第一篇力學第二章牛頓動力學第一篇經典力學描述物體的運動狀態——運動學尋求物體具有某種運動狀態的原因——動力學萬有引力定律質點運動學剛體運動學靜力學動力學質點力平衡剛體力矩平衡質點動力學剛體動力學內容結構第二章牛頓動力學(平動)問題：尋求物體具有某種運動狀態的原因側面1.瞬時效應牛頓三大定律側面2.時間累積效應動量、角動量守恒側面3.空間累積效應功、能、能量守恒?保持原有運動狀態的原因?改變原有運動狀態的原因?物體受力分析遵守的原則?時間累積定理——動量、動量矩定理?動量、角動量守恒定理?空間累積定理——功、能功能原理?機械能、能量守恒規律§2.1力對物體的瞬時效應——牛頓三定律一牛頓三定律的理解二牛頓三定律的應用三牛頓定律的坐標變換——慣性系與非慣性系內容結構1.保持物體運動狀態的原因——牛頓第一定律2.改變物體運動狀態的原因——牛頓第二定律3.物體受力分析遵循的原則——牛頓第三定律4.牛頓三定律之間的關系1.幾種常見的力2.牛頓三定律的應用1.相關概念2.慣性系與非慣性系的區分3.非慣性系下的牛頓第二定律一牛頓三定律的理解1.保持物體運動狀態的原因——牛頓第一定律牛頓第一定律：任何物體都會保持其相對靜止或勻速運動狀態，直到有外力迫使它改變這種運動狀態為止。理解：A.慣性：物體保持其相對靜止或勻速運動狀態的內稟屬性。慣性狀態：物體保持相對靜止或勻速直線運動的狀態。慣性狀態和慣性是兩個不同的概念。B.慣性是保持其原有運動狀態的內部原因，力是改變物體運動狀態的外部原因C.牛頓力學適用的條件：慣性系2.改變物體運動狀態的原因——牛頓第二定律牛頓第二定律：理解：A.牛頓第二定律是實驗定律B.給出了質量是慣性的量度以及力的量度C.牛頓第二定律的瞬時性、矢量性、獨立性。瞬時性：力和加速度同時存在，同時消失。獨立性：每個力對物體產生的加速度，與是否存在別的力無關或：多個力對同一物體產生的加速度，等于每一個力單獨對物體產生的加速度的矢量和。矢量性：牛頓第二定律滿足矢量的合成與分解。直角坐標系自然坐標系3.物體受力分析遵循的原則——牛頓第三定律牛頓第三定律理解：A.作用力和反作用力分別作用于不同物體上，各自產生各自的效應。B.作用力和反作用力性質相同，且大小相等，方向相反，作用在同一直線上。C.作用力與反作用力同時存在，同時消失。4.牛頓三大定律之間的關系A.牛頓三定律構成一個完整、有機的整體。第一定律指明影響物體運動狀態的內部、外部因素；第二定律定量給出各影響物體運動因素之間的定量關系，且定量給出物體慣性的量度；第三定律則為分析改變物體運動狀態外部因素——力提供了理論基礎。三個定律結合一起，為尋求物體為什么具有某種運動狀態的原因提供了完整且相互聯系的理論基石B.牛頓三定律是互相獨立、互不包含的定律第一定律獨立指出牛頓力學體系成立的前提以及影響物體運動狀態的因素；第二定律給出各影響因素之間的定量關系并指出慣性是由質量量度的；第三定律提供分析影響物體運動狀態外部因素——力的理論基礎。二牛頓定律的應用

1.幾種常見的力

見下頁圖表幾種常見的力

萬有引力彈力摩擦力靜電力磁力定義產生條件大小方向備注

任何情況接觸形變接觸、有相對運動或趨勢存在電荷有電流存在有運動電荷質點連線,指向受力質點與形變方向相反與物體相對運動或趨勢相反右手螺旋定則質點連線,指向受力質點2.靜電力：例：m1=1kg，m2=1kg，r=1m。則：1.萬有引力：是自然界所有力中強度最弱的相互作用力，是長程力。。磁力是電場力的相對論效應這是任何精密儀器無法測量的。2.牛頓定律的應用

(1).牛頓定律應用的主要類型

A.已知受力求物體運動狀態B.已知物體運動狀態求物體受力C.已知物體部分運動狀態和部分力求解未知力和運動狀態(2).牛頓定律應用的解題步驟

A.確定研究對象，分析物體受力B.建立坐標系，列動力學方程C.解算及討論例：在光滑水平面上固定一豎直圓筒，半徑為R，一物體緊靠內壁在水平面上運動。設摩擦系數為，在t=0時，物體的速度為v0求：任意時刻物體的速率和運動的路程解：以小球為研究對象。考慮到小球作曲線運動，因此，選擇自然坐標是比較方便的。(1).任意時刻物體的速率列動力學方程：法向：切向：聯立求解方程：于是：(2).物體運動的路程由分離變量方法說明：A.建立坐標系，依求解問題方便而定，一般地，求解曲線運動問題，建立自然坐標簡便B.法向加速度、切向加速度中，v是速率，不是速度。C.熟練掌握一些數學技巧，理解數學中求導、積分的物理涵義例：設顆粒質量為m，受水的浮力為B，顆粒運動時受水的阻力為：f=-kv，k為常數。求：顆粒由靜止下降過程中的速度隨時間的變化規律及顆粒的極限速度。解：(1).顆粒由靜止下降過程中速度隨時間的變化規律建立圖示坐標系，設t=0時，顆粒速度v0=0于是：解之得：(2).顆粒的極限速度由速度的解顯然看出，當時間增大時：vT為極限速度還可以看出，當b=mg時，v=0，這是顯然的。說明：本題的主要目的在于重視數學技巧及解題結果的討論分離變量方法例：如圖，已知環套在與豎直軸成的桿上，其質量為m，桿繞豎直軸以的速度勻速轉動，環距離軸心距離為l求：(1).當環與桿相對靜止時，桿對環的靜摩擦力

(2).若環與桿的靜摩擦系數為s時，欲保持桿靜止，桿的角速度應保持在什么范圍？解：建立圖示坐標系，并對環受力分析，設f向上(1).當桿與環保持相對靜止時解此聯立方程組：(2).若環與桿的靜摩擦系數為s時，欲保持桿靜止，則必須滿足的條件是：討論：A.當f>0，即環有下滑趨勢，此時，存在一個最小角速度min，代入上述結果有：顯然，當，即時，不存在min，或即便min=0，環也不下滑。B.當f<0，即環有上滑趨勢，此時，存在一個最大角速度max，

代入上述結果有：顯然，當，即時，不存在max，或即便max，環也不上滑。桿的角速度的范圍說明：A.問題如存在臨界條件，可以將未知力用假設的方法表出，最后根據解得的結果加以討論。B.臨界狀況常常是摩擦力導致的，討論時常用到條件——所需摩擦力必須小于物體能夠提供的摩擦力，這一般為自然條件C.物理題目的結果常常需要物理模型的討論，這點很重要。例：一條輕繩跨過摩擦可被忽略的輕滑輪，繩的一端掛有質量為m1的物體，繩的另一端穿過一質量為m2的環。求：當環相對于繩以恒定的加速度a0沿繩向下滑動時，物體和環相對于地面的加速度各是多少？環與繩間的摩擦力多大？解：規定(ox軸)向上為各量的正方向。選取m1、m2作研究對象。如下頁圖所示，對選取對象作受力分析。

解得Tm1m1ga1Ta0m2m2ga2m1m2oxT為摩擦力例：如圖所示，質量為m的鋼球由靜止開始從A點沿圓心在o、半徑為R的光滑半圓形槽下滑。當滑到圖示位置（鋼球中心與o的連線和豎直方向成角）時求：這時鋼球對槽的壓力以及鋼球的法向加速度和切向加速度。

解：由

fn=man，ft=mat

有

RoAmgNat法向：切向：利用技巧：及上式中前的負號來源于角速度正負符號的規定，求解上式機械能守恒代入法向方程例：一人在平地上拉一個質量為m的木箱勻速地前進,木箱與地面的摩擦系數μ=0.6,肩上繩的支持點距地面高度h=1.5m,問繩長L為多長時最省力?

解：應先找出力與某個變量()的關系，再求極值hLfkNmgF由圖可知：L=h/sin=2.92m時，最省力水平方向：(勻速)豎直方向：解得F有極小值的充要條件是于是得到：三牛頓定律的坐標變換——慣性系與非慣性系1.相關概念例：分別在加速行駛的火車、地面上觀察火車車廂中水平桌面上的小球運動，必然得出的不同結論。火車車廂上的觀察者——小球沒有受任何外力作用而產生了加速度——牛頓定律失效。而小球的運動情形，按慣性系中的牛頓定律，相當于小球受到的作用力為：地面上的觀察者——火車車廂光滑的桌面不能提供小球作用力以使小球與火車以同樣加速度運動，因而小球與地面保持相對靜止——滿足牛頓定律Amk乙甲a慣性系：牛頓定律嚴格成立的參考系，稱之為慣性系。非慣性系：牛頓定律不能成立的參考系，稱之為非慣性系。慣性力：在非慣性系中，為使物體保持相對靜止，而必須假想給物體施加的作用力：理解：A.慣性力是假想力，沒有施力物體，也沒有反作用力

B.慣性力的方向與非慣性系的加速度方向相反，大小等于ma，可以理解為給非慣性系加上一個反方向的加速度，使之成為慣性系，而同時為保證物體與參照系的相對運動狀態保持不變，因而必須給非慣性系中的每一個物體加上一個反方向的加速度，等效于給每個物體加上一個作用力——慣性力。Amk乙甲aC.慣性力(Fg=ma)中的加速度a，是非慣性參考系相對于慣性系的加速度，而不是物體相對于慣性系的加速度。2.慣性系與非慣性系的區分按慣性系和非慣性系的定義，通過實驗，它們總是可以區分的。或者說，慣性系和非慣性系是具有不同性質的參照系，與運動的相對性無關。3.非慣性系下的牛頓第二定律由慣性力的理解B，給物體加上反向加速度后，非慣性系就變為慣性系。那么，牛頓第二定律仍就適用，于是，在非慣性系中，牛頓第二定律可以改寫為：是非慣性系的加速度，是物體相對于非慣性系的加速度。A.平動非慣性系下的牛頓第二定律B.轉動非慣性系下的牛頓第二定律Amk乙甲a，例：如圖，升降機內有一傾角為的光滑斜面。當升降機以勻加速度a相對地面上升時，一物體m正沿斜面下滑。求：物體m相對于升降機與地面的加速度。

解：設升降機相對于地面的加速度為a1，木塊相對于升降機的加速度為a2，選擇升降機為參照系并建立圖示坐標系。給升降機加上反向加速度a1后，對物體受力分析，如圖，有aa在有滑槽、勻速轉動圓盤上的觀察者認為，滑槽中物體受到由圓心向外的慣性力，與平動非慣性系分析慣性力方法類似，轉動非慣性系的慣性力為轉動非慣性系中的牛頓定律成為解之得：(木塊相對于升降機的加速度)木塊對于地面的加速度為(與斜面的夾角)說明：上面解題過程中的Fg是慣性力，是加速度的反方向。給非慣性系加上反向加速度后進行受力分析，得到的加速度是相對于非慣性系的加速度。而不是相對于慣性系的加速度。例：如圖，斜面足夠長，斜面B的質量為M，物體A的質量為

m，A與B之間的摩擦系數為，斜面與地面之間無摩擦。求：當物體A在斜面上運行l時，斜面所發生的位移解：建立圖示坐標系，給B施加反向加速度aB使之成為慣性系同時，設A相對于B的加速度為aAB，于是，動力學方程為對B：對A：解此方程組得A物體在斜面上運行l：B物體對應的位移：聯立求解可得解（略）。§2-2.力對物體的時間積累效應——動量守恒定理平動情形下的時間積累效應轉動情形下的時間積累效應質點動量定理剛體角動量定理質點角動量定理質點系動量定理力對物體的時間積累效應——動量守恒定理沖量、動量、動量定理、動量守恒定理沖量矩、角動量角動量定理、角動量守恒暫不講，單獨成章平動情形下的時間積累效應一單質點動量定理2.單質點的動量定理

1.相關概念

二質點系的動量定理

1.相關概念

2.質點系的動量定理

三動量定理的應用

1.可運用動量定理求解的問題特征

3.運用動量定理解題應注意的問題

2.動量定理應用的常用近似方法內容結構一單質點動量定理1.相關概念

沖量：力對時間的累積矢量，稱為沖量。積分形式：微分形式：說明：沖量是矢量：大小——方向：一般與作用力方向不同運算法則：矢量合成法則獨立性：每個力對物體產生的沖量，與是否存在別的力無關。或：多個力對同一物體產生的沖量，等于每一個力單獨對物體產生的沖量的矢量和動量：(動量的理解與沖量的理解相類似，此處略)。2.單質點的動量定理推導：理解：A.動量定理表明，力在時間上的累積是動量改變的原因。動量定理與狀態相聯系。C.動量定理的矢量性。直角坐標系表示：質點所受合外力的沖量等于質點動量的改變量B.適用條件：動量定理建立在牛頓第二定律基礎上，牛頓定律的適用條件——慣性參考系——也是動量定理的適用條件D.單質點的動量守恒定理：當單質點所受合外力沖量為零時，其動量為守恒量。例：假定氣體分子與容器壁的碰撞為彈性碰撞，用分子運動論推導平衡態下壓強的微觀表達式。推導：按氣體動理論，壓強的微觀實質是大量的氣體分子與器壁碰撞形成的。建立圖示坐標系，取器壁的一個面積微元，將氣體分子的速度分解為三個坐標方向，顯然，只有z方向速度分量對器壁壓強有貢獻。設氣體分子與器壁發生彈性碰撞的作用時間為t，由動量定理，每一個z方向速率為viz氣體分子對壓強的貢獻為：設單位體積z方向速率為的氣體分子數為ni，在t

時間范圍內能夠與器壁碰撞的分子數為：它對壓強的貢獻為：z方向能與器壁碰撞的各種速率的分子對壓強的貢獻為：考慮到平衡態時z方向具有相同速率viz的氣體分子可以沿正負兩個方向，于是：再考慮到平衡態下沿各方向氣體分子運動相同，即：于是：二質點系的動量定理

1.相關概念

質點系：由多個質點構成的物體系，稱為質點系。內力：物體系內部質點間的相互作用力，稱為內力。外力：物體系所受的來自于物體系以外的作用力，稱為外力。2.質點系的動量定理

(1).推導質點系動量定理的思路A.認為質點系的總動量應等于各質點動量的矢量合成，質點系的總動量改變量應等于各質點動量改變量的矢量和B.將質點系的動量改變量分為外力與內力沖量的矢量和。(2).質點系的動量定理設質點系包含n個質點，質點i受到的合外力記為Fi，受到來自于質點j的內力記為fij，質點i的初動量記為pi0，末動量記為pi由單質點動量定理：……將上述各式相加：考慮到內力之間存在關系：于是：其中：P，P0分別表示物體系總初動量和末動量。討論：A.適用條件：慣性系，所有質點相對于同一參考系。B.內力對物體系的總動量改變量沒有貢獻，但對其中某一質點的動量改變有貢獻。C.質點系的動量定理同樣具有矢量的獨立性質點系的動量定理：質點系的動量改變量等于質點系所受合外力沖量的矢量和。

D.質點系的動量守恒定理：當質點系所受合外力為零時，質點系的總動量守恒。但質點系中的任意一質點的動量不一定守恒思考問題：上述物體系是由分離質點系構成的物體系，如果物體系是由連續物質構成，那么，物體系的動量定理怎樣推導？三動量定理的應用

1.可運用動量定理求解的問題特征

不考慮中間過程或中間過程很繁雜，而物體系狀態量易求，或由物體系的狀態量就可以求解的問題。2.動量定理應用的常用近似方法

A.平均沖力：由于碰撞問題中作用力的時間一般很短暫，因而，在沒有特別注明情況下，一般將碰撞過程中隨時間變化的沖力視為平均力，即平均沖力。B.忽略較小外力。一般情況下，沖力的大小比物體的重力、摩擦力等外力大一到二個數量級，因而，它們常可被忽略。3.運用動量定理解題應注意的問題

A.動量定理的獨立性、矢量性。B.彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞問題彈性碰撞：碰撞后物體可以完全恢復形變的碰撞。彈性碰撞中動量、能量均守恒。非彈性碰撞：碰撞后物體不能完全恢復其形變的碰撞。在非彈性碰撞過程中，動量守恒，但能量不守恒。完全非彈性碰撞：碰撞后物體不恢復其形變的碰撞。在完全非彈性碰撞過程中，動量守恒，但能量不守恒。且碰撞后物體結合在一體共同運動。C.動量守恒與能量守恒一樣，是自然界中成立范圍最廣泛的基本定理之一。至今，沒有發現動量守恒定理遭到破壞的事例解：由動量定理的矢量獨立性，分別在各坐標分量方向上應用動量定理：例：一物體質量m=2kg,受合外力

(SI)的作用，初速度求：第1秒末物體的速度。完成積分得說明：本題的目的要求會應用動量定理矢量的獨立性解題例：質量為m的質點，經時間t、以不變的速率v越過一水平光滑軌道60o的彎角求：軌道作用于質點的平均沖力的大小。

解：平均沖力可視為恒力，由動量定理有

因為計算平均沖力，如圖建立坐標系，求解始末狀態速度差

30omv2v130oij大小:，方向：j(y軸正方向)。代入式(1)得平均沖力(1)說明：始末狀態速度矢量差也可由三角形法則求得例：如圖，用傳送帶A輸送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m處煤粉自料斗口自由落在傳送帶A上。設料斗口連續卸煤的流量為qm=40kg/s,

傳送帶A以v=3m/s的水平速度勻速向右運動求：卸煤的過程中，煤粉對傳送帶A的平均作用力的大小和方向。（不計相對傳送帶靜止的煤粉質量，取g=10m/s2）

解：煤粉下落h時的速度。取在時間dt內落下的煤粉dm=qmdt

為研究對象，應用動量理，有：hAvv0xy平均沖力大小:|F|=200N，方向與x軸正方向成53.1o煤粉對傳送帶A的平均作用力與此力大小相等而方向相反。

例：一質量均勻分布的柔軟的細繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落向桌面。試證明：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。(即壓力是重量的三倍)此時落在桌面上繩的質量為m=h，m受三個個力的作用重力mg、桌面的支持力N、落下繩的沖力F。由右下圖可知證：設繩的線密度為。時刻t(下落h時)，繩的速度NFmmgdmF取時間t~t+dt內落下的繩為研究對象例：如圖，質量為M的物體有一個四分之一滑槽，靜止在光滑水平面上，質量為m的滑塊自其頂部由靜止開始下滑。求：當m滑至滑槽底部時，M移動的距離。解：選擇M、m為物體系，由于物體系在水平方向不受外力作用，因而動量守恒兩邊同時對時間積分令于是：(1)注意，vx、s是相對于地面的水平速度和位移，相對于滑槽的水平位移為：而討論：A.對中間過程是變力的運動過程，用牛頓定律求解，往往很繁雜，此時，應考慮用動量定理或動量守恒求解。B.求解過程中，并沒有考慮m與M之間是否存在摩擦力，因而，即便存在摩擦力，上述結果同樣成立。C.此題一個重要技巧用到(1)式，即兩物體水平位移成比例。這在許多問題中經常用到。類似的還有速度、加速度成比例。注：請比較該題求解方法與非慣性系例2的求解方法。例：如圖，A，B，C三物體質量均為M，B、C間由一長度為l0

的細繩連接，t=0時，B、C距離為0,桌面光滑。求：(1).A、B運動后，經多長時間C開始運動？

(2).C剛開始運動時的速度解：選擇A、B、C為物體系，系統受到的外力有N、Mg

(1).由于系統受有合外力，因而系統動量不守恒。考慮到動量定理的矢量性和獨立性以及合外力為恒力，在水平方向和豎直方向分別應用動量定理：水平方向豎直方向合外力作用時間

以及聯立求解得(2).C剛開始運動時的速度C剛開始運動時，三個物體的速度應當相等。此時，相當于物體C與A、B兩物體組成的系統相碰撞，在物體碰撞時，沖力遠大于重力、摩擦力等內力，因此，可以忽略物體A所受的重力。設碰撞前后物體系的速度分別為v、V，由動量定理：水平方向豎直方向與問題1的分析類似解此聯立方程得討論：A.用動量定理解題時，一個重要的問題是分清楚所研究的物體系對象。如本題容易少分析N。B.注意用動量定理解題時取正確的近似例：如圖，光滑水平面上有一輛靜止且質量為M的炮車，炮車的仰角為，相對于炮車發射質量為m、出口速度為u的炮彈求：(1).炮彈剛出口時，炮車的反沖速度

(2).若炮筒長為l，求炮彈發射過程中，炮車反沖的距離解：該題有兩個關鍵點：一是炮彈的速度是相對于炮車的速度，而不是相對于地面的速度；二是炮彈在炮筒中的運動是變速的，而不是勻速的。(1).如圖以地面為參考系建立坐標系，并以炮彈、炮車為研究對象，因此，在水平方向上動量守恒，由動量定理解得：炮車后退(2).設炮彈在炮筒中任意時刻的速度為u(t)，那么，此時對應的炮車速度為于是，炮車的反沖位移為故說明：在質點系動量守恒問題中，如果涉及相對運動問題，那么，一定注意物體系中所有質點都必須相對于同一參考系。例：如所示，一輛質量為M的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質量為m的小物體以水平速度v0滑向車頂。設物體與車頂之間的摩擦系數為求：(1)從物體滑上車頂到相對車頂靜止需多少時間？(2)要物體不滑下車頂，車長至少應為多少？

解：(M+m):水平方向不受外力，動量守恒(1).對物體m應用動量定理，有式中v是相對靜止時的速度解得v0Mm(2).物體m的加速度a=-mg/m=-g。設車長至少為S，則由：v2-v02=2aS得：S=(v2-v02)/2a=M(M+2m)v02/(2g(M+m)2)

這個結果對嗎？錯誤。因為用牛頓定律求出的加速度a是相對慣性系——地面而速度v、v0也是相對地面的，故由公式v2-v02=2aS求出的S當然也應是物體相對地面的運動距離，而不是相對非慣性系(車頂)的運動距離。正確解法是先求出小物體m相對地面運動的距離再求出小車M相對地面前進的距離車的最小長度例：有一門質量為M(含炮彈)的大炮,在一固定的斜面上無摩擦地由靜止開始下滑。當滑下L距離時，從炮內沿水平方向射出一發質量為m的炮彈。求：欲使炮車在發射炮彈后的瞬間停止滑動，炮彈的初速應是多少？（設斜面傾角為）解：設炮車下滑L時的速度為v0,由機械能守恒定律，有(1)

Lvv0以炮車、炮彈為系統,在L處發射炮彈的過程中，由于內力很大外力可忽略，水平方向動量守恒:

Lvv0(2)有問題嗎？錯誤！炮車在發射炮彈的過程中，受兩個力的作用：重力Mg和斜面對炮車的支持力N(它的方向垂直于斜面)；雖然內力很大,重力Mg可以忽略，但斜面對炮車的支持力N與內力是同數量級的，不可忽略，所以水平方向的動量根本不守恒。但N在斜面方向沒有分量，所以我們只能沿斜面方向應用動量守恒定律:(3)解式(1)、(3)就得炮彈的初速例：光滑水平地面上放有一質量為M的三棱柱體(傾角為)，其上又放一質量為m的小三棱柱體。它們的橫截面都是直角三角形，M的水平直角邊的邊長為a，m的水平直角邊的邊長為b。兩者的接觸面亦為光滑。設它們由靜止開始滑動求：當m的下邊緣滑到水平面時，M在水平面上移動的距離。

Mabmxovv’解：對M與m組成的系統，水平方向動量守恒。設M與m相對地面的速度分別是V和v，m相對于M的速度為v’，則將(2)式代入(1)式得由相對運動公式最后求得M在水平面上移動的距離而是m相對于M在水平方向移動的距離顯然，=S就是M相對水平地面移動的距離設m的下邊緣滑到水平面需用的時間為t，將上式兩邊對時間積分，有Mabmxovv’§2-3.力對物體的空間積累效應——能量守恒定理平動情形下的空間積累效應轉動情形下的空間積累效應質點動能定理剛體轉動動能定理質點轉動動能定理質點系動能定理力對物體的空間積累效應——能量守恒定理功、動能、勢能，動能定理功能原理、機械能守恒定律力矩作功,轉動動能,剛體勢能剛體轉動動能定理,機械能守恒暫不講，單獨成章平動情形下的空間積累效應一功、功率2.幾種常見保守力的作功

1.相關概念

二功與能量的關系

1.勢能定理

2.動能定理

三功能原理的應用舉例內容結構3.功能原理一力的空間累積參量——功、功率1.相關概念功：力和力方向下位移的乘積，稱為力對物體所作的功記微分形式積分形式理解：A.B.功是標量，有正負之分C.功是相對量。因位移的大小與參考系的選擇有關，因而功的大小也與參考系的選擇相關。求解問題時，應指明參考系。D.功是過程量，不是狀態量E.功的獨立性原理功率：力在單位時間所作的功。記為思考：平均功率可以用定義式中，力、速度取平均求解嗎？為什么？舉例說明。2.幾種常見保守力的作功

例：重力沿任意路徑所作的功解：定義重力勢能

則：結論：A.重力對物體作功，只與物體的高度變化量有關，與中間過程無關，存在狀態參量。

B.重力作功的大小，等于重力勢能增量之負值。例：彈力作功解：定義彈性勢能：

結論：A.彈力對物體作功，只與彈簧的伸長量變化有關，與中間過程無關，存在狀態參量。B.彈力作功的大小，等于彈性勢能增量之負值。例：萬有引力作功解定義引力勢能：結論：A.萬有引力對物體作功，只與矢徑的變化量有關，與中間過程無關，存在狀態參量。

B.萬有引力作功的大小，等于引力勢能增量之負值。思考上述力作功所得結論二功與能量的關系

1.勢能定理

(1).相關概念

保守力：如果力對物體所作的功只與位置有關，而與中間過程無關，稱之為保守力。保守力：滿足條件：(旋度，無旋場)，稱為保守力。或其中：，，稱為矢量微分算符。勢能：由于物體的某種相對位置而具有的能量，稱為勢能。討論：A.引入勢能的前提條件——作功的力是保守力。或只有保守力才可能引入勢能。

B.勢能是指相互作用的物體系的勢能，討論單獨一個物體的勢能是無意義的。C.物體系中某一物體的勢能與坐標系或零勢能的選擇有關，即具有相對性。但物體系的勢能與參照系的選擇無關，因物體系的相互作用是內力，內力作功與參照系的選擇無關D.求解物體勢能的一般方法。選取物體系的某一物體作參照系，另一物體相對于它的勢能，等于在保守力作用下將其從待求點移至參考點時，保守力所作的功。(2).勢能定理——力的空間累積與物體系勢能間的定量關系

保守力對物體所作的功，等于物體增量的負

例：如圖，上端固定的輕質彈簧下端固定質量為m的物體，設彈簧的原長在o點，掛上物體后彈簧伸長x0到A點。求：以A點為原點，彈簧伸長任意長度時物體系的勢能。

解：設將物體從A點拉長至B點，彈簧的伸長量為x1

B點的彈性勢能等于保守力彈力將m從B點拉向A點所作的功

于是

B點的重力勢能等于保守力重力將m從B點拉向A點所作的功物體系的總勢能

結論：以新的平衡位置A為原點時，相當于原長在A點而沒有懸掛重物的彈簧運動。

而

討論：A.該題的結論具有普遍的適用性，可作為定理使用。

B.本題的目的在于弄清物體勢能的求解方法，特別是當物體系有多種勢能出現時，零勢能的選擇。2.動能定理

(1).相關概念

動能：由于物體運動而具有的能量，稱為動能。

說明：動能與參考系的選擇有關，且恒為正

(2).動能定理——力的空間累積對動能影響的定量關系

A.單質點的動能定理：合外力對單質點所作的功等于質點動能的增量。微分形式積分形式推導：微分形式

積分形式：

理解：a.動能定理表明，動能定理與狀態相聯系。力在空間上的累積是動能改變的原因。b.適用條件：動能定理建立在牛頓第二定律基礎上，牛頓定律的適用條件——慣性參考系——也是動能定理的適用條件c.動能定理中的合外力，包含所有外力——保守力和非保守力d.單質點的動能守恒定理(自己給出)

B.質點系的動能定理：質點系所受的所有合外力及所有內力所作的功，等于物體系動能的增量。

微分形式：積分形式：推導：質點i的初動能記為Ei0，末動能記Ei由單質點動能定理將上述各式相加記記由于不一定為零于是或討論：A.適用條件：慣性系，所有質點相對于同一參考系。B.

動能定理中的合外力，包含所有外力——保守力和非保守力C.質點系的動能守恒定理：當時，質點系動能守恒3.功能原理

考慮質點系動能定理聯立上述三個方程，得

同時令

定義機械能：物體系動能與勢能的總和稱為機械能。

功能原理：外力與非保守內力對物體系所作的功，等于物體系機械能的增量

討論：A.成立條件：慣性系B.功能原理中，只計及非保守內力和合外力對功的貢獻，保守內力所作的功已記入機械能的勢能中。C.功能原理的物理意義：力對空間的累積效應體現于物體系機械能的改變。或，功是物體系機械能改變的量度。

D.機械能守恒定律：當時，物體系的機械能守恒。

三功能原理的應用舉例

例：今有一倔強系數為k的輕彈簧，豎直放置，下端連接一質量為m的物體，開始時使彈簧為原長而物體m恰好與地面接觸。今將彈簧上端緩慢地提起，直到物體m剛能脫離地面時止，求此過程中外力作的功。Fxox(原長)解：建立如圖所示的坐標系。外力F=kx

，這是一個變力。物體m脫離地面的條件是所以外力作的功為解：合外力所作的功∵當t=0時，x=a，

y=0；當t=/(2)時，x=0，y=b。合外力:例：一質量為m的質點在xoy平面上運動，其位置矢量為：，式中a、b、是正值常數，且a>b。求：t=0到t=/(2)時間內合外力的功及分力Fx、Fy的功。

∴合外力的功為分力Fx、Fy的功為

討論：(1)顯然合外力的功也可由下式求出

由動能定理得合外力的功為當t=/(2)時，，

大小當t=0時，，

大小：(2)若只求合外力的功則用動能定理求解最為方便例：在光滑的水平桌面上，平放著如圖所示的固定的半圓形屏障。質量為m的滑塊以初速度v0沿切線方向進入屏障內，滑塊和屏障間的摩擦系數為μ。求：滑塊滑過屏障的過程中，摩擦力的功

Nv0frvoNv0frvo求v，滑塊作圓周運動，采用自然坐標系解：滑塊在水平面內受兩個力的作用：摩擦力fr、屏障給它的支持力N，如圖所示。滑塊在沿屏障作圓周運動的過程中，支持力N不作功，只有摩擦力fr作功；但摩擦力是個變力，不易直接求出，借助動能定理，摩擦力的功為：法向：(1)將式(1)代入式(2)，并將積分變量換為后，有：切向：(2)

代入動能定理得對上式分離變量并積分例：如圖所示，一鏈條總長為L、質量為m，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的長度為a，鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數為μ。令鏈條由靜止開始運動求：鏈條末端離開桌面時的速率。

解：鏈條受三個力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面對它的支持力(此力不作功)。此題適宜用功能原理求解，因為這樣只需要考慮摩擦力的功就行了。建立如圖所示的坐標ox，

摩擦力(變力)的功為L-aaox對鏈條、細棒這樣一些均質、規則的物體，計算重力勢能和重力的力矩時可將其質量集中在質心，從而當作一個質點處理。取桌面為零勢面，由功能原理得

代入Aμ，解得即L-aaox例：如圖，光滑地面上有一輛質量為M的小車，小車上一長為

L的輕繩將小球m懸掛于o點。把繩拉直，將小球由靜止釋放求：小球運動到最低點時的速率。解：以小球為研究對象。張力T與運動方向垂直，因此它不作功，只有重力(保守力)作功，機械能守恒。對不對?錯誤。小球繞O點作圓運動，張力T不作功，因而機械能守恒這是以小車為參考系作的結論