數論問題能力進階——數的整除進階數論問題能力進階——數的整除進階整除：①一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；81258125整除；?3399③如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那么這個數能被11整除；④如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7，11或137，1113整除；⑤部分特殊數的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37；經典精講例11995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251經典精講例13ABABA6的倍數，這樣的六位數有多少個？解析：解析：這樣的六位數共20個，求解過程：若該六位數的倍數，1、該六位數是偶數該六位數可以3整除。該六位數是偶數，則A 只能為0,2,4,6,8中的數字。可以被3整除，則3+A+B+A+B+A=3+3A+2B，可以被3整除。由3+3A+2B可以被3整除可知，B必須能被3整除，則B只能為0,3,6,9。有排列組合可以，這樣的六位數有20個。或者1)當A為0時，B可以取0,3,6,9；同理A還可以取2,4,6,8。則這樣的六位數有4*5=20個。拓展：六位數3ababa是15的倍數,符合的六位數有幾個？15=315=3×51.a=0b是3的倍數，共有：4種2.a=51b是b是3的倍數，共4種所以共4+4=8種。2已知四位數abcd11bc為完全平方數，求此四位數。解析：四位數abcd的倍數解析：四位數abcd的倍數則a+c-(b+d)a+c-(b+d)=0或a+c-(b+d)=11,a+c-(b+d)=-11b+c=a，bc由于a是一位整數bc可能的情況bc=16,25,36,81.a由此d1,,1,2此四位數是7161,,9361,9812解析ABCDABCD是15的倍數，那么D只能是0、5中的一個。D=0時，A+D=A=B+C，A+B+C=2A是3的倍數，因此A的倍數。A=9、6、3，對應B、C的組合有10、7、4，一共21種。D=541，對應BC85、2種。因此一共有36個這樣的四位數。例例30，1，2，?，911解析：最大為9876524130,最大為9876524130,最小為1024375869.我們都知道，能被11整除的數的特征是：奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差是11的倍數。（包括0）設組成的數的奇數位上的數字之和為x，偶數位上的數字之和為y。則，x+y=0+1+2+?+9=45x-y或y-x=0，11，22（最大絕對值不會超過22）由x+y=45是奇數，根據數的奇偶性可知x-y也是奇數，所以x-y=11或-11。解方程x+y=45或-11x=28或17，y=17或28。為排出最大的十位數，前幾位盡量選用9，8，7，6所以應取x=28，y=17。這時，奇數位上另三位數字之和為：28-（9+7）=12偶數位上另三位數字之和為：17-（8+6）=39876524130。設所求最小數是102abcdefg根據被11整除的數的性質，有：()-(1+2+b+d+f)×20∴39-(b+d+f)×20∵b、d、f只能從3、4、5、6、7、8、9中取值∴-9≤39-(b+d+f)×2≤15∴39-(b+d+f)×2=11或者0當39-(b+d+f)×2=0時，無解。當39-(b+d+f)×2=11時b+d+f=14可見，b、d、f的組合是3、4、7或者3、5、6①當b、d、f的組合是3、4、7時，對應的a、c、e、g的組合是5、6、8、9從此得出的最小數是1025364879②當b、d、f的組合是3、5、6時，對應的a、c、e、g的組合是4、7、8、9從此得出的最小數是1024375869③比較1024375869和10253648791024375869就是樓主要求的最小數。用1-9這九個數字能組成若干個被11整除的九位數.在這些九位數中最大的和最小的兩個各是什么?111131.先求最大數寫下9876543211.先求最大數寫下987654321奇數位9，7，5，3，1；---和25---目標28偶數位---8，6，4，。-----和20---目標17因為1+2+...+9=45所以奇數位數字和≠偶數位數字和因此考慮它們的差是11的倍數在低位上調整，盡量保持高位9876不變奇數位9，7，5，3，4；---和28偶數---8，6，1，。 和17為什么1與4對換?奇數位上的數字和=9+7+5+4+3=28偶數位上的數字和=8+6+2+1=17所以能被11整除的最大數是9876524132.再求最小數寫下123456789奇數位上的數字和=1+3+5+7+9=25偶數位上的數字和=2+4+6+8=20在低位上調整，盡量保持高位1234不變奇數位上的數字和=1+3+7+8+9=28偶數位上的數字和=2+4+5+6=17所以能被11整除的最小數是123475869解析：1+3+4+5+7+8=28奇數位和偶數位的差是11的倍數,可以是:13解析：1+3+4+5+7+8=28奇數位和偶數位的差是11的倍數,可以是:414-14=019.5-8.5=11(14-14=019.5-8.5=11(不合題意要求)25-3=22(三個數字相加>=8,不可能是3)所以,只有奇數位和偶數位的差為0這一種情況:8+5+1-(7+4+3)=0最大的數是875413例例4能被11整除，且各位數字的和并小于1000的正整數( 個。解析：解析：9個。88、187、286、385、484、583、682、781、880因必是2位數到3位數。按照被被11整除的數字特征——奇數位的各數字之和與偶數位的各數字之和的差為11的0、1、2??倍。兩位數中，只能是0倍即奇數位=偶數位，奇數位+偶數位=16，有解88。9*2-0=18或。而數位差等于、和等于16是無解的，因數位差等于意味著奇數位和、偶數位和的性16矛盾。因此三位數，數位差為0，三個數字和為16，有187、286、385、484、583、682、781、880。拓展：拓展：在小于1000的自然數中，能被11整除，并且數字和為13的數有多少個可以整除11的數的特點是：奇數位的和與偶數位的和之差是11的倍數（包括0。所謂奇偶數位可以從數字的左邊或右邊數起題目要求數字和為題目要求數字和為13，是個奇數，那么差不可能是0。因為如果為0數位和，不可能加出13。而題目又要求是1000一下的數字，故只能考慮三位數（兩位數11，22，...，99容易被排除）唯一的可能是，這些三位數的奇數位和減去偶數位和是11。但和是13。設百位和個位的和是x，十位是y，則x-y=11,x+y=13。算出百位和個位和是12，十位是1。容易知道只有唯一的可能是，這些三位數的奇數位和減去偶數位和是11。但和是13。設百位和個位的和是x，十位是y，則x-y=11,x+y=13。算出百位和個位和是12，十位是1。容易知道只有319,418,517,616，715,814,913這七個數滿足條件。答案：7答案：75例5例5在這2001個數中選出一些數使得取出的這些數中任意兩個數的和都能26整除，這樣的數最多能選( )個。是26的倍數的一種情況，有76個數比26倍多13的是另一種情況，有77個數，所以填77個例例6七位數4 75xy中末兩位數是多少時它有兩個不同的七位數4 75xy能被99整除？測試題一個五位數2x3y6是72的倍數，且兩位數y6是9的倍數，則xy＝( A．46B．43C．50D．429y+69（99的倍數，這個數就是9的倍數y只能等于。7298的倍數y692x392+x+39的倍數，可以x243368xy=43一個六位數568abc，能分別被3，4，5整除，這個六位數最小( )A．568020B．568000C．568060解析：解析：568020能被整除的尾數只能或5 能被4整除的尾數至少是偶數所以尾數0然后3568除3是余1所以就可以把他看成1ab0aa=0,b=1(不行）b=2(可以）用這七個正整數組成無重復數字且能11整除的七位數則這樣的七位數中最大數最小數的差( 。6解析：最大7645231最小1235476A．7645231B．1235476C．解析：最大7645231最小1235476在小于5000的正整數中，能被11整除，且數字和為13的數，共( )個A．17B．18C．191=1×N(N為整數=12=1或奇數位數字和=1，偶數位數字和=12前種情況下，可能為3190，3091，4180，4081共4種可能，后種情況下，可能為1309，1408，1507，1606，1705，1804，1903；319，418，517，616，715，814，913共14種可能，所以共18個如果各位數字都是2的某個整數能被3333整除，那么這個整數至少( 位數A．6解析：被3整除需要有3的倍數個2，被解析：被3整除需要有3的倍數個2，被1111整除需要有4的倍數個23，4的最小公倍數12這個整數至少是12位數22222222222299樣的五位數是多少？A．12177B．48411C．12177D．12177或48411或52431前面三位數是個前面三位數是個完全平方數，那么設它為x^2，后面兩個都相同，設為10a+a=11a.這個數表示為A：A=100x^2+11a7此數可被99此數可被99整除，必然能被整除，11a已經可被整除了，所以100x^2也能被也能被x^2=(11b)^2=121b^2A=100*121b^2+11a121b^2是個三位數，所以b只能是1和2。如果b=1,A=100*121+11a=1