通信原理第十二章差錯(cuò)控制編碼通信原理第十二章差錯(cuò)控制編碼本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)12.1引言12.2常用的簡(jiǎn)單編碼12.3線性分組碼12.4循環(huán)碼12.5卷積碼本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)12.1引言12.1引言一.差錯(cuò)控制方法(3)混合糾錯(cuò)（HEC）(1)檢錯(cuò)重發(fā)（ARQ）(2)前向糾錯(cuò)（FEC）12.1引言一.差錯(cuò)控制方法(3)混合糾錯(cuò)（HEC）(1.將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼，稱為分組碼。（系統(tǒng)碼）碼組=信息位+監(jiān)督位二.基本概念1.將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼，稱2.分組碼的表示：符號(hào)（n，k）n——碼組的總位數(shù)k——碼組中信息碼元的數(shù)目r=n-k——監(jiān)督碼元的數(shù)目3.編碼效率R越大，信息位比重大，有效性越高。2.分組碼的表示：符號(hào)（n，k）n——碼組的總位數(shù)k—4.分類：

（1）根據(jù)已編碼組中信息碼元與監(jiān)督碼元之間的函數(shù)關(guān)系，可分為線性碼和非線性碼。若信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系呈線性，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼。（2）根據(jù)信息碼元與監(jiān)督碼元之間的約束方式不同，可分為分組碼和卷積碼。分組碼的監(jiān)督碼元僅與本碼組的信息碼元有關(guān)，卷積碼的監(jiān)督碼元不僅與本碼組的信息碼元有關(guān)，而且與前面碼組的信息碼元有約束關(guān)系。（3）根據(jù)編碼后信息碼元是否保持原來的形式，可分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。在系統(tǒng)碼中，編碼后的信息碼元保持原樣，而非系統(tǒng)碼中的信息碼元?jiǎng)t改變了原來的信號(hào)形式。4.分類：（1）根據(jù)已編碼組中信息碼元與監(jiān)督碼元之間的函（4）根據(jù)編碼的不同功能，可分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。（5）根據(jù)糾、檢錯(cuò)誤類型的不同，可分為糾、檢隨機(jī)性錯(cuò)誤的碼和糾、檢突發(fā)性錯(cuò)誤的碼。（6）根據(jù)碼元取值的不同、可分為二進(jìn)制碼和多進(jìn)制碼。本章只介紹二進(jìn)制糾、檢錯(cuò)編碼。（4）根據(jù)編碼的不同功能，可分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。本章只介紹二誤碼率一定時(shí)，非編碼系統(tǒng)需要的輸入信噪比與采用了糾錯(cuò)編碼系統(tǒng)所需的輸入信噪比之間的差值。（用dB表示）采用不同的編碼會(huì)得到不同的編碼增益，但編碼增益的提高要以增加系統(tǒng)帶寬或復(fù)雜度來換取。

（1）碼組中“1”的個(gè)數(shù)稱為碼組的重量。（w）5.編碼增益6.碼重、碼距誤碼率一定時(shí)，非編碼系統(tǒng)需要的輸入信（3）某種編碼中各個(gè)碼組之間的距離的最小值稱為最小碼距（）

例：10011w=301101（2）兩個(gè)等長(zhǎng)碼組之間的對(duì)應(yīng)位不同的位數(shù)，稱為碼距。又稱為漢明距離。（d）d=4例：100110110101010d1=4d0=3d2=3d3=3（3）某種編碼中各個(gè)碼組之間的距離的最小值稱為最小碼距（天津工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院《通信原理》（1）時(shí)能檢出e個(gè)或e個(gè)以下錯(cuò)碼。（2）（3）時(shí)能糾正t個(gè)或t個(gè)以下錯(cuò)碼。時(shí)能檢出t個(gè)或e個(gè)以下錯(cuò)碼。7.e—檢錯(cuò)能力t—糾錯(cuò)能力天津工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院《通信原理》（1）時(shí)能檢例12-1已知8個(gè)碼組為：（O00000），（001110），（010101），（011011），（100011），（1O1101），（110110），（111000），（1）求以上碼組的最小碼距；（2）若此8個(gè)碼組用于檢錯(cuò)，可檢出幾位錯(cuò)？（3）若用于糾錯(cuò)碼，能糾幾位？（4）若同時(shí)用于糾錯(cuò)和檢錯(cuò)，糾錯(cuò)、檢錯(cuò)性能如何？

（1）（2）（3）（4）例12-1已知8個(gè)碼組為：（O00000），（001110例12-2已知兩碼組（0000）和（1111），若該碼組用于檢錯(cuò)，能檢出幾位錯(cuò)碼？若用于糾錯(cuò)，能糾正幾位錯(cuò)碼？若同時(shí)用于糾錯(cuò)和檢錯(cuò)，問各能糾、檢幾位錯(cuò)碼？

（1）（2）（3）例12-2已知兩碼組（0000）和（1111），若該碼組用一.奇偶監(jiān)督碼在信息位后加一位校驗(yàn)位12.2常用的簡(jiǎn)單編碼

奇監(jiān)督碼偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：只能檢測(cè)出奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，不能檢測(cè)出偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼一.奇偶監(jiān)督碼在信息位后加一位校驗(yàn)位12.2常用的簡(jiǎn)單二.二維奇偶監(jiān)督碼行監(jiān)督位列監(jiān)督位二.二維奇偶監(jiān)督碼行監(jiān)督位列監(jiān)督位特點(diǎn)：（1）能檢測(cè)出每一行（列）中的奇數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，但不能檢測(cè)出行列同時(shí)成偶數(shù)個(gè)出現(xiàn)的錯(cuò)碼。（2）能檢測(cè)突發(fā)性錯(cuò)誤（成串錯(cuò)碼）。（3）能糾正錯(cuò)碼。

三.恒比碼：碼組中均含有相同數(shù)目的“1”或“0”特點(diǎn)：能檢測(cè)出組碼中奇數(shù)個(gè)及部分偶數(shù)個(gè)碼元得錯(cuò)誤。（“1”錯(cuò)成“0”和“0”錯(cuò)成“1”

不能檢測(cè)）。數(shù)字0123456789碼字01101010111100110110110100011110101111000111010011特點(diǎn)：（1）能檢測(cè)出每一行（列）中的奇數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，但不

四.正反碼例：信息位：11001監(jiān)督位：11001

信息位：10001監(jiān)督位：011101.編碼規(guī)則：（1）當(dāng)信息位中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，監(jiān)督位是信息位的簡(jiǎn)單重復(fù)。（2）當(dāng)信息位中有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，監(jiān)督位是信息位的反碼。四.正反碼例：信息位：11001監(jiān)督位：1100例：1100111001=000001000101110=111112.譯碼方法（1）將碼組中的信息碼與監(jiān)督碼進(jìn)行模2加得合成碼組。（2）若信息碼中有奇數(shù)個(gè)1，則合成碼組即為檢驗(yàn)碼組。若信息碼中有偶數(shù)個(gè)1，則合成碼組的反碼即為檢驗(yàn)碼組。（3）觀察檢驗(yàn)碼組中1的個(gè)數(shù)，按p278進(jìn)行檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。例：1100111001=000002.譯碼方法（1）12.3線性分組碼一.以（7，4）分組碼為例碼字：A=（）其中信息位：監(jiān)督位：若分組碼可用下列線性方程組表示：（“+”為模2加）則：該分組碼為（7，4）線性分組碼（共有16個(gè)碼字）12.3線性分組碼一.以（7，4）分組碼為例碼字：A=性質(zhì)：（1）封閉性：任意2個(gè)許用碼組之和（模2加）仍為一個(gè)許用碼組。（2）有零元：（3）有負(fù)元：（4）結(jié)合律成立：（任一碼字即為本身的負(fù)元）性質(zhì)：（1）封閉性：任意2個(gè)許用碼組之和（模2加）仍為一個(gè)許二.監(jiān)督矩陣H將上例中的式子改寫為：用矩陣表示為：并記為：二.監(jiān)督矩陣H將上例中的式子改寫為：用矩陣表示為：并記為：H陣可表示為：（階）（階單位陣）矩陣H稱為（7，4）線性分組碼得監(jiān)督矩陣。上式也稱為典型監(jiān)督矩陣。若不是典型監(jiān)督矩陣要用初等變換化成典型矩陣。H陣可表示為：（階）（階單位陣）三.生成矩陣G

若信息碼元已知，通過監(jiān)督矩陣可以求出監(jiān)督碼元。用矩陣表示：或三.生成矩陣G若信息碼元已知，通過監(jiān)督矩陣

將上式擴(kuò)展可以由已知信息碼元求得整個(gè)碼組。令：G稱為生成矩陣將上式擴(kuò)展可以由已知信息碼元求得整個(gè)碼組。令典型監(jiān)督矩陣和典型生成矩陣存在以下關(guān)系式：例：（7，4）典型監(jiān)督矩陣和典型生成矩陣存在以下關(guān)系式：例：（7，4）全部碼字為：全部碼字為：四.伴隨式（校正子）S

設(shè)發(fā)送碼字為，接收碼字為，由于干擾，噪聲可能引入誤差，使接收碼組與發(fā)送碼組不同，因此有，其中是傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)誤行矩陣。對(duì)于二進(jìn)制碼元有:E矩陣中哪一位碼元為1就表示接收碼字中對(duì)應(yīng)位有錯(cuò)。E稱為錯(cuò)誤圖樣。模2四.伴隨式（校正子）S設(shè)發(fā)送碼字為

在接收端用H來檢測(cè)接收B中的錯(cuò)碼。令：－伴隨式或校正子：如果B與A相同，則：否則：又

表示校正子S僅與信道的錯(cuò)誤圖樣E有關(guān)，而與發(fā)送的碼字A無關(guān)。在接收端用H來檢測(cè)接收B中的錯(cuò)碼。令：－伴隨五.如何利用S完成糾錯(cuò)對(duì)（7，4）線性分組碼設(shè)B中最高位有錯(cuò)，錯(cuò)誤圖樣它的轉(zhuǎn)置恰好是典型H陣的第一列。五.如何利用S完成糾錯(cuò)對(duì)（7，4）線性分組碼設(shè)B中最高位有同理可求出：若次高位有錯(cuò)，即恰好是H的第二列。

因此，在接收碼組中只錯(cuò)一位碼元情況下，計(jì)算出的校正子S總是和典型監(jiān)督矩陣中的某一行相同。例：與第三列相同同理可求出：若次高位有錯(cuò)，即恰好是H的第二列。正確碼組為：六.漢明碼

漢明碼是一種可以糾正單個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的線性分組碼。它的最小碼距，監(jiān)督元位數(shù)，碼長(zhǎng)，信息元位數(shù)，編碼效率當(dāng)r很大時(shí)，，因此是一種高效碼。正確碼組為：六.漢明碼漢明碼是一種可以糾正單

上例中的（7，4）線性分組碼就是漢明碼，并且任意調(diào)換H矩陣中各列的結(jié)果不會(huì)影響糾，檢錯(cuò)能力。上例中的（7，4）線性分組碼就是漢明碼，并且任12.4循環(huán)碼一.概念1.循環(huán)碼：線性分組碼（1）封閉性（2）循環(huán)性：循環(huán)碼中任一許用碼組經(jīng)過循環(huán)移位之后，所得到的碼組仍為一許用碼組。

2.碼多項(xiàng)式循環(huán)碼的一許用碼組可表示為：其中：x為碼元位置標(biāo)記，不考慮其取值。碼元只取“1”或“0”。

12.4循環(huán)碼一.概念1.循環(huán)碼：例:(7，3）循環(huán)碼中第二個(gè)碼組

如何實(shí)現(xiàn)移位：乘一個(gè)x相當(dāng)于碼左移一位。3.按模運(yùn)算若（的次數(shù)小于）則：稱為按模運(yùn)算后的余式。例:(7，3）循環(huán)碼中第二個(gè)碼組如何實(shí)現(xiàn)移位：乘一個(gè)x例：4.規(guī)律（1）循環(huán)碼中，將許用碼組左移一位得到的碼字記為：。其碼多項(xiàng)式為：可以證明：例：4.規(guī)律（1）循環(huán)碼中，將許用碼組（2）根據(jù)循環(huán)碼的定義，均為許用碼字。因此下列結(jié)論：若是許用碼字，則在按模運(yùn)算下，也是許用碼字。即：若則也是許用碼字。例:(7，3）循環(huán)碼則：那么其碼字為。（2）根據(jù)循環(huán)碼的定義，二.生成多項(xiàng)式與生成矩陣G1.(n，k)循環(huán)碼碼組集合中（全“0”除外）最高階數(shù)最小的多項(xiàng)式[（n-k）階]稱為生成多項(xiàng)式，記為g(x)。2.集合中其它碼多項(xiàng)式都是運(yùn)算下的余式。即可以由生成多項(xiàng)式g(x)產(chǎn)生循環(huán)碼的全部碼字。二.生成多項(xiàng)式與生成矩陣G1.(n，k)循環(huán)碼碼組集3.生成矩陣G循環(huán)碼的生成矩陣多項(xiàng)式可以寫成以（7，3）循環(huán)碼為例經(jīng)線性變換，將G整理成典型生成矩陣。3.生成矩陣G循環(huán)碼的生成矩陣多項(xiàng)式可以寫成以（7，3）整個(gè)碼組可表示為：任意一個(gè)碼多項(xiàng)式都能被g(x)整除。整個(gè)碼組可表示為：任意一個(gè)碼多項(xiàng)式都能被g(x)整除。三.監(jiān)督多項(xiàng)式、監(jiān)督矩陣1.對(duì)于(n，k)循環(huán)碼，可分解成g(x)和其它因式的乘積。記為：稱h(x)為監(jiān)督多項(xiàng)式，其矩陣形式為：以（7，3）循環(huán)碼為例三.監(jiān)督多項(xiàng)式、監(jiān)督矩陣1.對(duì)于(n，k)循環(huán)碼，2.對(duì)于（7，3）循環(huán)碼，g(x)的最高次為4所以，有兩種方案第一種方案：2.對(duì)于（7，3）循環(huán)碼，g(x)的最高次為4所以，有兩碼字：第二種方案：碼字：碼字：第二種方案：碼字：例:已知(7，4）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式為（1）求典型生成矩陣和典型監(jiān)督矩陣；（2）輸入信息碼為11001011，求編碼后的系統(tǒng)碼；（3）全部碼組；（4）糾、檢錯(cuò)能力

解：例:已知(7，4）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式為解：四.編碼電路1.對(duì)于(n，k)循環(huán)碼中，可用多項(xiàng)式表示為：其中：m(x)為不大于（k-1）次的多項(xiàng)式，代表信息碼元。

r(x)為不大于(r-1)次的多項(xiàng)式，代表監(jiān)督碼元。

或：四.編碼電路1.對(duì)于(n，k)循環(huán)碼中，可用多項(xiàng)式表該式提供了循環(huán)碼編碼的數(shù)學(xué)依據(jù)。2.步驟：（1）信息多項(xiàng)式m(x)左移n-k位。（相當(dāng)于）（2）求其模g(x)的余式r(x)（3）余式的系數(shù)作監(jiān)督碼元，附加在信息碼元之后形成循環(huán)碼。該式提供了循環(huán)碼編碼的數(shù)學(xué)依據(jù)。2.步驟：（1）信息多項(xiàng)式例:已知(7，3）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式為求信息位為101時(shí)的碼字。

例:已知(7，3）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式為3.編碼電路門1門2

首先，四級(jí)移位寄存器清零，三位信息碼元到來時(shí)，門1斷開，門2接通，直接輸出信息元。第3次移位脈沖來時(shí)將除法電路運(yùn)算所得的余數(shù)存入四級(jí)移位寄存器，第4~7次移位時(shí)，門2斷開，門1接通，輸出監(jiān)督碼元（即余數(shù)）。當(dāng)一個(gè)碼字輸出完畢后就將移位寄存器清零，等待下一組信息碼元輸入后重新編碼。3.4.解碼（1）只檢錯(cuò)設(shè)發(fā)送碼組為A，接收碼組為B。B不出錯(cuò)時(shí)，有B(x)=A(x)則：能整除。余數(shù)不為0時(shí)，B有錯(cuò)。4.解碼（1）只檢錯(cuò)設(shè)發(fā)送碼組為A，接收碼組為B。B不出錯(cuò)框圖：（2）糾錯(cuò)用B(x)除以g(x)得到余式按余式用查表的方法或通過某種運(yùn)算得到E(x)。框圖：（2）糾錯(cuò)用B(x)除以g(x)得到余式例：12-6令為(7，4)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式。(1)求出該循環(huán)碼的生成矩陣和監(jiān)督矩陣；(2)若兩個(gè)信息碼組分別為(1001)和(0110),求出這兩個(gè)循環(huán)碼組；(3)畫出其編碼器原理框圖。解：（1）例：12-6令為(7，4)循環(huán)碼（2）（3）（2）（3）（4）（4）通信原理第十二章差錯(cuò)控制編碼通信原理第十二章差錯(cuò)控制編碼本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)12.1引言12.2常用的簡(jiǎn)單編碼12.3線性分組碼12.4循環(huán)碼12.5卷積碼本章內(nèi)容結(jié)構(gòu)12.1引言12.1引言一.差錯(cuò)控制方法(3)混合糾錯(cuò)（HEC）(1)檢錯(cuò)重發(fā)（ARQ）(2)前向糾錯(cuò)（FEC）12.1引言一.差錯(cuò)控制方法(3)混合糾錯(cuò)（HEC）(1.將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼，稱為分組碼。（系統(tǒng)碼）碼組=信息位+監(jiān)督位二.基本概念1.將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼，稱2.分組碼的表示：符號(hào)（n，k）n——碼組的總位數(shù)k——碼組中信息碼元的數(shù)目r=n-k——監(jiān)督碼元的數(shù)目3.編碼效率R越大，信息位比重大，有效性越高。2.分組碼的表示：符號(hào)（n，k）n——碼組的總位數(shù)k—4.分類：

（1）根據(jù)已編碼組中信息碼元與監(jiān)督碼元之間的函數(shù)關(guān)系，可分為線性碼和非線性碼。若信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系呈線性，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼。（2）根據(jù)信息碼元與監(jiān)督碼元之間的約束方式不同，可分為分組碼和卷積碼。分組碼的監(jiān)督碼元僅與本碼組的信息碼元有關(guān)，卷積碼的監(jiān)督碼元不僅與本碼組的信息碼元有關(guān)，而且與前面碼組的信息碼元有約束關(guān)系。（3）根據(jù)編碼后信息碼元是否保持原來的形式，可分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。在系統(tǒng)碼中，編碼后的信息碼元保持原樣，而非系統(tǒng)碼中的信息碼元?jiǎng)t改變了原來的信號(hào)形式。4.分類：（1）根據(jù)已編碼組中信息碼元與監(jiān)督碼元之間的函（4）根據(jù)編碼的不同功能，可分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。（5）根據(jù)糾、檢錯(cuò)誤類型的不同，可分為糾、檢隨機(jī)性錯(cuò)誤的碼和糾、檢突發(fā)性錯(cuò)誤的碼。（6）根據(jù)碼元取值的不同、可分為二進(jìn)制碼和多進(jìn)制碼。本章只介紹二進(jìn)制糾、檢錯(cuò)編碼。（4）根據(jù)編碼的不同功能，可分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。本章只介紹二誤碼率一定時(shí)，非編碼系統(tǒng)需要的輸入信噪比與采用了糾錯(cuò)編碼系統(tǒng)所需的輸入信噪比之間的差值。（用dB表示）采用不同的編碼會(huì)得到不同的編碼增益，但編碼增益的提高要以增加系統(tǒng)帶寬或復(fù)雜度來換取。

（1）碼組中“1”的個(gè)數(shù)稱為碼組的重量。（w）5.編碼增益6.碼重、碼距誤碼率一定時(shí)，非編碼系統(tǒng)需要的輸入信（3）某種編碼中各個(gè)碼組之間的距離的最小值稱為最小碼距（）

例：10011w=301101（2）兩個(gè)等長(zhǎng)碼組之間的對(duì)應(yīng)位不同的位數(shù)，稱為碼距。又稱為漢明距離。（d）d=4例：100110110101010d1=4d0=3d2=3d3=3（3）某種編碼中各個(gè)碼組之間的距離的最小值稱為最小碼距（天津工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院《通信原理》（1）時(shí)能檢出e個(gè)或e個(gè)以下錯(cuò)碼。（2）（3）時(shí)能糾正t個(gè)或t個(gè)以下錯(cuò)碼。時(shí)能檢出t個(gè)或e個(gè)以下錯(cuò)碼。7.e—檢錯(cuò)能力t—糾錯(cuò)能力天津工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院《通信原理》（1）時(shí)能檢例12-1已知8個(gè)碼組為：（O00000），（001110），（010101），（011011），（100011），（1O1101），（110110），（111000），（1）求以上碼組的最小碼距；（2）若此8個(gè)碼組用于檢錯(cuò)，可檢出幾位錯(cuò)？（3）若用于糾錯(cuò)碼，能糾幾位？（4）若同時(shí)用于糾錯(cuò)和檢錯(cuò)，糾錯(cuò)、檢錯(cuò)性能如何？

（1）（2）（3）（4）例12-1已知8個(gè)碼組為：（O00000），（001110例12-2已知兩碼組（0000）和（1111），若該碼組用于檢錯(cuò)，能檢出幾位錯(cuò)碼？若用于糾錯(cuò)，能糾正幾位錯(cuò)碼？若同時(shí)用于糾錯(cuò)和檢錯(cuò)，問各能糾、檢幾位錯(cuò)碼？

（1）（2）（3）例12-2已知兩碼組（0000）和（1111），若該碼組用一.奇偶監(jiān)督碼在信息位后加一位校驗(yàn)位12.2常用的簡(jiǎn)單編碼

奇監(jiān)督碼偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：只能檢測(cè)出奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，不能檢測(cè)出偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼一.奇偶監(jiān)督碼在信息位后加一位校驗(yàn)位12.2常用的簡(jiǎn)單二.二維奇偶監(jiān)督碼行監(jiān)督位列監(jiān)督位二.二維奇偶監(jiān)督碼行監(jiān)督位列監(jiān)督位特點(diǎn)：（1）能檢測(cè)出每一行（列）中的奇數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，但不能檢測(cè)出行列同時(shí)成偶數(shù)個(gè)出現(xiàn)的錯(cuò)碼。（2）能檢測(cè)突發(fā)性錯(cuò)誤（成串錯(cuò)碼）。（3）能糾正錯(cuò)碼。

三.恒比碼：碼組中均含有相同數(shù)目的“1”或“0”特點(diǎn)：能檢測(cè)出組碼中奇數(shù)個(gè)及部分偶數(shù)個(gè)碼元得錯(cuò)誤。（“1”錯(cuò)成“0”和“0”錯(cuò)成“1”

不能檢測(cè)）。數(shù)字0123456789碼字01101010111100110110110100011110101111000111010011特點(diǎn)：（1）能檢測(cè)出每一行（列）中的奇數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，但不

四.正反碼例：信息位：11001監(jiān)督位：11001

信息位：10001監(jiān)督位：011101.編碼規(guī)則：（1）當(dāng)信息位中有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，監(jiān)督位是信息位的簡(jiǎn)單重復(fù)。（2）當(dāng)信息位中有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，監(jiān)督位是信息位的反碼。四.正反碼例：信息位：11001監(jiān)督位：1100例：1100111001=000001000101110=111112.譯碼方法（1）將碼組中的信息碼與監(jiān)督碼進(jìn)行模2加得合成碼組。（2）若信息碼中有奇數(shù)個(gè)1，則合成碼組即為檢驗(yàn)碼組。若信息碼中有偶數(shù)個(gè)1，則合成碼組的反碼即為檢驗(yàn)碼組。（3）觀察檢驗(yàn)碼組中1的個(gè)數(shù)，按p278進(jìn)行檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。例：1100111001=000002.譯碼方法（1）12.3線性分組碼一.以（7，4）分組碼為例碼字：A=（）其中信息位：監(jiān)督位：若分組碼可用下列線性方程組表示：（“+”為模2加）則：該分組碼為（7，4）線性分組碼（共有16個(gè)碼字）12.3線性分組碼一.以（7，4）分組碼為例碼字：A=性質(zhì)：（1）封閉性：任意2個(gè)許用碼組之和（模2加）仍為一個(gè)許用碼組。（2）有零元：（3）有負(fù)元：（4）結(jié)合律成立：（任一碼字即為本身的負(fù)元）性質(zhì)：（1）封閉性：任意2個(gè)許用碼組之和（模2加）仍為一個(gè)許二.監(jiān)督矩陣H將上例中的式子改寫為：用矩陣表示為：并記為：二.監(jiān)督矩陣H將上例中的式子改寫為：用矩陣表示為：并記為：H陣可表示為：（階）（階單位陣）矩陣H稱為（7，4）線性分組碼得監(jiān)督矩陣。上式也稱為典型監(jiān)督矩陣。若不是典型監(jiān)督矩陣要用初等變換化成典型矩陣。H陣可表示為：（階）（階單位陣）三.生成矩陣G

若信息碼元已知，通過監(jiān)督矩陣可以求出監(jiān)督碼元。用矩陣表示：或三.生成矩陣G若信息碼元已知，通過監(jiān)督矩陣

將上式擴(kuò)展可以由已知信息碼元求得整個(gè)碼組。令：G稱為生成矩陣將上式擴(kuò)展可以由已知信息碼元求得整個(gè)碼組。令典型監(jiān)督矩陣和典型生成矩陣存在以下關(guān)系式：例：（7，4）典型監(jiān)督矩陣和典型生成矩陣存在以下關(guān)系式：例：（7，4）全部碼字為：全部碼字為：四.伴隨式（校正子）S

設(shè)發(fā)送碼字為，接收碼字為，由于干擾，噪聲可能引入誤差，使接收碼組與發(fā)送碼組不同，因此有，其中是傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)誤行矩陣。對(duì)于二進(jìn)制碼元有:E矩陣中哪一位碼元為1就表示接收碼字中對(duì)應(yīng)位有錯(cuò)。E稱為錯(cuò)誤圖樣。模2四.伴隨式（校正子）S設(shè)發(fā)送碼字為

在接收端用H來檢測(cè)接收B中的錯(cuò)碼。令：－伴隨式或校正子：如果B與A相同，則：否則：又

表示校正子S僅與信道的錯(cuò)誤圖樣E有關(guān)，而與發(fā)送的碼字A無關(guān)。在接收端用H來檢測(cè)接收B中的錯(cuò)碼。令：－伴隨五.如何利用S完成糾錯(cuò)對(duì)（7，4）線性分組碼設(shè)B中最高位有錯(cuò)，錯(cuò)誤圖樣它的轉(zhuǎn)置恰好是典型H陣的第一列。五.如何利用S完成糾錯(cuò)對(duì)（7，4）線性分組碼設(shè)B中最高位有同理可求出：若次高位有錯(cuò)，即恰好是H的第二列。

因此，在接收碼組中只錯(cuò)一位碼元情況下，計(jì)算出的校正子S總是和典型監(jiān)督矩陣中的某一行相同。例：與第三列相同同理可求出：若次高位有錯(cuò)，即恰好是H的第二列。正確碼組為：六.漢明碼

漢明碼是一種可以糾正單個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的線性分組碼。它的最小碼距，監(jiān)督元位數(shù)，碼長(zhǎng)，信息元位數(shù)，編碼效率當(dāng)r很大時(shí)，，因此是一種高效碼。正確碼組為：六.漢明碼漢明碼是一種可以糾正單

上例中的（7，4）線性分組碼就是漢明碼，并且任意調(diào)換H矩陣中各列的結(jié)果不會(huì)影響糾，檢錯(cuò)能力。上例中的（7，4）線性分組碼就是漢明碼，并且任12.4循環(huán)碼一.概念1.循環(huán)碼：線性分組碼（1）封閉性（2）循環(huán)性：循環(huán)碼中任一許用碼組經(jīng)過循環(huán)移位之后，所得到的碼組仍為一許用碼組。

2.碼多項(xiàng)式循環(huán)碼的一許用碼組可表示為：其中：x為碼元位置標(biāo)記，不考慮其取值。碼元只取“1”或“0”。

12.4循環(huán)碼一.概念1.循環(huán)碼：例:(7，3）循環(huán)碼中第二個(gè)碼組

如何實(shí)現(xiàn)移位：乘一個(gè)x相當(dāng)于碼左移一位。3.按模運(yùn)算若（的次數(shù)小于）則：稱為按模運(yùn)算后的余式。例:(7，3）循環(huán)碼中第二個(gè)碼組如何實(shí)現(xiàn)移位：乘一個(gè)x例：4.規(guī)律（1）循環(huán)碼中，將許用碼組左移一位得到的碼字記為：。其碼多項(xiàng)式為：可以證明：例：4.規(guī)律（1）循環(huán)碼中，將許用碼組（2）根據(jù)循環(huán)碼的定義，均為許用碼字。因此下列結(jié)論：若是許用碼字，則在按模運(yùn)算下，也是許用碼字。即：若則也是許用碼字。例:(7，3）循環(huán)碼則：那么其碼字為。（2）根據(jù)循環(huán)碼的定義，二.生成多項(xiàng)式與生成矩陣G1.(n，k)循環(huán)碼碼組集合中（全“0”除外）最高階數(shù)最小的多項(xiàng)式[（n-k）階]稱為生成多項(xiàng)式，記為g(x)。2.集合中其它碼多項(xiàng)式都是運(yùn)算下的余式。即可以由生成多項(xiàng)式g(x)產(chǎn)生循環(huán)碼的全部碼字。二.生成多項(xiàng)式與生成矩陣G1.(n，k)循環(huán)碼碼組集3.生成矩陣G循環(huán)碼的生成矩陣多項(xiàng)式可以寫成以（7，3）循環(huán)碼為例經(jīng)線性變換，將G整理成典型生成矩陣。3.生成矩陣G循環(huán)碼的生成矩陣多項(xiàng)式可以寫成以（7，3）整個(gè)碼組可表示為：任意一個(gè)碼多項(xiàng)式都能被g(x)整除。整個(gè)碼組可表示為：任意一個(gè)碼多項(xiàng)式都能被g(x)整除。三.監(jiān)督多項(xiàng)式、監(jiān)