第六章一階電路

重點2、一階電路的零輸入響應、零狀態響應和全響應的概念及求解；1、動態電路方程的建立及初始條件的確定；3、一階電路的“三要素”法。定義：只含有一個（或可等效為一個）動態元件的線性、非時變電路，其電路方程是一階線性常微分方程，這種用一階微分方程來描述的電路稱為一階電路。第六章一階電路重點2、一階電路的零輸入響應、零狀態響6-1分解方法在動態電路分析中的運用一、分解方法在電容電路的應用一階動態電路可用分解方法分析，整個電路可分解為一個單口網絡只含一個動態元件；另一個為電路中其它部分（線性含源單口網絡），可用戴維南定理（諾頓定理）簡化。有源電阻電路一個動態元件含源電阻網絡N1N2Cuc+-(a)+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)6-1分解方法在動態電路分析中的運用一、分解方法在電容根據KVL根據元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)根據KVL根據元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C二、分解方法在電感電路的應用（自行推導）對于一階電路，關鍵是求得電路的狀態變量——電容電壓和電感電流。統一一下：二、分解方法在電感電路的應用（自行推導）對于一階電路，關鍵是一、換路補充內容電路在一定條件下工作于相應的一種狀態。如果條件改變，例如電源的接入或斷開、開關的開啟或閉合、元件參數的改變等，電路會由原來狀態過渡到一種新的穩定狀態(簡稱穩態)。這種狀態變化過程稱為過渡過程或暫態過程，簡稱暫態。引起過渡過程的電路結構或元件參數的突然變化，統稱為換路。一、換路補充內容電路在一定條件下工作于相應的一種狀態。如果條設t=0時電路發生換路，并把換路前一瞬間記為0-，換路后一瞬間記為0+。根據電容、電感元件的伏安關系，如果在無窮小區間0-＜t＜0+內，電容電流iC和電感電壓uL為有限值，則：uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)它表明換路瞬間，若電容電流iC和電感電壓uL為有限值，則電容電壓uC和電感電流iL在該處連續，不會發生躍變。二、換路定律設t=0時電路發生換路，并把換路前一瞬間記為0-，換路后一瞬0ti過渡期為零電阻電路+-usR1R2（t=0）i三、過渡過程的定性分析0ti過渡期為零電阻電路+usR1R2（t=0）i三、過i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩定狀態：k未動作前，電路處于穩定狀態：電容電路k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一個穩定狀態過渡狀態新的穩定狀態t1USuct0?i有一過渡期i=0,uC=Usi=0,uuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通電源后很長時間，電路達到新的穩定狀態，電感視為短路：k未動作前，電路處于穩定狀態：電感電路k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一個穩定狀態過渡狀態新的穩定狀態t1US/Rit0?uL有一過渡期uL=0,i=Us/Ri=0,uL四、變量初始值的計算如果電路在t=0時發生換路，根據換路定律，在換路瞬間uC和iL不發生躍變。但是，換路時其余電流、電壓，如iC、uL、iR、uR則可能發生躍變。這些變量的初始值可以通過計算0+等效電路求得。電路變量初始值的具體計算方法是：1)畫出t=t0-時刻的等效電路電容開路，求出uc(t0-)

電感短路，求出iL(t0-)2)畫出t=t0+時刻的等效電路電容以uc(t0+)的電壓源代替電感以iL(t0+)的電流源代替四、變量初始值的計算如果電路在t=0時發生換路，根據換路定律3)根據電路求出t=t0+時的各電流、電壓的初始值獨立電源取t=t0+時的值例：如圖所示電路，開關打開前，電路已處于穩態。t=0時，開關打開。求初始值ic(0+)，uL(0+)和iR1(0+)。解：1)求出開關打開前的電容電壓uc(0-)和電感電流iL(0-)。由于t＜0時，電路處于穩態，電路各處的電流、電壓為常量，因此，diL/dt=0，uL=0，電感看做短路，duC/dt=0，ic=0，電容看做開路。做出t=0-時的等效電路已知：3)根據電路求出t=t0+時的各電流、電壓的初始值獨立電源取由圖可得根據換路定律，有2)做出t=0+時的初始值等效電路。在t=0+瞬間，電容元件可用電壓等于uC(0+)的電壓源代替；電感元件可用電流等于iL(0+)的電流源代替。畫出t=0+的初始值等效電路如圖所示。由圖可得根據換路定律，有2)做出t=0+時的初始值等效電路。3)由0+等效電路可求得3)由0+等效電路可求得6－4零輸入響應定義：電路的激勵為零，只由電路的初始儲能引起的電路響應。在t＜0時，開關s1一直閉合，開關s2斷開，電路處于穩態，電容兩端電壓為U0。在t=0時，開關s1打開而開關s2同時閉合。求t≥0時電容兩端的電壓。一、一階RC電路的零輸入響應解：

1)求初始值t<0時由換路定律，得6－4零輸入響應定義：電路的激勵為零，只由電路的初始儲

0+等效電路如圖所示

則

2)建立微分方程特征方程為RCs+1=0解得s=-1/RC

解的形式為由t=0時，uc(t)=U0，得0+等效電路如圖所示則2)建立微分方程特征方程為所以：表明1、uc和i隨著時間t增加按指數規律衰減。2、τ＝RC的量綱為秒，稱為時間常數。其大小決定了電容充放電的快慢。時間常數τ越大，電容充放電的過程就越慢；反之τ越小，電容充放電的過程就越快。3、在電路換路時，電容電壓不能突變，而流過電容的電流可以躍變。所以：表明1、uc和i隨著時間t增加按指數規律衰減。2、τ＝4、理論上，t時，衰減到零，工程上取(4~5)作為衰減到零的時間。5、零輸入響應的比例性若初始狀態增大m倍，則零輸入響應也相應增大m倍。6、零輸入響應一階RC電路的零輸入響應，由其時間常數和初始值決定。電容電壓的初始值7、電路理論中，（微分方程的特征根）稱為固有頻率。4、理論上，t時，衰減到零，工程上取(4~5二、一階RL電路的零輸入響應t<0時，電路達到穩態，t=0時開關S1斷開，同時S2閉合，求t≥0時電感的電流。解：t<0時t=0時，由換路定律得列微分方程則二、一階RL電路的零輸入響應t<0時，電路達到穩態，t=0時解得解得表明1、

和

隨著時間t增加按指數規律衰減。2、τ＝L/R的量綱為秒，稱為時間常數。其大小決定了電感電流衰減的快慢。時間常數τ越大，衰減就越慢；反之τ越小，衰減就越快。3、在電路換路時，電感電流不能突變，而電感兩端的電壓可以躍變。表明1、和隨著時間t增加按指數規律衰減。4、理論上，t=時，衰減到零，工程上取(4~5)作為衰減到零的時間。5、零輸入響應的比例性若初始狀態增大m倍，則零輸入響應也相應增大m倍。6、零輸入響應一階RL電路的零輸入響應，由其時間常數和初始值決定。電感電流的初始值7、電路理論中，（微分方程的特征根）稱為固有頻率。4、理論上，t=時，衰減到零，工程上取(4~5總結一階電容電路的零輸入響應其中il(0)為電感電流的初始值，τ＝L/RR的確定其中uc(0)為電容電壓的初始值，τ＝RC一階電感電路的零輸入響應R為換路后從電容或電感看過去的等效電阻總結一階電容電路的零輸入響應其中il(0)為電感電流的初始值解：t<0時t=0時，由換路定律得則P206例6-10，求則該一階電容電路的零輸入響應為t=0時，外加激勵為零，只是電容的初始儲能作用，故時，電容電壓為零輸入響應其中τ＝RC

，R為換路后從電容看過去的等效電阻∴τ＝RC=12Ω*1F=12s10V+-+-cdab1F解：t<0時t=0時，由換路定律得則P206例6-10，根據置換定理（也可根據電容的VCR），如圖所示參考方向，得根據分流公式由KVL，得10V+-+-cdab1F根據置換定理（也可根據電容的根據分流公式由KVL，得10V+6-2零狀態響應定義：電路的初始狀態為零，僅由t≥0時的外加激勵所產生的響應。一、一階RC電路的零狀態響應t<0時，電路處于穩定狀態，t=0時，開關閉合，求t≥0時電容兩端的電壓。定性分析定量計算6-2零狀態響應定義：電路的初始狀態為零，僅由t≥0時

1)建立換路后的微分方程

2)解微分方程（一階線性非齊次微分方程）1)建立換路后的微分方程2)解微分方程（一階線性非

則原微分方程解的形式為由初始條件確定待定常數A表明1)uc從0按指數規律上升，一直到穩態值Us。2)當t=τ時，uc上升到穩態值的63％;當t=4τ時，uc上升到穩態值的98.2％。

則原微分方程解的形式為由初始條件確定待定常數A表明1)u4)微分方程通解中齊次方程解稱為固有響應，它的模式與輸入無關，其解的形式為，稱為暫態響應（固有響應）。3)τ=RC為電容充電時間常數，τ越小，電容充電過程越快，電路的暫態過程所用時間越短；反之，τ越大，電容充電越慢，電路的暫態過程所用時間越長。5)特解稱為強制響應，（或稱穩態響應）其形式與輸入形式相同。6)零狀態響應的比例性若外施激勵增大m倍，則零狀態響應也相應增大m倍。一階電容電路的零狀態響應電容電壓的穩態值4)微分方程通解中齊次方程解稱為固有響應，它的模式與輸入無二、一階RL電路的零狀態響應t<0時，電路處于穩定狀態，t=0時，開關閉合，求t≥0時電感的電流。定性分析定量計算解：

1)建立換路后的微分方程二、一階RL電路的零狀態響應t<0時，電路處于穩定狀態，t=

2)解微分方程（一階線性非齊次微分方程）

則原微分方程解的形式為由初始條件確定待定常數A則一階RL電路的零狀態響應2)解微分方程（一階線性非齊次微分方程）則原微分方程解表明1)iL從0按指數規律上升，一直到穩態值Us/R。3)當t=τ時，iL上升到穩態值的63％;當t=4τ時，iL上升到穩態值的98.2％。2)τ=L/R為時間常數，τ越小，電路的暫態過程所用時間越短；反之τ越大，電路的暫態過程所用時間越長。4)微分方程通解中齊次方程解稱為固有響應，它的模式與輸入無關，其解的形式為，稱為暫態響應（固有響應）。5)特解稱為強制響應，（或稱穩態響應）其形式與輸入形式相同。表明1)iL從0按指數規律上升，一直到穩態值Us/R。3)6)零狀態響應的比例性若外施激勵增大m倍，則零狀態響應也相應增大m倍。一階電感電路的零狀態響應電感電流的穩態值6)零狀態響應的比例性一階電感電路的零狀態響應電感電流的穩總結一階電容電路的零狀態響應其中iL(∞)為電感電流的穩態值，τ＝L/RR的確定其中uc(∞)為電容電壓的穩態值，τ＝RC一階電感電路的零狀態響應R為換路后從電容或電感看過去的戴維南等效電阻總結一階電容電路的零狀態響應其中iL(∞)為電感電流的穩態值

例6－3：如圖所示電路，在t=0時開關閉合，求iL(t)、i(t)，t≥0。

解：1）t<0時，開關打開，電路處于穩態根據換路定律換路后，僅有外電路提供能量，電路響應為零狀態響應換路后，電感電流的穩態值為R為換路后從電感看過去的戴維南等效電阻則例6－3：如圖所示電路，在t=0時開關閉合，求iL(t)、

則電感電流（一階RL電路的零狀態響應）為2)求電流i(t)

根據置換定理，將電感用電流為電流源替代，如圖所示利用網孔分析法解得則電感電流（一階RL電路的零狀態響應）為2)求電流i(t6-5線性動態電路的疊加原理一、完全響應：初始狀態不為零，同時又有外加激勵的作用，這時電路的響應稱為完全響應。全響應=零輸入響應+零狀態響應二、線性一階電路的疊加原理若初始時刻為t=0，對所有的時刻，有零輸入響應線性零狀態響應線性6-5線性動態電路的疊加原理一、完全響應：全響應=零輸入既有初始狀態，又有外激勵作用，則，電容電壓為全響應例：如圖所示電路設t=0時，開關由a投向b，且Uc(0)=U0

建立換路后的微分方程換路后的穩態值為該一階線性微分方程解的形式為由初始條件確定常數K則則全響應為既有初始狀態，又有外激勵作用，則，電討論：1)若Is=0，則為零輸入響應2)若U0=0，則為零狀態響應

3)電路的完全響應

零輸入響應零狀態響應穩態響應暫態響應討論：1)若Is=0，則為零輸入響應2)若U0=0，則為

完全響應為零輸入響應與零狀態響應之和，或強制響應（穩態響應）與固有響應（暫態響應）之和。這一結論稱為線性動態電路的疊加定理。注意非零初始狀態的動態元件的全響應不滿足疊加原理，即全響應并非激勵單獨作用時響應的總和。例6-12P211求響應uc(t)1)is(t)=2A，uc(0)=1V2)is(t)=3A，uc(0)=1V3)is(t)=5A，uc(0)=1V解：由題意可知，電容電壓的穩態值τ=RC=1s完全響應為零輸入響應與零狀態響應之和，或強制響應（穩

1）零輸入響應為零狀態響應為全響應為2）零輸入響應為零狀態響應為全響應為3）零輸入響應為零狀態響應為全響應為全響應并非激勵單獨作用時響應的總和。1）零輸入響應為零狀態響應為全響應為2）零輸入響應為例:如圖所示,開關閉合前,電路已處于穩態,t=0時,開關閉合,求,若12V電源改為24V電源,情況如何?解：開關閉合前，兩電源均對電容進行充電，直到電路達到穩態，即電容作開路處理，電容電壓具有初始值；開關閉合后36V電源作為外激勵對電路提供能量。電路響應為完全響應，根據疊加定理，可看作是零輸入響應和零狀態響應的和。零輸入和零狀態電路的時間常數一樣，是，R為換路后從電容看過去的戴維南等效電阻則例:如圖所示,開關閉合前,電路已處于穩態,t=0時,開關閉合如右圖所示，求電容電壓初始值由換路定律得僅初始狀態起作用，沒有外激勵，需要求出初始值1、零輸入響應則零輸入響應為2、零狀態響應初始狀態為零，僅外激勵作用，需要求出穩態值如右圖所示，求電容電壓初始值由換路定律得僅初始狀態起作用，沒如右圖所示，求電容電壓的穩態值則零狀態響應為則根據疊加定理，完全響應為12V電源只在換路前起作用，只會影響初始狀態，即對零狀態響應沒影響，只對零輸入有影響。如右圖所示，求電容電壓的穩態值則零狀態響應為則根據疊加定理，6-6三要素法本節將給出在直流輸入情況下，直接寫出動態電路完全響應表達式的一種簡單方法，即“三要素”法。（狀態變量和非狀態變量均可）所謂“三要素”即變量的初始值變量的穩態值時間常數τ條件：電路為一階電路；直流輸入。一、三要素法求變量完全響應公式一階動態電路任意變量的完全響應為：6-6三要素法本節將給出在直流輸入情況下，直接寫出動態畫出t=0-時等效電路，電容開路，電感短路。求出uc(0-)和iL(0-)。二、利用三要素公式求解步驟（1）求初始值y

(0+)（2）求穩態值（趨向值）y

(∞）畫出t趨于無窮大時等效電路（電路處于穩態）。電容開路，電感短路。求出y(∞）。根據換路定律，有uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。畫出t=0+時等效電路，電容用uc(0+)的電壓源代之；電感用iL(0+)的電流源代之。求出任意y

(0+)畫出t=0-時等效電路，電容開路，電感短路。求出uc(0-)（3）求時間常數τ電容：τ＝RC電感：τ＝L/RR為換路后從動態元件看過去的戴維南/諾頓等效電阻（4）代入公式即求出電路的完全響應。零輸入響應零狀態響應穩態響應暫態響應（3）求時間常數τ電容：τ＝RCR為換路后從動態元件看過去例6-16：如圖所示電路，t=0時開關由a投向b。試用三要素法求i(t)、iL(t)的表達式。假定換路前電路處于穩態。解：1)求iL(0+)及i(0+)

換路前電路已處于穩態，電感相當于短路，故得根據換路定律，得畫t=0+的等效電路（換路后，電感用電流源替換）可得例6-16：如圖所示電路，t=0時開關由a投向b。試用三要素2）求穩態值iL(∞)及i(∞)

由t=∞等效電路得3)求時間常數τ換路后戴維南等效電阻為則2）求穩態值iL(∞)及i(∞)由t=∞等效電路得3)得4)代入公式得4)代入公式例：6-17（含受控源）t<0時，Is=0；時，Is=2A，求i(t)解：1)求i(0+)先求狀態變量uc(0-)換路前電路處于穩態，電容開路，可得由KVL得根據換路定律，得畫t=0+的等效電路得2）求穩態值i(∞)

例：6-17（含受控源）t<0時，Is=0；時由t=∞等效電路得3)求時間常數τ求換路后戴維南等效電阻得含受控源，開路短路法求等效電阻由KVL得則由KCL得由t=∞等效電路得3)求時間常數τ求換路后戴維南等效電阻得4)代入公式得4)代入公式t06-3階躍響應沖激響應1、單位階躍函數的定義t＜0t＞02、延時單位階躍函數

t＜t0t＞t0t06-3階躍響應沖激響應1、單位階躍函數的定義

3、方波的表示一個方波信號可用兩個階躍信號表示4、單位階躍響應零狀態電路對單位階躍信號的響應稱為單位階躍響應。記為s(t)。若單位階躍響應為s(t)，則在延時單位階躍信號作用下響應應為s(t-t0)。此性質稱為響應的非時變性。3、方波的表示一個方波信號可用兩個階躍信號表示4、單位階躍如果輸入信號為分段常量信號，且初始狀態不為零，全響應的求解步驟為：1)求電路的零輸入響應；2)再求分段常量信號作用下電路的零狀態響應；3)根據疊加定理，完全響應為兩者的線性疊加。例6－5：求如圖所示零狀態RL電路在圖中所示脈沖電壓作用下的電流i(t)。已知：L=1H，R=1Ω如果輸入信號為分段常量信號，且初始狀態不為零，全響應的求解步

解：式中表示該式僅適用于t≥0，τ＝L/R＝1s。作用下的零狀態響應：

所以解：式中表示該式僅適用于t≥0，τ＝L/R＝1s。作用下的例：RC電路如圖所示，已知求電壓UC(t)。解：1)先求零輸入響應2)再求零狀態響應。-3V的直流電壓始終作用于電路，產生的響應為輸入由-3V的直流和在t＝0s時作用于電路的階躍信號組成。則在t＝0s時作用于電路的階躍輸入產生的響應為其中例：RC電路如圖所示，已知解：1)先求零輸入響應2)再

所以5、單位沖激函數的定義單位沖激函數的性質所以5、單位沖激函數的定義單位沖激函數的性質6、單位沖激響應單位沖激信號作用下的零狀態響應稱為單位沖激響應。記為h(t)。結論線性時不變電路的單位沖激響應是其階躍響應的導數6、單位沖激響應單位沖激信號作用下的零狀態響應稱為單位沖激響6-8正弦激勵的過渡過程和穩態一、正弦波隨時間按照正弦規律變化的電壓和電流稱為正弦電壓和電流，統稱正弦波。由三個參數確定以正弦電壓為例，其瞬時值為振幅、頻率和初相我國電力系統提供的正弦電壓f為50Hz二、穩態當描述動態電路的變量或為不隨時間變化的常量，或為隨時間而變化的周期量時，均稱電路進入了穩態。6-8正弦激勵的過渡過程和穩態一、正弦波隨時間按照正弦規設t=0時，正弦電壓源作用于電路，求正弦響應uc(t)。已知uc(0)=0求解方法與步驟：（1）列微分方程其解由穩態解和瞬態解兩部分組成。（2）穩態解即穩態響應，其形式由外激勵決定，是與外電源同一頻率的正弦函數，設為回代微分方程，由待定系數法得設t=0時，正弦電壓源求解方法與步驟：（1）列微分方程其解由（3）瞬態解即瞬態響應則瞬態響應為則正弦響應uc(t)為即為穩態響應。待定系數K由初始條件得：（3）瞬態解即瞬態響應則瞬態響應為則正弦響應uc(t)為即為則全響應（零狀態響應）為當電路進入穩態之后，響應將以與外施激勵頻率一致的正弦方式變化，該響應稱為正弦穩態響應（SSS）以上結論是在零狀態條件下得出，對于非零狀態也一樣零輸入響應零狀態響應穩態響應瞬態響應則全響應（零狀態響應）為當電路進入穩態之后，響應將以與外施激作業：P.233.6-3，6-8，6-20，6-23，6-28，6-37作業：P.233.第六章一階電路

重點2、一階電路的零輸入響應、零狀態響應和全響應的概念及求解；1、動態電路方程的建立及初始條件的確定；3、一階電路的“三要素”法。定義：只含有一個（或可等效為一個）動態元件的線性、非時變電路，其電路方程是一階線性常微分方程，這種用一階微分方程來描述的電路稱為一階電路。第六章一階電路重點2、一階電路的零輸入響應、零狀態響6-1分解方法在動態電路分析中的運用一、分解方法在電容電路的應用一階動態電路可用分解方法分析，整個電路可分解為一個單口網絡只含一個動態元件；另一個為電路中其它部分（線性含源單口網絡），可用戴維南定理（諾頓定理）簡化。有源電阻電路一個動態元件含源電阻網絡N1N2Cuc+-(a)+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)6-1分解方法在動態電路分析中的運用一、分解方法在電容根據KVL根據元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C+-uC(t)ROURO(t)i(t)+-isc(t)(c)C+-uC(t)GOi(t)根據KVL根據元件的VCR整理得同理+-uOC(t)(b)C二、分解方法在電感電路的應用（自行推導）對于一階電路，關鍵是求得電路的狀態變量——電容電壓和電感電流。統一一下：二、分解方法在電感電路的應用（自行推導）對于一階電路，關鍵是一、換路補充內容電路在一定條件下工作于相應的一種狀態。如果條件改變，例如電源的接入或斷開、開關的開啟或閉合、元件參數的改變等，電路會由原來狀態過渡到一種新的穩定狀態(簡稱穩態)。這種狀態變化過程稱為過渡過程或暫態過程，簡稱暫態。引起過渡過程的電路結構或元件參數的突然變化，統稱為換路。一、換路補充內容電路在一定條件下工作于相應的一種狀態。如果條設t=0時電路發生換路，并把換路前一瞬間記為0-，換路后一瞬間記為0+。根據電容、電感元件的伏安關系，如果在無窮小區間0-＜t＜0+內，電容電流iC和電感電壓uL為有限值，則：uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)它表明換路瞬間，若電容電流iC和電感電壓uL為有限值，則電容電壓uC和電感電流iL在該處連續，不會發生躍變。二、換路定律設t=0時電路發生換路，并把換路前一瞬間記為0-，換路后一瞬0ti過渡期為零電阻電路+-usR1R2（t=0）i三、過渡過程的定性分析0ti過渡期為零電阻電路+usR1R2（t=0）i三、過i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩定狀態：k未動作前，電路處于穩定狀態：電容電路k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一個穩定狀態過渡狀態新的穩定狀態t1USuct0?i有一過渡期i=0,uC=Usi=0,uuL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通電源后很長時間，電路達到新的穩定狀態，電感視為短路：k未動作前，電路處于穩定狀態：電感電路k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一個穩定狀態過渡狀態新的穩定狀態t1US/Rit0?uL有一過渡期uL=0,i=Us/Ri=0,uL四、變量初始值的計算如果電路在t=0時發生換路，根據換路定律，在換路瞬間uC和iL不發生躍變。但是，換路時其余電流、電壓，如iC、uL、iR、uR則可能發生躍變。這些變量的初始值可以通過計算0+等效電路求得。電路變量初始值的具體計算方法是：1)畫出t=t0-時刻的等效電路電容開路，求出uc(t0-)

電感短路，求出iL(t0-)2)畫出t=t0+時刻的等效電路電容以uc(t0+)的電壓源代替電感以iL(t0+)的電流源代替四、變量初始值的計算如果電路在t=0時發生換路，根據換路定律3)根據電路求出t=t0+時的各電流、電壓的初始值獨立電源取t=t0+時的值例：如圖所示電路，開關打開前，電路已處于穩態。t=0時，開關打開。求初始值ic(0+)，uL(0+)和iR1(0+)。解：1)求出開關打開前的電容電壓uc(0-)和電感電流iL(0-)。由于t＜0時，電路處于穩態，電路各處的電流、電壓為常量，因此，diL/dt=0，uL=0，電感看做短路，duC/dt=0，ic=0，電容看做開路。做出t=0-時的等效電路已知：3)根據電路求出t=t0+時的各電流、電壓的初始值獨立電源取由圖可得根據換路定律，有2)做出t=0+時的初始值等效電路。在t=0+瞬間，電容元件可用電壓等于uC(0+)的電壓源代替；電感元件可用電流等于iL(0+)的電流源代替。畫出t=0+的初始值等效電路如圖所示。由圖可得根據換路定律，有2)做出t=0+時的初始值等效電路。3)由0+等效電路可求得3)由0+等效電路可求得6－4零輸入響應定義：電路的激勵為零，只由電路的初始儲能引起的電路響應。在t＜0時，開關s1一直閉合，開關s2斷開，電路處于穩態，電容兩端電壓為U0。在t=0時，開關s1打開而開關s2同時閉合。求t≥0時電容兩端的電壓。一、一階RC電路的零輸入響應解：

1)求初始值t<0時由換路定律，得6－4零輸入響應定義：電路的激勵為零，只由電路的初始儲

0+等效電路如圖所示

則

2)建立微分方程特征方程為RCs+1=0解得s=-1/RC

解的形式為由t=0時，uc(t)=U0，得0+等效電路如圖所示則2)建立微分方程特征方程為所以：表明1、uc和i隨著時間t增加按指數規律衰減。2、τ＝RC的量綱為秒，稱為時間常數。其大小決定了電容充放電的快慢。時間常數τ越大，電容充放電的過程就越慢；反之τ越小，電容充放電的過程就越快。3、在電路換路時，電容電壓不能突變，而流過電容的電流可以躍變。所以：表明1、uc和i隨著時間t增加按指數規律衰減。2、τ＝4、理論上，t時，衰減到零，工程上取(4~5)作為衰減到零的時間。5、零輸入響應的比例性若初始狀態增大m倍，則零輸入響應也相應增大m倍。6、零輸入響應一階RC電路的零輸入響應，由其時間常數和初始值決定。電容電壓的初始值7、電路理論中，（微分方程的特征根）稱為固有頻率。4、理論上，t時，衰減到零，工程上取(4~5二、一階RL電路的零輸入響應t<0時，電路達到穩態，t=0時開關S1斷開，同時S2閉合，求t≥0時電感的電流。解：t<0時t=0時，由換路定律得列微分方程則二、一階RL電路的零輸入響應t<0時，電路達到穩態，t=0時解得解得表明1、

和

隨著時間t增加按指數規律衰減。2、τ＝L/R的量綱為秒，稱為時間常數。其大小決定了電感電流衰減的快慢。時間常數τ越大，衰減就越慢；反之τ越小，衰減就越快。3、在電路換路時，電感電流不能突變，而電感兩端的電壓可以躍變。表明1、和隨著時間t增加按指數規律衰減。4、理論上，t=時，衰減到零，工程上取(4~5)作為衰減到零的時間。5、零輸入響應的比例性若初始狀態增大m倍，則零輸入響應也相應增大m倍。6、零輸入響應一階RL電路的零輸入響應，由其時間常數和初始值決定。電感電流的初始值7、電路理論中，（微分方程的特征根）稱為固有頻率。4、理論上，t=時，衰減到零，工程上取(4~5總結一階電容電路的零輸入響應其中il(0)為電感電流的初始值，τ＝L/RR的確定其中uc(0)為電容電壓的初始值，τ＝RC一階電感電路的零輸入響應R為換路后從電容或電感看過去的等效電阻總結一階電容電路的零輸入響應其中il(0)為電感電流的初始值解：t<0時t=0時，由換路定律得則P206例6-10，求則該一階電容電路的零輸入響應為t=0時，外加激勵為零，只是電容的初始儲能作用，故時，電容電壓為零輸入響應其中τ＝RC

，R為換路后從電容看過去的等效電阻∴τ＝RC=12Ω*1F=12s10V+-+-cdab1F解：t<0時t=0時，由換路定律得則P206例6-10，根據置換定理（也可根據電容的VCR），如圖所示參考方向，得根據分流公式由KVL，得10V+-+-cdab1F根據置換定理（也可根據電容的根據分流公式由KVL，得10V+6-2零狀態響應定義：電路的初始狀態為零，僅由t≥0時的外加激勵所產生的響應。一、一階RC電路的零狀態響應t<0時，電路處于穩定狀態，t=0時，開關閉合，求t≥0時電容兩端的電壓。定性分析定量計算6-2零狀態響應定義：電路的初始狀態為零，僅由t≥0時

1)建立換路后的微分方程

2)解微分方程（一階線性非齊次微分方程）1)建立換路后的微分方程2)解微分方程（一階線性非

則原微分方程解的形式為由初始條件確定待定常數A表明1)uc從0按指數規律上升，一直到穩態值Us。2)當t=τ時，uc上升到穩態值的63％;當t=4τ時，uc上升到穩態值的98.2％。

則原微分方程解的形式為由初始條件確定待定常數A表明1)u4)微分方程通解中齊次方程解稱為固有響應，它的模式與輸入無關，其解的形式為，稱為暫態響應（固有響應）。3)τ=RC為電容充電時間常數，τ越小，電容充電過程越快，電路的暫態過程所用時間越短；反之，τ越大，電容充電越慢，電路的暫態過程所用時間越長。5)特解稱為強制響應，（或稱穩態響應）其形式與輸入形式相同。6)零狀態響應的比例性若外施激勵增大m倍，則零狀態響應也相應增大m倍。一階電容電路的零狀態響應電容電壓的穩態值4)微分方程通解中齊次方程解稱為固有響應，它的模式與輸入無二、一階RL電路的零狀態響應t<0時，電路處于穩定狀態，t=0時，開關閉合，求t≥0時電感的電流。定性分析定量計算解：

1)建立換路后的微分方程二、一階RL電路的零狀態響應t<0時，電路處于穩定狀態，t=

2)解微分方程（一階線性非齊次微分方程）

則原微分方程解的形式為由初始條件確定待定常數A則一階RL電路的零狀態響應2)解微分方程（一階線性非齊次微分方程）則原微分方程解表明1)iL從0按指數規律上升，一直到穩態值Us/R。3)當t=τ時，iL上升到穩態值的63％;當t=4τ時，iL上升到穩態值的98.2％。2)τ=L/R為時間常數，τ越小，電路的暫態過程所用時間越短；反之τ越大，電路的暫態過程所用時間越長。4)微分方程通解中齊次方程解稱為固有響應，它的模式與輸入無關，其解的形式為，稱為暫態響應（固有響應）。5)特解稱為強制響應，（或稱穩態響應）其形式與輸入形式相同。表明1)iL從0按指數規律上升，一直到穩態值Us/R。3)6)零狀態響應的比例性若外施激勵增大m倍，則零狀態響應也相應增大m倍。一階電感電路的零狀態響應電感電流的穩態值6)零狀態響應的比例性一階電感電路的零狀態響應電感電流的穩總結一階電容電路的零狀態響應其中iL(∞)為電感電流的穩態值，τ＝L/RR的確定其中uc(∞)為電容電壓的穩態值，τ＝RC一階電感電路的零狀態響應R為換路后從電容或電感看過去的戴維南等效電阻總結一階電容電路的零狀態響應其中iL(∞)為電感電流的穩態值

例6－3：如圖所示電路，在t=0時開關閉合，求iL(t)、i(t)，t≥0。

解：1）t<0時，開關打開，電路處于穩態根據換路定律換路后，僅有外電路提供能量，電路響應為零狀態響應換路后，電感電流的穩態值為R為換路后從電感看過去的戴維南等效電阻則例6－3：如圖所示電路，在t=0時開關閉合，求iL(t)、

則電感電流（一階RL電路的零狀態響應）為2)求電流i(t)

根據置換定理，將電感用電流為電流源替代，如圖所示利用網孔分析法解得則電感電流（一階RL電路的零狀態響應）為2)求電流i(t6-5線性動態電路的疊加原理一、完全響應：初始狀態不為零，同時又有外加激勵的作用，這時電路的響應稱為完全響應。全響應=零輸入響應+零狀態響應二、線性一階電路的疊加原理若初始時刻為t=0，對所有的時刻，有零輸入響應線性零狀態響應線性6-5線性動態電路的疊加原理一、完全響應：全響應=零輸入既有初始狀態，又有外激勵作用，則，電容電壓為全響應例：如圖所示電路設t=0時，開關由a投向b，且Uc(0)=U0

建立換路后的微分方程換路后的穩態值為該一階線性微分方程解的形式為由初始條件確定常數K則則全響應為既有初始狀態，又有外激勵作用，則，電討論：1)若Is=0，則為零輸入響應2)若U0=0，則為零狀態響應

3)電路的完全響應

零輸入響應零狀態響應穩態響應暫態響應討論：1)若Is=0，則為零輸入響應2)若U0=0，則為

完全響應為零輸入響應與零狀態響應之和，或強制響應（穩態響應）與固有響應（暫態響應）之和。這一結論稱為線性動態電路的疊加定理。注意非零初始狀態的動態元件的全響應不滿足疊加原理，即全響應并非激勵單獨作用時響應的總和。例6-12P211求響應uc(t)1)is(t)=2A，uc(0)=1V2)is(t)=3A，uc(0)=1V3)is(t)=5A，uc(0)=1V解：由題意可知，電容電壓的穩態值τ=RC=1s完全響應為零輸入響應與零狀態響應之和，或強制響應（穩

1）零輸入響應為零狀態響應為全響應為2）零輸入響應為零狀態響應為全響應為3）零輸入響應為零狀態響應為全響應為全響應并非激勵單獨作用時響應的總和。1）零輸入響應為零狀態響應為全響應為2）零輸入響應為例:如圖所示,開關閉合前,電路已處于穩態,t=0時,開關閉合,求,若12V電源改為24V電源,情況如何?解：開關閉合前，兩電源均對電容進行充電，直到電路達到穩態，即電容作開路處理，電容電壓具有初始值；開關閉合后36V電源作為外激勵對電路提供能量。電路響應為完全響應，根據疊加定理，可看作是零輸入響應和零狀態響應的和。零輸入和零狀態電路的時間常數一樣，是，R為換路后從電容看過去的戴維南等效電阻則例:如圖所示,開關閉合前,電路已處于穩態,t=0時,開關閉合如右圖所示，求電容電壓初始值由換路定律得僅初始狀態起作用，沒有外激勵，需要求出初始值1、零輸入響應則零輸入響應為2、零狀態響應初始狀態為零，僅外激勵作用，需要求出穩態值如右圖所示，求電容電壓初始值由換路定律得僅初始狀態起作用，沒如右圖所示，求電容電壓的穩態值則零狀態響應為則根據疊加定理，完全響應為12V電源只在換路前起作用，只會影響初始狀態，即對零狀態響應沒影響，只對零輸入有影響。如右圖所示，求電容電壓的穩態值則零狀態響應為則根據疊加定理，6-6三要素法本節將給出在直流輸入情況下，直接寫出動態電路完全響應表達式的一種簡單方法，即“三要素”法。（狀態變量和非狀態變量均可）所謂“三要素”即變量的初始值變量的穩態值時間常數τ條件：電路為一階電路；直流輸入。一、三要素法求變量完全響應公式一階動態電路任意變量的完全響應為：6-6三要素法本節將給出在直流輸入情況下，直接寫出動態畫出t=0-時等效電路，電容開路，電感短路。求出uc(0-)和iL(0-)。二、利用三要素公式求解步驟（1）求初始值y

(0+)（2）求穩態值（趨向值）y

(∞）畫出t趨于無窮大時等效電路（電路處于穩態）。電容開路，電感短路。求出y(∞）。根據換路定律，有uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。畫出t=0+時等效電路，電容用uc(0+)的電壓源代之；電感用iL(0+)的電流源代之。求出任意y

(0+)畫出t=0-時等效電路，電容開路，電感短路。求出uc(0-)（3）求時間常數τ電容：τ＝RC電感：τ＝L/RR為換路后從動態元件看過去的戴維南/諾頓等效電阻（4）代入公式即求出電路的完全響應。零輸入響應零狀態響應穩態響應暫態響應（3）求時間常數τ電容：τ＝RCR為換路后從動態元件看過去例6-16：如圖所示電路，t=0時開關由a投向b。試用三要素法求i(t)、iL(t)的表達式。假定換路前電路處于穩態。解：1)求iL(0+)及i(0+)

換