二十一 第1 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）教學過程 Ww.xKb1.co如果假設門的高為x尺，那么，這個門的寬為 根據題意，得 （1）x（2）（3）因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元，并且未知數的最高次數是2（二次）的方xax2+bx+c=0（a≠0．這種形項，b是一次項系數；c是常數項．13x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及ax2+bx+c=0（a≠02（2（x+2=2（x+2）=1三、鞏固練習練、2 2 (2)x (3)3xx

=0(4)x-

(5)ax3x（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可．證明：m2-8m+17=（m-∴（m-4）2+1>0，即（m-1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一（2）第221．1 重點：判定一個數是否是方程的根；新|課|標|第|一|x123456789…x2-…x12345x123456……（1）（1）如果拋開實際問題，問題2中還有x=-11的解．回過頭來看：x2-8x+20=02102x=-11解：將上面的這些數代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x=1xax2+bx+c=0(a≠02007(a+b+c)的值練x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一個根為0,則求a的值點撥:如果一個數是方程的根,那么把該數代入方程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問題的思維方法經常用到,要深理解.（1）x2- （2）3x2- （3）x2- 探索8、第321.2.1配方重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；降次──轉化的數學思想難點與關鍵：通過根據平方根的意形如x2=n，知識遷移到根據平方根的意形如問題1．填空（1）x2- ）2（2）9x2+12+ ）2（3）x2+px+ （1）16 4（2）4

p p 問題2：目前我們都學過哪些方程?二元怎樣轉化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何2t+1變為上面的x (3)x2-2x+4=-分析：很清楚，x2+4x+4（x+2）2=1．（x+3）2=22222即 2222 ，x2=-2210x=10（1+x住房面積就應該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2x，因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2所以，每年人均住房面積增長率應為20%．練|k|B|1.c|O|m3．13.31（1+x那么1+（1+x）+（1+x）2=3.3123

+23

3 =±1.6

2

=-p x2=p（p≥0，p

p（+）=（≥0，那么p1．復習鞏固1、

第422.2.1配方法通過復習可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）（1）3x2- （2）4（x-1）2- pp或pp

（p≥0列出下面問題的方程并回答：xKb1.Cx兩邊加（6/2）2x2+2bx+b2的形式→左邊寫成平方形式→（x+3）225降次→x+3=±5即x+3=5x+3=-解一次方程→x1=2，x2=-例1．用配方法解下列關于x的方程（1）x2-

（2）x2-2x-12（1）（2）P38 P39 2（13．Rt△ACBC=90°，AC=8m，CB=6mP、QA，BACBCC1m/sPCQ的面積為Rt△ACBAP xPCQRt△ABCPCQ解：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．2

x（6-

整理，得：x2-（x-7）2=25x1=12，x2=2x1=12所以2秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．1．復習鞏固第521.2.1配方法重點：講清配方法的解題步驟．新課 第一（1）x2- （2）2x2-老師點評：我們上一節課，已經學習了如何解左邊不含有x （2）1（3） （2）3x2- （（1+）+21+）P 練 2（用非負數的性質判數式的正負性（如例3）在今后學習二次函數，到高中學習二次曲線時，還將經常用到。1. 3（3（4）（1）第621.2.2公式復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0） 提問 提問2 （2）1（3）（1）ax2－7x+3 (2)aax2+bx+c=（a≠0 Ww.xKb1.coMbb2ax2+x+bb2

bbb2

分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a、b、c解：移項，得：ax2+bx=-a

x=-aa

x+（

）2=-a

+（b即（x+

b24ac

b2∵4a2>0，4a2＞0,當b2-4ac≥0b2b2

b2b2bb2bbb2bb2

bbb2

解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0b2-4ac≥0a、b、cbbb2

（1）2x2-x- （2）x2+1.5=- (3)

x+1 （4）4x2-222補:（5（x-2（3x-三、鞏固練習 Ww.xKb1.coP42 （1（3例2．某數學小組對關于x的方程（m+1）xm22+（m-2）x-1=0提出了下列問題m（1）m21

m21

m1(m1m2)0m20m2 求根公式的概念及其推導過程；（2）a,b,c,注意各項的系數包括符號。3b2-4ac，若結果為負數，方程無解，4）若結果為非負數，代復習鞏固4．第721.2.4判別一元二次方程根的情掌握4>0++=（04=0++=≠0）有兩個相等的實數根，反之也成立；4<0，2++=0（≠0）沒實根，反之也成立；及其它們關系的運用．b2-4ac<0XKb13（1）2x2- （2）3x2- 3老師點評，（三位同學到黑板上作）老師只要點評（1）b2-4ac=9>0，有兩個不相等的實根；（2（3）b2-b2-4acx1、x2的關2x2-3x2-23從前面的具體問題，我們已經知道

bb2bb2b2bb2

一元一次方程的

bbb2

，即有兩個不相等的實根．當b2-4ac=0

b24ac=0，x1=x2bb2-4ac<0因此，（（1）當b2-4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個不相等實數根即bbb2

bbb2例（1）16x2+8x=- （3）2x2- （4）x2-7x-b2-4ac000（1）16x2+8x+3=0這里

（3）3x2+6x- （4）4x2-x+13 3

（2）x- 42

4

（6）4x-．ax+3>0ax>-3a0．因為一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0沒有實數根，即（-2a）2-4（a-2（a+1）<0a本節課應掌握：b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實根；b2-4ac=0一元二次方程 綜合運用 第821.2.3因式分解（1）2x2+x=0（用配方法 （2）3x2+6x=0（用公式法（1

4

44

）2（2）（1） 22（式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法．（1）10x-4.9x2 （2）x（x-2）+x-2

(3)5x2-2x-4

4(4)(x-1)2=(3-2x)2 解： A（x-3（x-B（2-2（5x-5

，x2=5（2）24=，∴12，2 兩邊同除以x，得x=1aba2

a2

a2b2a2b2∵9a2-

∴（3a+2b（3a-3a+2b=03a-2b=0，a=-32

ba23當 b時，原式 2323

ba（x-ba（x-（1）x2-3x- （2）x2- （3）x2+4x-一次項是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根據上面的分析，我們可以對上面的三題分解因式．復習鞏固5 第9一元二次方程的解法復習課 (B)配方 (C)公式 （1）7x-3=2x2 24x2+7x=2 )(5)2(0.2t+3)2-12.5=0 )(6) x-4=0 2右邊為0的特點的一元二次方程時，非常簡便。材料：為解方程(x2-1)2-5(x2-1)2+4=0,我們可以視（x2-1）為一個整體，然后設x2-1=y,原方程可化為222 .當y2=4時，x2-1=4即x2=5,222

（1） 思想（2）解方程x4—x2—6=0.③因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0．作業P58復習題22 的特點，本課在(a≠0,b2–4ac≥0)的前提條件下設計，所有的一元二次方程均有解.一、前2天悄悄地聽到咱班的和的一段，內容如下：董：什么鄭：呵呵，這絕對是個，我不能直接告訴你，我這么說吧：啊是方程x2–12x+35=0的兩根的積，回去你把2根求出來就知道了.-200=0222222x2–5x+623562x2–3x+112132123x2+x-223-1-2-22三、引導學生獨立證明：x1x2是一元二次方程ax2+bxc0a≠0b2x1+x2=

,x1x2

【設計意圖】x1x2的值，接下來將字母x1x2的值代入相應的代數式x1+x2x1x2得出根系關系的結論，憑借學生自己的現有能力可（1）x2–3x+1（2）3x2–2x-（3）2x2–3x（4）3x2122：x1x2x2-4x1=02 （2）x12+（（x1（1）

+（2（x1+1（x2+1）【設計意圖】本例對絕大多數同學來說是可以掌握的內容，也是研究根系關系應掌握的內容，還可以讓學生進一步體會整體代入的數學思想方法.第1021.3實際問題與一元二次方程(1)問題①審題，②設出未知數.③找等量關系 （學生活動）1:121分析:1第一輪傳 解:設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人,則第一輪后共有 列方程 x2+2x-解方程, x1=- 某種植物的主干長出若干數目的支干,每個支干又長出同樣數目的小分支,主干,支干和小分支的總數是 2901．P58復習題 第1121.3實際問題與一元二次方程2兩年前生產15000元,生產1噸乙種藥品的成本是6000現在生產1300013600 解:設甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x5000(1-x)2元,依題意得經過計算,你能得出什么結論?成本下降額較大的藥品,它的成本下降率一定也較大嗎?應怎樣全面地比小結：若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)nb,則它們的數量關系可表示為a(1±x)n=b(中增長取+,降低取－)某化工廠今年一月份生產化工原料15萬噸，通過優化管理，產量逐年上升，第一季度共生產化工原料60萬噸，設二、三月份平均增長的百分率相同，均為x，可列出方程為 例2．將2000元按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得 第二次存，本金就變為1000 解：設這種存款方式的年利率為x則 1解得：x1=-2（不符，舍去，x2=8

第1221.3實際問題與一元二次方程0.4m．（1）12

整理，得：5x2+6x-45

=0.8m，x2=-2（舍（2）1.6750=25學生活動：例2．如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正是一個與整個封面長寬比應如何設計四周邊襯的寬度（0.1cm）？級練學習步思考：(1老師點評：依據題意知：矩形的長寬之比等于封面的長寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：矩形的43

18x（21-4整理，得：16x2-解方程，得：x6334

所以：9x1=25.2cm（舍去，9x2=1.8cm，7x=1.4cm33220是多少?使圖(1),(2)的草坪面積為540米2. 余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為500m2，道路的寬為多少？ 設道路的寬為x，我們利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把兩條路移動一（20-x（32- 整理，得：x2-．綜合運用5、 第1321.3實際問題與一元二次方程分析：這是一個加速運運，根據已知的路程求時間，因此，只要把s=200t解得t=20（s）3200m203（綜合運用9 復習題第1422.3實際問題與一元二次方程問題：某商場禮品柜臺春節期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500每0.3元平均每天可多售出100商場要想平均每天120元，每賀年卡應降價多少元?

xx（500+剛才，我們分析了一種賀年卡原來平均每天可售出500每0.3元，為了減少庫存降價銷售，知每降價0.1元，便可多售出100元，為了達到某個目的，每賀年卡應降價多少元?如果本題中有兩種賀年卡例．某商場禮品柜臺春節期間購進甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500每發現，如果甲種賀年卡的售價每降價0.1元，那么商場平均每天可多售出100如果乙種賀年卡的售每降價0.25元，那么商場平均每天可多售出34如果商場要想每種賀年卡平均每天120元，那么哪種 一樣多，都是150元；0.30.75100，從這些數目看，好 （1）0.5（0+3

y即 y（200+136y）=1204 2 123 123456789BC12 48x元，月銷售利潤為yyx（1）（3）月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過10000=250kg（1）×0=50（g元 課 1ABxmx另一邊BC的長，進而得出矩形的面積ym2．試將計算結果填寫在下表的空格中，ABx)確定后，矩形的面積(y)也隨之確定，yx 5cmBC對于2，可讓學生分組討論、交流，然后各組派代表 值不可以任意取，有限定范圍，其范圍是0＜x＜10。 y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函數關系式．某商店將每件進價為810100店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場，發現這種商品x5yyx y=x(20－2x)(0＜x＜10＝ 將函數關系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為： 1多項式－2x2＋20100x2＋100x＋200本章導圖中的問題以及P12讓學生討論、交流，意見，歸結為：自變量x為何值時，函數y取得最大2．二次函數定義：形如 (a、b、c是常數，a≠0)的函數叫P31，2 課 1y=x21x…-3-2-10123…y…9410149…y=x2的圖象，如圖所示。y=x2y=-x2的圖象，觀察并比較兩個圖象，y=2x2y=-2x2的圖象，觀察并比較這兩個函在學生畫數圖象同時，師要指中下水的生，講評，要引學生討論選幾點比較適以及何選點兩個函圖的共同點及它們區別，可分組討論交流讓學生 不同意見達成共兩個函的圖象是拋線都關于y軸稱頂點標都是00)區別在數=2的圖象開向上函數y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2y=ax2y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的圖象的共同特點，可猜想：函數y=ax2的圖象是一條 如果要更細致地研究函數y=ax2圖象的特點和性質，應如何分類？為什么?當a>0時，拋物線y=ax2開口 yA、yB大小關系如何yC、yD大小關系如何，且，且當X<0時，函數值y隨著x的增大 ，當X>O時，函數值y隨X的增大 ；當 時，函數值y=ax2(a>0)取得最小值，最小值 a>0y=ax2的性質。<O=2<O=2的性質；當<0函數值y隨x>Oy隨x0時，22.1二次函數課 y＝ax2＋bx＋cy＝ax2＋b性質及它與函數y＝ax2的關系。 y＝ax2＋by＝ax2系 二次函數y＝2x2的圖象 ，在對稱軸的左側，y隨x的增大而 ，在對稱軸的右側，y隨x的增大 ，函數y＝ax2與x＝ y＝2x2＋1y＝2x2的圖象開口方向、對稱軸和問題1：對于前面 第2個問題，你將采取什么方法加以研究?(畫出函數y＝2x2和函數y＝2x2的圖象，并加以比較)2y＝2x2y＝2x2＋1先讓學生回顧二次函數畫圖的三個步驟，按照畫圖步驟畫出函數y＝2x2的圖教師說明為什么兩個函數自變量x可以取同一數值，為什么不必單獨列出函數y＝2x2＋1的對應值表，并讓學生畫出函數y＝2x2＋1的圖象．x…0123……82028…y＝x21…93l39…（圖象略3xx3，－2，－1，0，1，2，31的函數值都比函數y＝2x2的函數值大1。y＝2x2＋1y＝2x23y＝2x2＋15：現在你能回答前面2與y＝2x20，0y＝2x2＋1的圖象的頂點坐標是(0，1)。6y＝2x2y＝2x2＋1當x 時，函數值y隨x的增大而減小；當x 時，函數值y隨x的增大而增大，當x 值y＝ 7y＝2x2－2y＝2x2的圖象，再作比讓學生意見，歸納為：函數y＝2x2－2y＝2x2的圖象的開口方向、對稱軸相同，但頂點坐標不同。函數y＝2x2－2的圖象可以看成是將函數y＝2x2的圖象向下平移兩個單位得到的。問題8：你能說出函數y＝2x2－2的圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標，以 分組討論這個函數的性質，各組選派一名代表發言，達成共識：當x＜0時yxx＞0yxx＝01

x2＋2

x2y＝－

31結論：函數

1/3x2＋2

－

13

13

x2＋2y1－3最大值y＝2。四、練習 P7練習在同一直角坐標系中，函數y＝ax2＋k的圖象與函數y＝ax2的圖象具有什 課 y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2的性質，理解二次函數y＝a(x－h)2的圖象與二次函數y＝ax2的圖象的關系。 多課 2

2

二次函數y＝2(x－1)2的圖象與二次函數y＝2x2的圖象的開口方向、對稱軸 問題2：你能在同一直角坐標系中，畫出二次函數y＝2x2與y＝2(x－1)2的圖象y＝2(x y＝2(x派代表意見，達成共識：函數y＝2(x－1)2與y＝2x2的圖象、開口方向相同、y＝2(x1)2y＝2x2的圖象向右平移1個單位得到的，它的對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是(1，0)。4y＝2x2y＝2(x－1)2的性質嗎?當x 時，函數值y隨x的增大而減小；當x 時，函數值y隨x的增大而增大；當x＝ 值y＝ 問題5：你能在同一直角坐標系中畫出函數y＝2(x＋1)2與函數y＝2x2的圖象，并 讓學生不同的意見，歸結為：函數y＝2(x＋1)2y＝2x2的圖象(－1，0)。6y＝2x2y＝2(x＋1)2的性質嗎?x＞－1yxx＝1值，最小值y＝0。 7y＝－(x＋2)2y＝－x2 119y＝(x＋2)23當x＞－2時，函數值y隨工的增大而減小；當x＝－2時，函數取得最大值，最大值y＝0。 P8練習在同一直角坐標系中，函數y＝a(x－h)2的圖象與函數y＝ax2的圖象有什么聯 課 y=a(x－h)2＋k正確理解函數y=a(x－h)2＋k的圖象與函數y=ax2的圖象之間的關系以及函數 向右 向右的圖 1個位1個單 向y頂點 y=2x2＋1y=2x2新|課|標|第|一|(函數y=2x2＋1的圖象可以看成是將函數y=2x2的圖象向上平移一個單位得到(函數y=2(x－1)2的圖象可以看成是將函數y=2x2的圖象向右平移1個單位得到的，見P10圖23.2.3)函數y=2(x－1)2＋1圖象與函數y=2(x－1)2圖象有什么關系?函數＋123，教師可組織學生分組討論，互相交流，讓各組代表發言，函數y＝2(x－1)2＋1的圖象可以看成是將函數y=2(x－1)2的圖象向上平稱1y=2x211x＜1yxx＞1yx增大；當x=1時，函數取得最小值，最小值y=1。y=2(x－1)2的圖象作比較嗎? 5y=－(x－1)2＋2y=－x2 (函數y＝－(x－1)2＋2的圖象可以看成是將函數y=－x2 2x=1，頂點坐標是 P10練習 課 y＝ax2＋bx＋c及性質的過程，理解二次函數y＝ax2＋bx＋c的性質。 理解二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質以及它的對稱軸(頂點坐標分別是x＝－ 多課 1y＝－4(x－2)2＋1y＝－4x2的圖象向右平移x＜2yxx＞2yx減小；當x＝2時，函數取得最大值，最大值y＝1)1不畫出圖象，你能直接說出函數

Ww.Xkb1.cO1[因為

＝－(x－1)2－2， 1

2

2

2(2)直角坐標系中x軸、y軸的長度單位可以任意定，且允許x軸、y軸選取的 x＜1yxx＞1yxx＝112

通過配方變形，說出函數y＝－2x2＋8x－8的圖象的開口方向、對稱軸和函數的最大值或最小值與函數圖象的開口方向有什么關系?這個值與函數圖象的頂 y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋ax)＋c＝a[x2＋ax＋(2a)2－(2a)2]＋c＝a[x2＋ax＋ 當a＞0時，開口向上，當a＜0時，開口向下。對稱軸是x＝－b/2a，頂點坐 標是 )新課標第一 P12練習五、小結 課 使學生能根據問題的實際情況，確定函數自變量x 多課 課目 標 同研究嘗試解以下幾問。問題1：某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個噴頭向外噴水。連噴頭在內，柱高為0.8m。水流在各個方向 4x(my＝－x2＋2x＋。5讓學生討論、交流，如何將文學語言轉化為數學語言，得出問題(14y＝－x2＋2x＋最大值，問題(2)就是求如圖(2)B5問題2：一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現測得，當水面寬ED出FD的長度。在如圖(3)的直角坐標系中，即只要求出D點的橫坐標。因為點D在涵洞所成的拋物線上，又由已知條件可得到點D的縱坐標，所以利用拋物線的函數關系式可以進一步算出點D的橫坐標。AByOy垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，開口向下，所 因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)， －2.4＝a×0.82所以- y＝－4 問題3：畫出函數＝2－x34的圖象，根據圖象回答下列問題3當x取何值時，y＝0?這里x的取值與方程

＝043畫出函數＝2－－的圖象4 12

2

，06．對于問題()，教師組織學生分組討論、交流各選派代意班交達成識3從“形”的方面看，函數y＝x2－x－的圖象與43軸交點的橫坐標，即為方程x2－x－＝0的解；從43－的函數值43為0時，相應的自變量的值即為方程x2－x－4的解。更一般地，函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標即為方程ax2＋為方程ax2＋bx＋c＝0的解，這一結論反映了二次函數與一元二次方程的關系。xy＜0x (當－＜x＜時，y＜0；x＜－或x＞時， 能否用含有x的不等式來描述(1)中的問題 x2－x－＜0?x2－x－＞0 y＝ax2＋bJ＋cxax2＋bx＋c＞0x標．即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0y＝ax2＋bx＋c0ax2＋bc＋c＜0四、小結：1．2y＝ax2＋bx＋cxax2＋bx＋c＝0ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0課 讓學生體驗函數y＝x2和y＝bx＋cx2＝bx＋c程，掌握用函數y＝x2和y＝bx＋c圖象交點的方法求方程ax2＝bx＋c的解。 多課 1y＝ax2＋bx＋cax2＋bx＋cy＝2x2－3x－22x2－3x－2＝0 函數y＝2x2－3x－2的圖象與x軸交點的橫坐1分別是x1＝－和x2＝2，所以一元二次方程的解是1x1＝－和x2＝22 － 1＝x2－x－3的圖象，觀察它與x21移項，而是分別畫出了函數y＝x2和y＝x＋2的圖象，如圖(323A、B的橫坐標－和22提問 1.這兩種解法的結果一樣嗎 3y＝x2和y＝bx＋c的圖象一定相交于兩點嗎?你能否舉出例子加4y＝x2y＝bx＋cx2＝bx＋c的解嗎?5y＝x2y＝bx＋cx2＝bx＋c(1)x2＋x－1＝0(精確到0.1)； ②要把(2x2＝x＋1y＝x2y＝x＋1 y1＝2x2－8x＋k＋8y2＝mx＋1P(3，4m)。所以y1＝x＋1，P(3，4)。 解 所以 y＝2x 五、小結 的解的情況，來判定函數y＝x2 課 y＝ax2的關系 已知二次函數圖象上一個點的坐標或三個點的坐標，分別求二次函數y＝ax2、多課 課 多課 已知二次函數的圖象經過A(01)B(13)C(－11。 )對稱軸

，)。 b

此，可以設函數關系式為：y＝a(x－8)2＋9請完成本例的解答。例2．已知拋物線對稱軸是直線x＝2，且經過(3，1)和(0，－5)兩點，求二次－5c＝－5，又由于二次函數的圖象過點(3，1x＝2， 可以得解這個方程組，得 所以所求的二次函數的關系式為－5解法二；設所求二次函數的關系式為＝(x2)＋k，(3，1)和(0，－5)兩點，可以得到

解這個方程組，得：

a(0－2)所以，所求二次函數的關系式為＝2(x2)23，即＝22＋8－例3。已知拋物線的頂點是(2，－4)，它與y軸的一個交點的縱坐標為4，求解法：設所求的函數關系式為依題意，得()－2)－44，解得a＝2。所以，所求二次函數的關系式為＝(－2)－4，即＝22－8＋解法2：設所求二次函數的關系式為y＝ax2bxc?依題意，得b

所以，所求二次函數關系式為

＝2x2－8x＋4x＝－31x＝0y＝－3，求二次函－b＝3，又由于二次函數當x＝－3時，有最大值－1

9

3

＝4 解得94即9

3

y＝x2＋px＋q5，－2)，求二次函數關22

讓學生回顧、思考、交流，得出：關鍵是確定上述兩個式子中的待定系數，通常課 y＝ax2能確定拋物線的頂點、對稱軸、開口方向，能較熟練地由拋物線y＝ax2經過適當 多課 2例：已知函數y(m2)xmm4x1值；(2)mxyx的增大而增大?(3)mxy隨x的增大而減小?(0，0)，對稱軸是y軸，即直線x＝0。2(1)使y(m2)xmm4xm2＋m－4＝20，m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2(2)拋物線有最低點的條件是它開口向上，即m＋2＞0，(3)函數有最大值的條件是拋物線開口向下，即m＋2＜0。2強化練習；已知函數y(m1)xmm y＝－3x2－6x＋8怎樣的平移，可得到拋物線y＝－3x2。 b y＝ax2＋bx＋c————

(1)拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象向左平移2個單位。再向上平12象。3例：如圖，已知直線AB經過x軸上的點A(2，0)，且y＝ax2相交于B、C兩點，已知B1，如果DAODOBC積相等，求D點坐標。教師點評：(1)直線AB過點A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y＝kx＋b，可確定k、b，拋物線y＝ax2過點B(1，1)，代人可確定a。(2y＝－x＋2y＝x2CS△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3 S△AOD＝S△OBC，且 D的縱坐標3又 (1)ab(3)xy＝ax2yx課 多課 y＝ax2＋bx＋cy＝－3/2x＋3x軸、y軸的交點；且過(1，1)，求這個二次函數解析式，并把它化為教師歸納：二次函數解析式常用的有三種形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k當已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時，通常設為兩根式y＝a(x－x1)(x－x2)強化練習：已知二次函數的圖象過點A(1，0)和B(2，1)，且與y軸交點縱坐標為y＝ax2＋bx＋cA(－1，0)，且經過直線y＝x－3與坐標軸的兩個交點B、C。若點MOM⊥BC，垂足為D，求點M的坐標。A、B，Cy＝x2－2x－3。 又OM⊥BC。所以，OM平分∠BOC 設M(x，－x)代入 解得 2 2因為M在第四象 2 2題后：此題為二次函數與一次函數的交叉問題，涉及到了用待定系數法求函數解析式，用配方法求拋物線的頂點坐標；等腰三角形三線合一等性質應用，求M求證不論m為何值，函數圖象與x軸總有交點，并m為何值時，只有課 多課 1地 對該花木產品每投資x萬元，所獲利潤為 10萬元，為了響應我國西部大開發的宏偉決策，區在制定經濟發展的10年規5 xQ=－(50－x)2＋ ＋308若按此規劃開發，求10年所獲利潤的最大值是多少?1 1

(25－30)2＋10=9.5(萬元5年的最大利潤為M2=9.5×5=47.5

(50－x)＋

1外地銷售的投資．才有可能獲得最大利潤；則后5年的利潤是： M33500 因為800經試銷，發現銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)可近似看做—次函數y＝kx＋b的關y＝kx＋b設公司獲得的毛利潤(毛利潤＝銷售總價－成本總價)為S元，①試用銷售單xS；②試問銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大利潤?最大利潤分析：(1y＝kx＋b600，400)、(700，300)兩點，代入可求 例： 公司設計一幅周長為12米的矩 牌 設計費為每平方Sx S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，x＝33時，矩形面積最大，為9m2，因而相應的費也最多：為9×1000＝9000元。設設計的黃金矩形的長為x米，則寬為(6－x)米。解得 5(不合題意，舍去 二、課堂小結：第二十三 旋 ABCDB的對應點為點D如圖，已知△ABC和直線L，請你畫出△ABCL請看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉動？旋繞什么點呢？從現在到下鐘轉了多少度？（）老師點評：時針、分針、秒針在不停地轉動，它們都繞時針的中心．如果從現在到下針轉 度．XKb1像這樣，把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做如果圖形上的點PP′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點． 轉得到經過旋轉，點A、B（1）（2）ABEF2（（2） （3）ABC、點DEFGP65 例3．兩個邊長為1的正方形，如圖所示，讓一個正方形的頂點與另 個正方14

另一個分析設任轉一角度如圖中的虛線部分，要說明旋轉后正方形部分面積不變只要說明S△OEE`=S△ODD`，1．復習鞏固1、2、

如圖，OABCDEF能否看做是某條線段繞O（老師點評）分析：能．看做是一條邊（如線段AB）繞O60°、120°、180°、是否相等？ OEF、（1）（2）（3） 有請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一個點O（△ABC（△A′B′C′OAOA′，OBOB′，OC與OC與△∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我們把這三個相等的角，即對應點與旋轉中心 （3，得出例1．如圖，△ABC繞C點旋轉后，頂點A的對應點為點D，試確定頂點B對應 點的位分析：繞C點旋轉，A點的對應點是D點，那么旋轉角就是∠ACD，根據對應點 與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即∠BCB′=ACD，又由對應點到旋轉中心的距離相 等，即CB=CB′，就可確定B′的位置，如圖所示．（1）CEBB連結則△DB′CABCC2．ABCD1DE4

分析：由△ABF是△ADE的旋轉圖形，可直接得出旋轉中心和旋轉角，要求AF的長度，根據旋轉前后的對（1）∴BD444∴AF=4且 P64 例3．如圖，K是正方形ABCD內一點，以AK為一邊作正方形AKLM，使L AK的同旁，連接BK和DMBK與DM1．復習鞏固 1（如圖，△AOB繞O點旋轉后，G點是B點的對應點，作出△AOB旋轉后 的三（老師點評）分析：要作出△AOB旋轉后的三角形，應找出面：第 轉中心：O；第二，旋轉角：∠BOG；第三，A點旋轉后的對應點：A′．ABCD以O30°、60畫出以下圖，四邊形ABCD分別為O、O30 變旋轉 135°、分析：只要以O為旋轉中心、旋轉角以上面為變化，旋轉長度為菊花的最長OA， 按菊花（1）OOA45依此類推畫出旋轉角分別為90°、135°、180°、225°、270°、315° 的A、那么所畫的圖案就是繞O例2（學生活動）如圖，如果上面的菊花一葉，繞下面的點O′為旋轉中 心，P65 解（1）連結OA，過O點沿OA逆時針作∠AOA′=90°，在射線OA′上截取OA′=OA；′作出幾個復合圖形組成的圖案旋轉后的圖案，要先求出圖中的關鍵點──線的端點、角的頂點、圓的圓1． 180°的特殊旋轉──中心對稱請獨立完成下題如圖，△ABC繞點O旋轉使點A旋轉到點D處，畫出旋轉后的三角形， 并寫 轉中 針旋都符合要求，一般我們選擇小于180°的旋轉角為宜，故本題選 的旋 角． 對應 距離相（1）分別以OB、OB分別截取依次連結DE、EF、問題：作出如圖的兩個圖形繞點O180以O180像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那 么就說 回答如果是中心對稱，那么A、B、C、D（1）（1）連結A′B′、B′C′、C′DA′B′C′D23-44（1） 心是（2）A、B、C、D關于中心D的對稱點是A′、B′、C′、D′，這里的D′ 與D重2．ADABC的中線，畫出以點DABD分析：因為D是對稱中心且AD是△ABC的中線，所以C、B為一對的對 此，只要再畫出A關于D的對應點即可．解（1延長AD，且使AD=DA′，因為C點關于D的中心對稱點是（C′， B點關于中心D的對稱點為C（B′）P74 2．例3．如釁，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，現將△ABC沿CB方向 移到x（0≤x≤4，（1）∵BC=4，AC=41． （老師口問，學生O第二步，以△ABCC（O）180°畫出△A′B′和△A′B′C12 分別連接對稱點AA′、BB′、CCOO下面，我們就以圖2為例來證明這兩個結論．（1）和△（2）AAO180OAO180OAO線段AA′上，且OA=OA′，即點O是線段AA′的中點．同樣地，點O也段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即點O是BB′和CC′的中點． 對稱分析：中心對稱就是旋轉180°，關于點O成中心對稱就是繞O旋轉180°，因 們連AO、BO、CO并延長，取與它們相等的線段即可得到．（1）BCE順次連結DE、EF、FD．則△DEF2（學生練習，老師點評）ABCDOA′BC′DA′B′C′D′和四邊形ABCD關于點O成中心對稱（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法．P70 3．如圖等邊△ABC內有一點O，分析：要證明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC轉為在一個三角形內，應 用兩邊之和大于第三邊（兩點之間線段最短）來說明，因此要應用旋轉．以A為旋轉中心，旋轉60°，便可把OA、OB、OC轉化為一個三角形內．即OA+OB>OC1．復習鞏固 1（2（ AOB（2）AO使OC=AO，延長BO使OD=BO，從另一個角度看，上面的（1）題就是將線段AB繞它的中點旋轉180°，因為OAOB，所以，就是線段AB繞它的中點旋轉180°后與它重合．題，連結O O 180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個（學生活動）2：請說出中心對稱圖形具有什么特點？例 O O證明：如圖，OABCDACBDOAO=CO，BO=DO，即四邊形ABCD的對角線互相平分，因此，四邊形ABCD是平行四邊形．P72 4．ABCDAB=3，BC=4CAEFCAEFA、C兩點關于OCAEFEF 形 CF=x，則AF=x，BF=4-2

AC=2 ∴32+（4-∴x=8

）2-（

15 OE15EF=OE+OF 1．綜合運用23.2中心對稱P（x，yPPP（x，y）P′（-復習軸對稱、旋轉，尤其是中心對稱，知識遷移到關于原點對稱的點的坐標的關 重點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱

及其運（-已知點AL，如圖，請畫出點A關于L如圖，△ABC是正三角形，以點A為中心，把△ADC順時針旋轉60°，畫 出旋y43Ay43A2B-4-3-2- O--13，14，0（03（2232， D、E、F點關于原點O的中心對稱點，并寫出它們的坐標，并回答： 這些（1）AOA作AD′⊥xDAA′D″⊥x（1）（2）相反，即設P（x，y）關于原點O的對稱點P′（-x，-P（x，y）OP′（-x，-yy4321-4-3-2-O-1B2 -ABA、點BA′、B′即可．解：點P（x，y）關于原點的對稱點為P′（-x，-1，B（30）A′（10B（-3，0連結A′B′．ABC（12-13（-作出△ABC老師點評分析：先在直角坐標系中畫出A、B、CABC，要作出△ABCO三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三點關于原點的對稱點，依次連結，便可得到所求作的△A′B′C′．練習．3ABxyABABO90°得到直線y432Ay432A-4-3-2- O2 --是否存在另一條與直線AB平行的直線y=kx+b（我們發 互平行的兩條直線斜率k值相等）它與雙曲線只有一個交點，若存在，求 此直分析（1）只需畫出A、B兩點繞點O順時針旋轉90°得到的 A1B1，連結x

，因此A1B1與雙曲線是相切的，只要我們通過A1B1的線段作A1、B1關于原點的對稱點A2、B2，連結A2B2的（1）A1（1，0，B1（2，0直線A1B1就是所求的．∵A1B1的中點坐標是（1，12x1

，k=21xA1（0，1，B1（2，0）

002k∴k`∴y=-2

把線段A1B1作出與它關于原點對稱的圖形就是我們所求的直線．根據點P（x，y）關于原點的對稱點P′（-x，-y）得：B1，B2（-1

k∴∴∴0 ∴A2B2：y=-2

1y2

2xy1x 22- -

x

x+2=-1xyxxx2+2x+1=0，b2-4ac=4-12

2x∵A1B1與A2B2k∴A2B2與A1B112

P（x，yy，及其利1．復習鞏固3、課題學習圖案設計 一 如圖，已知線段CD是線段AB平移后的圖形，D是B點的對稱點， 出線如圖，已知線段CD，作出線段CD關于對稱軸L的對稱線段 C

并說明DABCDC′D′的延長線相交于一點，這一點在LCD以DCD⊥C′DDCD=C′D．例1（學生活動）學生親自動手操作題．（（d（如圖P78 1．2（1．活動第二十四 垂徑定理：平分弦（不是直徑）（1）（2）OOAO1：圖上各點到定點（圓心O）的距離有什么規律？問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？圖上各點到定點（O）的距離都等于定長（半徑O，r的圓可以看成是所有到定點Or的A、C為端點的弧記作ACACACBBOAC 條直徑CAMCAMBOD（1）（2）AM=BM，ACBCADBDCDABABADB．CDABCD⊥AB垂足為CAMBO求證：AM=BM，ACBCADCAMBO 只要連OAOBAC、BCRt△OAMRt△OBMOAOMA和點BCD∵⊙OCDCD對折時，點A與點BACBCADBD∴ACBC，AD例1．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弦（即圖中CD， 例2．O是CD的圓心，其中CD=600m，E為CD上一點 例3．且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑 解：如圖，連接設彎路的半徑為R，則OF=（R-2

CD=2

解得練習例2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．分析：要求當洪水到來時，水面寬MN=32mDE的長，因此只要求半徑R，然后運用幾何代數解求R．MDMDENC設OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18 解得R=34（m） 連接OM，設DE=x，在Rt△MOE中，ME=16 162+342- x2-1．復習鞏固1、2、圓(第2已知△OAB，如圖所示，作出繞O30°、45°、60A老師點評：繞O點旋轉，O點就是固定點，旋轉30°，就是旋轉角 BAOBAO如圖所示的⊙O中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′OB′將圓心角 繞圓旋轉到∠AB=A'B'O∴半徑OB與OB′重OAA′重合，點B與點B∴AB與A'B'重合，弦AB與弦A′B′重 ∴AB=A'B' 請同動一個圓，使O與O′重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉一個角度，使得OA與O′A′重合．O OAOO AB=ABACFEO在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所 對的ACFEODB如果OE=OFAB與CD的大小有什么關系？AB與CDAOB與∠COD呢？（1）（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中 Ww.xKb1.co（1）

2

AB，CF=12

又 （2）OE=OFAB=CDABCD，∠AOB=∠COD又2

AB，CF=12∴AB=CD練234，MN⊙OAB、CDMNP， AEBMAEBMDFC PN （1）（1）AB=CDO作OE、OF分別垂直于AB、CDE、OD、OB∴DF=BEX|k|B|1.c|O∵∠APM=∠CPN且易證1．P94- 圓(第3（1） 題．新-課-標- 只能在 ∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做 O 并DOBC DOBC設圓周角∠ABC的一邊BC⊙O12

1AOC嗎？請獨立完成這道題的說明過程

2老師點評：連結BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△ BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．AOC嗎？請獨立完成證明

ABC=12于2

2

2

現在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周（1（2（3 分析：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC 的中點，只要連結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．∵ABO∴∠ADB=90°即1． 2．P93 例2．如圖，已知△ABC內接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對邊分別設為a，b，c，⊙O半徑為R sin

sin

sin

sin

sin

sin

sin

sin

sin

=2RsinA=asinB=

，sinC=

CO⊙OD，連接∵CDRt△DBCsinD=BC

sin

sin

sin

sin

sin

sin

1． 投影片三A、B1ABABC、D2線CD，則直線CD就是線段AB的垂直平分線，直線CD上的任一點到A與B的距離相等作圓，使它經過已知點A、B．你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？其圓心的分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？[生](1A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了AA所連的線段為半徑就可以作一個圓．由于圓心是任A、BA、B的距離相等．根據前面提到過的線段的垂直平分線的性質可知，線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，則圓心應段AB的ABA、BAB的垂直平分ABB、CBC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點滿足到A、B、C三點的距離相等，就是所作圓的圓心．1．連結AB、平分線DE和FG，DE和FG相交于點O⊙O就是所要求作ABABEDEDA、BBCBC的垂直平分線FG，則FG上的任一點到B、C的距離相等．ED與FG的滿足條件．由上可知，經過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓(circumcircleoftriangle)，O為外接圓的圓心，即外心Ⅳ．小如下圖，CD所在的直線垂直平分線段AB．怎樣使用這樣的工具找到圓形工件的圓心如下圖，C為直線AB外一點，從C向AB引垂線，D為垂足，則線段CD即為點C到直線AB的距離請看113頁，觀察圖中的三幅，地平線和的位置關系怎樣？作一個圓，把直尺的邊緣看成一條直d＝r；當直線與圓相離時，d＞r，因此可以用d與r間的大小關系斷定直線與圓的位置關系．dr的大小關系來斷定．d＞r[例[例1]已知Rt△ABC的斜邊以點C為圓心作圓，當半徑為多長時，AB與⊙Cd＝r時，相切；d＜r時，相交；d＞r時，相離∴cosA＝AC1 3 333因此，當半徑長為 cm時，AB與⊙C相切33r＝4cmd＜r，⊙CAB相交．

cm，所以，當r＝2cm時，d＞r，⊙C與AB相離如圖(2)，直線CD與⊙O相切于點A，直徑AB與直線CD對于(3)，和都認為直徑AB垂直于CD．你同意他們的觀點嗎是d所在的直線，即過圓心O且與直線l垂直的直線．CD與⊙OA，直徑線CD與⊙O相切”相，所以AB與CD垂直．3．習題3．777

A城是否會受到這次臺風的影響？為什么若A城受到這次臺風的影響，試計算A城這次臺風影響的時間有多長200A城能否受到影響，即比較ABF的距離d與半徑200千米的大小．若d＞200，則無影響，若d≤200，則有影響．解：(1)過A作AC⊥BF于在Rt△ABC∵AC＜200，∴A城受到這次臺風的影響

2

(2)設BF上D、E兩點到A的距離為200千米，則臺風中心段DE上時，對A城均有影響，而在77以外時，對A城沒有影響772002200210010∴t＝s10010v

如下圖，如下圖，AB是⊙O的直徑，直線l經過點A，l與AB的夾角∠α，當l繞點A當∠α等于多少度時，點O到l的距離d等于半徑r？此時，直線l與⊙O[師]大家可以先畫一個圓，并畫出直徑AB，拿直尺當直線，讓直尺繞著點A移動．觀察∠α發生變化時，點O到l的距離d如何變化，然后互相交流意見．＜r，這時直線l與⊙O的位置關系是相d達到最大．此時d＝r；之后當∠α繼續增大時，d逐漸變小．第(2)題就解決了[生](2)當∠α＝90Oldl與⊙O的位置關系是相切，因為從上一節課可知，當圓心O到直線l的距離d＝r時，直線與⊙O相切．已知⊙O上有一點A，過A作出⊙O的切切線，而現在已知圓心O和圓上一點A，那么過A點的直徑就可以作 過點A作OA的垂線l，l即為所求的切線解：(1)作∠B、∠C的平分線BE和CF，交點為I(如下過I作ID⊥BC，垂足為[師]由例題可知，BE和CF只有一個交點I，并且I到△ABC三邊的距離相等，為什么[生]∵I在∠B的角平分線BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分線CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．這是根如下圖如下圖，AB是⊙O的直徑求證：AT是⊙O的切線分析：AT經過直徑的一端，因此只要證AT垂直于AB即可，而由已知條件可求證：AT是⊙O的切線ATB，又由∠ABT＝45°，所Ⅳ．小已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦求證：DC是⊙O的切線關系推出∠3＝∠4，又因為OD＝OB，OC為公共邊，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．∵BC是⊙O的切∴DC是⊙O的切

dRr的數量關系的聯系．dRr的數量關系的過程．固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關系？內切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，⊙O2上的點在⊙O1的內含：兩個圓沒有公共點，⊙O2上的點都在⊙O1的(2)如果只從公共點的個數來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離外離，相切條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大小．分析：因為兩個圓大小相同，所以半徑OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分別為兩圓的切線，所以PN⊥＇POP∠O＇N90°N等于30OPTO＇NOP＇即可．解：∵O＝O＇＝P＇，∴△PO＇O是一個等邊三角又∵TP與NP分別為兩圓的切線如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個圖是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？切點與對稱軸有什么位置關系？如果⊙O1與⊙O2內切呢？〔如圖(2)〕證明：假設切點T不在O1O2上則T在O1O2上通過上面的討論，我們可以得出結論：兩圓相內切或外切時，兩圓的連心線一定經過切點，圖()和圖(2)當兩圓外切時，兩圓圓心之間的距離(簡稱圓心距)dRrdRr滿足當兩圓內切時(R＞rdRrdRr滿足這一關系時，這兩O2只有一個交點A，即⊙O1與⊙O2外切．d＝R－r；反之，當d＝R－r時，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2＝O1B－O2B，說明O1、O2、B在一條直線上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內切．d＝R＋rd＝R＋r時，兩圓相外切，即兩圓相外切d＝R－rd＝R－r時，兩圓相內切，即兩圓相內切d＝R－r．dRr之間的關系．已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半分析：根據兩圓相外切連心線的長為兩半徑之和，如果設⊙O3rO1O3＝O2O3＝R＋r，連接OO3就有OO3⊥O1O2，所以OO2O3構成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r．解：連接O2O3、∴r＝23的，高他們學習積性，同提高大的用能力．2．投影片四1A被傳送圓周長的

nA1n1°，A20 nAn20n [師]根據上面的計算，你能猜想出在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式嗎？請大家互相1nn

nR

在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長(arclength)的計算公式為l＝nR制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計 下圖中AB ABn為圓心角，R為半徑．AB的長

nπR＝110 76.8mm．積的

，即1×9π＝，n

＝n

[生]如果圓的半徑為R，則圓的面積為πR2，1°的圓心角對應的扇形面積

，n°的圓心角對應的扇形

．因此扇形面積的計算公式為S扇形

πR2，其中R為扇形的半徑，n為圓心角

[師]我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式為

πR，n°的圓心角的扇形面積公式為S扇形

nπR2n

nπR，S扇形

n∴nπR2＝1R·nπR．∴S扇形＝1 AOB12cm，∠AOB＝120AB0.1cmAOB的面積(結果精確到0.1cm2)AB的長＝120S扇形＝120AB25.1cmAOB150.7cm2．Ⅳ．小

nπR

nπR2lS之間的關系，并能已知一方求另一方．AB6πcm，CD10πcmAC＝12cm，求陰影部分ABDC的面積．COD的面積與扇形AOB的面積之差．根據扇形面積S＝12已知，則需要求兩個半徑OC與OA，因為OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．解：設OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根據已知條件有：6

n n (R ①得3 R∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝2

π×30－2

×6π×18＝96π96π教具準備X|k|B|1.c|O|m投影片兩第一(記作 第二(記作[師]能說說理由嗎？xKb1.CS＝2

·2πr·l＝πrl．因此圓錐的側面積為

側hr、母線ll，代入S側＝πrl中即可．rcmlcmr＝(58(58)2S圓錐側

新|課|標|第|一| ×58×22.03＝638.87cm212777.4cm2的紙．S側

在Rt△ABC中，由OC、AB＝BC、AC可求出r，問題就解決了．解：在Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，∴r＝OC＝∴S表＝πr(BC＋AC)＝π×60＝1020π 小 一個曲面，兩個底面之間的距離是圓柱的高．新課標 第一網 面 心，如圖，把圓柱的側面沿它的一條母線剪開，展在一個平面上，側面的展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等1]如圖(1ABCDAD＝18cm，AB＝30cm，求這個圓柱形木塊的表面積(精確到1cm2)．解如圖(2)，AD是圓柱底面的直徑，AB是圓柱的母線， 設圓柱的表面積為S，則S＝2S圓＋S側．∴S＝2π(18)2＋2π×18×30＝162π＋540π 第一(記作 第三(記作 第四(記作D)第五(記作設這兩點為A、B，經過A、B兩點的圓，其圓心到A、B兩點的距離一定相等，所以圓心應段AB的B兩點的圓．因此這樣的圓也有無數個．經過不在同一直線上的三點只能作一個圓．要作一個圓經過A、B、C三點，就要確定一個點作為圓心，使它到三點A、B、C的距離相等，到A、B兩點距離相等的點段AB的垂直平分線上，到B、C兩點距離相等BCA點的距離為半[師]經過不在同一條直線上的四個點A、B、C、D能確定一個圓嗎[生]解：如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點∵四邊形ABCD為矩形∴A、B、C、D四點到定點O的距離都等于矩形對角線的一半(投影片B)⊙⊙Or＝5cmOld＝OD＝3mlP、Q、R＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三點對于⊙O[生]1．解：如圖(1)，在Rt△OPD中OD2OD2POD2OD2

3232OD2

如圖(BDAC和DOGHAOBODOA、、GH角形斜邊上的中點所以OEOFOGOH分別是各直角三角形斜邊上的中線因此有OE＝1AB，OF＝1 OG＝1CD，OH＝1AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中點E、F、G、H到對 線的交點O的距離相等，所以菱形各邊的中點在同一個圓上(投影片C)A的坐標是(－4，3A為圓心，4Ax軸、y軸、原點有怎樣的位置與r作比較即可．[生]解：∵A點的坐標∴Ax軸、y34．又因為⊙A的半徑為4，∴⊙A與x軸、y軸的位置關系分別為相交、相切由勾股定理可求出OA的距離等于5，因為OA＞4，所以點O在圓外(投影片D)于點E，求AD分析OAC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以

OAOE出半徑和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了根據切線的判定，要求AE與⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB

如圖(2)，AB是⊙O如圖(2)，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，∠CAE＝∠B，你認為AE與⊙O相切嗎？為什么⊙O的直徑得∠ACB＝90°，則∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴由勾股定理得15OEOE．∴OE＝

∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－45×2＝15

解：∵AB是⊙O的直徑即BA⊥AE．∵BA為⊙O的直徑∴AE與⊙O相切[生]斷圓和的位置系；是據公共的個數及一個圓的點在一個圓還外部來斷．兩個圓有兩個公共點時，一個圓上的點有的在另一個圓的，有的在另一個圓的外部時是相交．兩圓相當d＝R－r(R＞r)時是內切．當d＞R＋r時，兩圓外離當d＜R－r(R＞r)時，兩圓內含．(投影片E)設⊙設⊙O1和⊙O2的半徑分別為R、r，圓心距為d，在下列情況下，⊙O1和⊙O2∴⊙O1與⊙O2的位置關系是相交；和三角形三邊都相切的圓；叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫三角形兩個同心圓中，大圓的弦AB和AC分別和小圓相切于