2.2導數的基本公式與運算法則2.2.1基本初等函數的導數公式(x)=x-1.(ax)=axlna.(ex)=ex.(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(tanx)=sec2x.(cotx)=-csc2x.(secx)=secxtanx.(cscx)=-cscxcotx.2.2導數的基本公式與運算法則2.2.1基本初等函數的導數公另外還有反三角函數的導數公式：另外還有反三角函數的導數公式：例1求下列函數的導數：例1求下列函數的導數：定理2.1

設函數

u(x)、v(x)在x處可導，在x處也可導，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+

u(x)v(x);2.2.2導數的四則運算且則它們的和、差、積與商定理2.1設函數u(x)、v(x)在x處可導，在推論1(cu(x))

=cu(x)(c為常數).推論2乘法法則的推廣：推論1(cu(x))=cu(x)(c為常補充例題：求下列函數的導數：解根據推論1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4

-ex+5cosx-1)=(3x4)

-(ex)+(5cosx)

-(1)=12x3

-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)|x=0=-1又(x4)=4x3，

例1設f(x)=3x4–ex

+5cosx-1，求f(x)及f(0).補充例題：求下列函數的導數：解根據推論1可得(3x例2設y=xlnx

，求y.解根據乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)+(x)lnx例2設y=xlnx，求y.解根據乘法公解根據除法公式，有例3設求y.解根據除法公式，有例3設求y.教材P32例2求下列函數的導數：解：

教材P32例2求下列函數的導數：解：2.2.3高階導數如果可以對函數f(x)的導函數f(x)再求導，所得到的一個新函數，稱為函數y=f(x)的二階導數，記作f(x)或y或如對二階導數再求導，則稱三階導數，記作f(x)或四階或四階以上導數記為y(4)，y(5)，·

·

·，y(n)或·

·

·

，

而把f(x)稱為f(x)的一階導數.2.2.3高階導數如果可以對函數f(x)的導函數f例3求下列函數的二階導數解：二階以上的導數可利用后面的數學軟件來計算例3求下列函數的二階導數解：二階以上的導數可利用后面的數學

推論

設

y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可導，則復合函數

y=f[((x))]也可導，推論設y=f(u)，u=(v)，以上法則說明：復合函數對自變量的導數等于復合函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.以上法則說明：復合函數對自變量的導數等于復合導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件先將要求導的函數分解成基本初等函數,或常數與基本初等函數的和、差、積、商.任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述復合函數的求導法則求出.

復合函數求導的關鍵:正確分解初等函數的復合結構.求導方法小結：先將要求導的函數分解成基本初等函數,或常數與基本初導數的基本公式與運算法則優秀課件例5：求下列函數的導數（1）（2）（3）（4）例5：求下列函數的導數（1）（導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件*2.2.7二元函數的偏導數的求法求對自變量(或)的偏導數時,只須將另一自變量(或)看作常數,直接利用一元函數求導公式和四則運算法則進行計算.例1設函數求解：

*2.2.7二元函數的偏導數的求法求例2設函數解：類似可得例2設函數解：類似可得*2.2.8二元函數的二階偏導數函數z=f(x,y)的兩個偏導數一般說來仍然是x,y的函數，如果這兩個函數關于

x,y的偏導數也存在，則稱它們的偏導數是f(x,y)的二階偏導數.依照對變量的不同求導次序，二階偏導數有四個：（用符號表示如下）*2.2.8二元函數的二階偏導數函數z=f(導數的基本公式與運算法則優秀課件其中及稱為二階混合偏導數.類似的，可以定義三階、四階、…、n階偏導數，二階及二階以上的偏導數稱為高階偏導數，稱為函數f(x,y)的一階偏導數.注：當兩個二階導數連續時，它們是相等的即

其中及例

3試求函數的四個二階偏導函數例3試求函數的四個二階偏導函數思考題一求曲線上與軸平行的切線方程.思考題一求曲線思考題一解答令切點為所求切線方程為和思考題一解答令切點為所求切線方程為和

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻出愛，我們沒有使用力量，我們表現出自私的謹慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內基]87.當一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術較像角力的藝術，而較不像跳舞的藝術；最重要的是：站穩腳步，為無法預見的攻擊做準備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費的,同時沒有比時間更珍貴的了，因為沒有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認正在為一個偉大目標運用自己；而不是源于獨自發光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.過去的事已經一去不復返。聰明的人是考慮現在和未來，根本無暇去想過去的事。――[英國哲學家培根]99.真正的發現之旅不只是為了尋找全新的景色，也為了擁有全新的眼光。――[馬塞爾·普勞斯特]100.這個世界總是充滿美好的事物，然而能看到這些美好事物的人，事實上是少之又少。――[羅丹]101.稱贊不但對人的感情，而且對人的理智也發生巨大的作用，在這種令人愉快的影響之下，我覺得更加聰明了，各種想法，以異常的速度接連涌入我的腦際。――[托爾斯泰]102.人生過程的景觀一直在變化，向前跨進，就看到與初始不同的景觀，再上前去，又是另一番新的氣候――。[叔本華]103.為何我們如此汲汲于名利，如果一個人和他的同伴保持不一樣的速度，或許他耳中聽到的是不同的旋律，讓他隨他所聽到的旋律走，無論快慢或遠近。――[梭羅]104.我們最容易不吝惜的是時間，而我們應該最擔心的也是時間；因為沒有時間的話，我們在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人類的悲劇，就是想延長自己的壽命。我們往往只憧憬地平線那端的神奇【違禁詞，被屏蔽】，而忘了去欣賞今天窗外正在盛開的玫瑰花。――[戴爾·卡內基]106.休息并非無所事事，夏日炎炎時躺在樹底下的草地，聽著潺潺的水聲，看著飄過的白云，亦非浪費時間。――[約翰·羅伯克]107.沒有人會只因年齡而衰老，我們是因放棄我們的理想而衰老。年齡會使皮膚老化，而放棄熱情卻會使靈魂老化。――[撒母耳·厄爾曼]108.快樂和智能的區別在于：自認最快樂的人實際上就是最快樂的，但自認為最明智的人一般而言卻是最愚蠢的。――[卡雷貝·C·科爾頓]109.每個人皆有連自己都不清楚的潛在能力。無論是誰，在千鈞一發之際，往往能輕易解決從前認為極不可能解決的事。――[戴爾·卡內基]110.每天安靜地坐十五分鐘·傾聽你的氣息，感覺它，感覺你自己，并且試著什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何謂沮喪---就是你用一輩子工夫，在公司或任何領域里往上攀爬，卻在抵達最高處的同時，發現自己爬錯了墻頭。－－[坎伯]112.「偉大」這個名詞未必非出現在規模很大的事情不可；生活中微小之處，照樣可以偉大。――[布魯克斯]113.人生的目的有二：先是獲得你想要的；然后是享受你所獲得的。只有最明智的人類做到第二點。――[羅根·皮沙爾·史密斯]114.要經常聽.時常想.時時學習，才是真正的生活方式。對任何事既不抱希望，也不肯學習的人，沒有生存的資格。――[阿薩·赫爾帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能夠隨心所欲地去思考.去感覺.去行動的自由。――[威廉·海茲利特]116.昨天是張退票的支票，明天是張信用卡，只有今天才是現金；要善加利用。――[凱·里昂]117.所有的財富都是建立在健康之上。浪費金錢是愚蠢的事，浪費健康則是二級的謀殺罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而為之的干勁可能會加速走向油盡燈枯的境地，努力挑戰自己的極限固然是令人激奮的經驗，但適度的休息絕不可少，否則遲早會崩潰。――[邁可·漢默]119.進步不是一條筆直的過程，而是螺旋形的路徑，時而前進，時而折回，停滯后又前進，有失有得，有付出也有收獲。――[奧古斯汀]120.無論那個時代，能量之所以能夠帶來奇跡，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。無論何處，活力皆是所謂“人格力量”的原動力，也是讓一切偉大行動得以持續的力量。――[史邁爾斯]121.有兩種人是沒有什么價值可言的：一種人無法做被吩咐去做的事，另一種人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.對于不會利用機會的人而言，機會就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成為不會孵化的蛋。――[喬治桑]123.未來不是固定在那里等你趨近的，而是要靠你創造。未來的路不會靜待被發現，而是需要開拓，開路的過程，便同時改變了你和未來。――[約翰·夏爾]124.一個人的年紀就像他的鞋子的大小那樣不重要。如果他對生活的興趣不受到傷害，如果他很慈悲，如果時間使他成熟而沒有了偏見。――[道格拉斯·米爾多]125.大凡宇宙萬物，都存在著正、反兩面，所以要養成由后面.里面，甚至是由相反的一面，來觀看事物的態度――。[老子]126.在寒冷中顫抖過的人倍覺太陽的溫暖，經歷過各種人生煩惱的人，才懂得生命的珍貴。――[懷特曼]127.一般的偉人總是讓身邊的人感到渺??；但真正的偉人卻能讓身邊的人認為自己很偉大。――[G.K.Chesteron]128.醫生知道的事如此的少，他們的收費卻是如此的高。――[馬克吐溫]129.問題不在于：一個人能夠輕蔑、藐視或批評什么，而是在于：他能夠喜愛、看重以及欣賞什么。――[約翰·魯斯金]導數的基本公式與運算法則優秀課件312.2導數的基本公式與運算法則2.2.1基本初等函數的導數公式(x)=x-1.(ax)=axlna.(ex)=ex.(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(tanx)=sec2x.(cotx)=-csc2x.(secx)=secxtanx.(cscx)=-cscxcotx.2.2導數的基本公式與運算法則2.2.1基本初等函數的導數公另外還有反三角函數的導數公式：另外還有反三角函數的導數公式：例1求下列函數的導數：例1求下列函數的導數：定理2.1

設函數

u(x)、v(x)在x處可導，在x處也可導，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+

u(x)v(x);2.2.2導數的四則運算且則它們的和、差、積與商定理2.1設函數u(x)、v(x)在x處可導，在推論1(cu(x))

=cu(x)(c為常數).推論2乘法法則的推廣：推論1(cu(x))=cu(x)(c為常補充例題：求下列函數的導數：解根據推論1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4

-ex+5cosx-1)=(3x4)

-(ex)+(5cosx)

-(1)=12x3

-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)|x=0=-1又(x4)=4x3，

例1設f(x)=3x4–ex

+5cosx-1，求f(x)及f(0).補充例題：求下列函數的導數：解根據推論1可得(3x例2設y=xlnx

，求y.解根據乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)+(x)lnx例2設y=xlnx，求y.解根據乘法公解根據除法公式，有例3設求y.解根據除法公式，有例3設求y.教材P32例2求下列函數的導數：解：

教材P32例2求下列函數的導數：解：2.2.3高階導數如果可以對函數f(x)的導函數f(x)再求導，所得到的一個新函數，稱為函數y=f(x)的二階導數，記作f(x)或y或如對二階導數再求導，則稱三階導數，記作f(x)或四階或四階以上導數記為y(4)，y(5)，·

·

·，y(n)或·

·

·

，

而把f(x)稱為f(x)的一階導數.2.2.3高階導數如果可以對函數f(x)的導函數f例3求下列函數的二階導數解：二階以上的導數可利用后面的數學軟件來計算例3求下列函數的二階導數解：二階以上的導數可利用后面的數學

推論

設

y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可導，則復合函數

y=f[((x))]也可導，推論設y=f(u)，u=(v)，以上法則說明：復合函數對自變量的導數等于復合函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.以上法則說明：復合函數對自變量的導數等于復合導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件先將要求導的函數分解成基本初等函數,或常數與基本初等函數的和、差、積、商.任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述復合函數的求導法則求出.

復合函數求導的關鍵:正確分解初等函數的復合結構.求導方法小結：先將要求導的函數分解成基本初等函數,或常數與基本初導數的基本公式與運算法則優秀課件例5：求下列函數的導數（1）（2）（3）（4）例5：求下列函數的導數（1）（導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件導數的基本公式與運算法則優秀課件*2.2.7二元函數的偏導數的求法求對自變量(或)的偏導數時,只須將另一自變量(或)看作常數,直接利用一元函數求導公式和四則運算法則進行計算.例1設函數求解：

*2.2.7二元函數的偏導數的求法求例2設函數解：類似可得例2設函數解：類似可得*2.2.8二元函數的二階偏導數函數z=f(x,y)的兩個偏導數一般說來仍然是x,y的函數，如果這兩個函數關于

x,y的偏導數也存在，則稱它們的偏導數是f(x,y)的二階偏導數.依照對變量的不同求導次序，二階偏導數有四個：（用符號表示如下）*2.2.8二元函數的二階偏導數函數z=f(導數的基本公式與運算法則優秀課件其中及稱為二階混合偏導數.類似的，可以定義三階、四階、…、n階偏導數，二階及二階以上的偏導數稱為高階偏導數，稱為函數f(x,y)的一階偏導數.注：當兩個二階導數連續時，它們是相等的即

其中及例

3試求函數的四個二階偏導函數例3試求函數的四個二階偏導函數思考題一求曲線上與軸平行的切線方程.思考題一求曲線思考題一解答令切點為所求切線方程為和思考題一解答令切點為所求切線方程為和

85.每一年，我都更加相信生命的浪費是在于：我們沒有獻出愛，我們沒有使用力量，我們表現出自私的謹慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內基]87.當一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因為夢想一死，生命就如一只羽翼受創的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術較像角力的藝術，而較不像跳舞的藝術；最重要的是：站穩腳步，為無法預見的攻擊做準備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費的,同時沒有比時間更珍貴的了，因為沒有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認正在為一個偉大目標運用自己；而不是源于獨自發光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.過去的事已經一去不復返。聰明的人是考慮現在和未來，根本無暇去想過去的事。――[英國哲學家培根]99.真正的發現之旅不只是為了尋找全新的景色，也為了擁有全新的眼光。――[馬塞爾·普勞斯特]100.這個世界總是充滿美好的事物，然而能看到這些美好事物的人，事實上是少之又少。――[羅丹]101.稱贊不但對人的感情，而且對人的理智也發生巨大的作用，在這種令人愉快的影響之下，我覺得更加聰明了，各種想法，以異常的速度接連涌入我的腦際。――[托爾斯泰]102.人生過程的景觀一直在變化，向前跨進，就看到與初始不同的景觀，再上前去，又是另一番新的氣候――。[叔本華]103.為何我們如此汲汲于名利，如果一個人和他的同伴保持不一樣的速度，或許他耳中聽到的是不同的旋律，讓他隨他所聽到的旋律走，無論快慢或遠近。――[梭羅]104.我們最容易不吝惜的是時間，而我們應該最擔心的也是時間；因為沒有時間的話，我們在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人類的悲劇，就是想延長自己的壽命。我們往往只憧憬地平線那端的神奇【違禁詞，被屏蔽】，而忘了去欣賞今天窗外正在盛開的玫瑰花。――[戴爾·卡內基]106.休息并非無所事事，夏日炎炎時躺在樹底下的草地，聽著潺潺的水聲，看著飄過的白云，亦非浪費時間。――[約翰·羅伯克]107.沒有人會只因年齡而衰老，我們是因放棄我們的理想而衰老。年齡會使皮膚老化，而放棄熱情卻會使靈魂老化。――[撒母耳·厄爾曼]108.快樂和智能的區別在于：自認最快樂的人實際上就是最快樂的，但自認為最明智的人一般而言卻是最愚蠢的。――[卡雷貝·C·科爾頓]109.每個人皆有連自己都不清楚的潛在能力。無論是誰，在千鈞一發之際，往往能輕易解決從前認為極不可能解決的事。――[戴爾·卡內基]110.每天安靜地坐十五分鐘·傾聽你的氣息，感覺它，感覺你自己，并且試著什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何謂沮喪---就是你用一輩子工夫，在公司或任何領域里往上攀爬，卻在抵達最高處的同時，發現自己爬