求函數/(x)的極值；(III)若函數/(x)在區間［0,e2-1］上恰有兩個零點，求m的取值范圍.【考點】利用導數研究函數的單調性：利用導數研究函數的極值.【專題】綜合題；導數的綜合應用.【分析】(/)確定函數/(x)的定義域，求導函數，利用/(x)<0,可得/(x)的單調遞減區間；(〃)求導數，分類討論，確定函數的單調性，從而可得函數/(x)的極值：(〃/)由(〃)問可知，當加《0時，在區間［0,1］不可能恰有兩個零點；當機>0時，利用。為/(x)的一個零點，結合f(x)在［0,/-I］恰有兩個零點，建立不等式，即可求機的取值范圍.【解答】(/)解：依題意，函數f(x)的定義域為(-1,+8),］TOC\o"1-5"\h\z當初=1時，f(x)=ln(1+x)-x,；?''(1)= (2分)1+11 —0由/(x)V0得 1V0，即 <0，解得x>0或xV-1,1+1 1+1又；x>-1,，x>0,.V(x)的單調遞減區間為(0,+8). ???(4分)(//)求導數可得,(1)= (x>-1)1時，f(x)20恒成立，.?./(x)在(-1,+8)上單調遞增，無極值.…(6分)1 1m>0時，由于 1>-1，所以/(x)在(-1? 1］上單調遞增，在m m: 1,+8比單調遞減,m從犯⑸極大值1)=從犯⑸極大值1)=m—inm—1-…(9分)(///)由(〃)問顯然可知，當mWO時，/(x)在區間［0, 1］上為增函數，在區間［0,e2-1］不可能恰有兩個零點.…(10分)1TOC\o"1-5"\h\z當z?>0時，由(〃)問知/(x)極用a=* 1).m又/'(())=0,，0為/(x)的一個零點. …(11分)?(e-l)<0...若/(x)在［0, 1］恰有兩個零點，只需(八，1 ,0< 1<e-1mr2-m(e-l)<0即h ,—<m<l,e2?*- EmVI…(13分)e—1【點評】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題.220.(2021春?徐州期中)已知函數，(1)=aln++——+o.x(1)若/(x)在口，2］上單調遞減，求a的取值范圍：(2)若/(x)有兩個零點xi，X2，求a的取值范圍；(3)證明：當。=1時，若對于任意正實數xi，X2，且xi〈X2，若/(xi)=f(X2))則Xl+X2>4.【考點】利用導數研究函數的單調性.【專題】函數思想；綜合