第5章有限元分析5.1引言

每一種自然現象的背后都有相應的物理規律(萬物皆規律)，對現象的描述可以借助相關的定理或定律表現為各種代數的、微分的、或積分的方程，這些方程通常稱為數學模型（控制方程）。對于很多的實際工程問題，推導并得到這些方程并不十分困難，卻很難從這些方程中獲得解析的數學解。對于這類實際工程問題的解決方案通常如下框圖所示：

第5章有限元分析5.1引言工程中的問題(力學、物理等)各種方程及相應的定解條件(邊界條件及初始條件)線性的、邊界規則的問題數值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規則的問題解析法5.1引言第5章有限元分析工程中的問題(力學、物理等)各種方程及相應的定解條件(邊界條第5章有限元分析5.1引言對于稍微復雜的振動系統，想借助相關的定理或定律得到其代數的、微分的、或積分的方程幾乎不可能，即想得到其控制方程很難。

有限元分析(FEA)是利用數學近似的方法對真實物理系統(幾何和載荷工況)進行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統。從而通過計算機得到其龐大的控制方程。第5章有限元分析5.1引言第5章有限元分析5.1引言有限元方法(FEM)是計算機問世以后迅速發展起來的一種分析方法。對于復雜系統，人們多采用數值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答，有限元方法就是一種應用十分廣泛的數值分析方法，也是工程科學的重要工具，其重要性僅次于數學。第5章有限元分析5.1引言第5章有限元分析幾何體載荷物理系統拉伸熱電磁5.2物理系統舉例第5章有限元分析幾何體5.3

有限元模型和離散方程建立真實系統有限元模型

有限元方法是處理連續介質問題的一種普遍方法，離散化是有限元方法的基礎。有限元模型是真實系統離散化、理想化的數學抽象。第5章有限元分析5.3有限元模型和離散方程建立真實系統有限元模型有

1建模方法

眾所周知，一個連續體有無限多個自由度(屬于無限維空間)，有限元方法則是將它轉化成一個有限自由度(屬于有限維空間)，建立有限元方程，求其近似解。由于利用了分片插值技術，連續體(區域)的形狀可以不受任何限制。而這一難題正是以前其他分析方法所難以克服的。建立有限元方程大體有三類方法：

(1)直接方法

(2)

變分方法

(3)加權殘值法

第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立1建模方法第5章有限元分析5.3有限元模

2自由度、節點和單元自由度:用于描述一個物理場的響應特性。自由度數（DOFs）：描述系統位形需要的獨立坐標數。（機械系統）

結構 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

方向 自由度結構自由度ROTZYROTYXROTXZ場變量：可以是標量，也可以是矢量。(最后處理的實際上都是標量)第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立2自由度、節點和單元結構

有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節點連接，并承受一定載荷。節點單元載荷載荷第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通

每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。

作為一個整體，單元形成了整體結構的數學模型。

信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。即通過公共節點的協調條件來完成從單元到整體的轉換。第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。信具有公共節點的單元之間存在信息傳遞

...AB...1node.分離但節點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞(需進行節點合并處理)....AB...2nodes第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立具有公共節點的單元之間存在信息傳遞...AB...1no

節點自由度是隨連接該節點所在單元類型變化的。JI三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZJKLI二維或軸對稱實體單元UX,UYPOMNKJIL三維實體熱單元TEMPLKI三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,JROTX,ROTY,ROTZIJ三維梁單元ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,POMNKJIL三維實體結構單元UX,UY,UZ第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立節點自由度是隨連接該節點所在單元類型變化的。JI※單元形函數是一種數學函數，規定了從節點DOF值到單元內所有點處DOF值的計算方法。因此，單元形函數提供了一種描述單元內部結果的“形狀”。（假設模態）※單元形函數描述的是給定單元的一種假定的特性。※單元形函數與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。※FEA僅僅求解節點處的DOF值。第5章有限元分析3形函數5.3

有限元模型和離散方程建立※單元形函數是一種數學函數，規定了從節點DOF值到單元內所有

二次曲線的線性近似(不理想結果)節點真實的二次曲線.單元.二次近似(接近于真實的二次近似擬合)(最理想結果)節點單元..第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立3形函數二次曲線的線性近似(不理想結果)節點真實的二次曲線.形函數的選取需遵循以下原則:

DOF值可以精確或不太精確地等于在節點處的真實解，但單元內的平均值與實際情況要吻合得很好。如果單元形函數不能精確描述單元內部的DOF，就不能很好地得到導出數據，因為這些導出數據是通過單元形函數推導出來的。當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數。第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立3形函數形函數的選取需遵循以下原則:第5章有限元分析5.3有限元形函數的選取需遵循原則:在選定單元類型并隨之確定了形函數的情況下，必須確保分析時有足夠數量的單元和節點來精確描述所要求解的問題。第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立3形函數形函數的選取需遵循原則:第5章有限元分析5.3有限元模型要用有限元方法的理論來解決實際問題離不開計算機(硬件)和程序(軟件)，大體要完成以下四方面的工作：數據儲存應用有限元方法求解實際問題時，在計算過程中要存貯大量數據(原始、中間和最終結果)。對于一個中等規模以上的算題，數據量相當可觀。例如，一個不到500個節點的板殼結構(中等規模)的算題，要占用大約18MB的外存空間，在處理規模稍大的算題時一定要有足夠的外存空間。數據管理為了充分利用存貯空間，編制程序時要注意到存貯空間的利用率。第5章有限元分析5.4

有限元程序要用有限元方法的理論來解決實際問題離不開計算機(硬件)和程序

數值計算計算成本主要取決于數值運算的時間，盡量選用先進的計算方法，提高求解效率。迭代步長。前處理及后處理為了減少人工準備原始數據的工作量，程序要有盡可能完善的“自動生成“功能。即由程序產生一部分原始數據。盡管如此，對于中等規模以上的算題來說，準備原始數據仍然是一件繁重的工作。數據是否沒有差錯，往往決定著一次計算的成敗。分析計算結果也是一件繁重的工作，一個好的程序應有較完善的后處理功能。例如，將計算結果繪制成圖形或曲線。

第5章有限元分析5.4

有限元程序數值計算第5章有限元分析5.4有限元程序單元分析形成總體方程解方程輸出結果第5章有限元分析5.5有限單元方法處理問題的基本步驟單元分析形成總體方程解方程輸出結果第5章有限元分析5.51將給定的區域離散化為單元的集合(i)用預先選定的單元類型來創建有限元網格；(ii)給單元及節點編號；(iii)創建幾何特性(例如：坐標系，橫截面的面積等)。2對有限元網格中現存的各種典型單元進行單元分析(i)對各典型單元創建與其微分方程等價的變分形式；(ii)推導或選擇單元插值函數,計算相關的單元矩陣。第5章有限元分析5.5有限單元方法處理問題的基本步驟1將給定的區域離散化為單元的集合第5章有限元分析5.53將單元方程合并為總體方程組(i)給出局部自由度與總體自由度之間的關系(基本變量在單元之間的連續性或單元之間的連接性)；(ii)給出局部坐標系中的力分量與總體坐標系中的力分量之間的關系；(iii)依據疊加性質及以上兩步對單元方程進行合并。第5章有限元分析5.5有限單元方法處理問題的基本步驟3將單元方程合并為總體方程組第5章有限元分析5.5有限單提問與解答環節QuestionsAndAnswers提問與解答環節22謝謝聆聽·學習就是為了達到一定目的而努力去干,是為一個目標去戰勝各種困難的過程,這個過程會充滿壓力、痛苦和挫折LearningIsToAchieveACertainGoalAndWorkHard,IsAProcessToOvercomeVariousDifficultiesForAGoal謝謝聆聽LearningIsToAchieveAC23第5章有限元分析5.1引言

每一種自然現象的背后都有相應的物理規律(萬物皆規律)，對現象的描述可以借助相關的定理或定律表現為各種代數的、微分的、或積分的方程，這些方程通常稱為數學模型（控制方程）。對于很多的實際工程問題，推導并得到這些方程并不十分困難，卻很難從這些方程中獲得解析的數學解。對于這類實際工程問題的解決方案通常如下框圖所示：

第5章有限元分析5.1引言工程中的問題(力學、物理等)各種方程及相應的定解條件(邊界條件及初始條件)線性的、邊界規則的問題數值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規則的問題解析法5.1引言第5章有限元分析工程中的問題(力學、物理等)各種方程及相應的定解條件(邊界條第5章有限元分析5.1引言對于稍微復雜的振動系統，想借助相關的定理或定律得到其代數的、微分的、或積分的方程幾乎不可能，即想得到其控制方程很難。

有限元分析(FEA)是利用數學近似的方法對真實物理系統(幾何和載荷工況)進行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統。從而通過計算機得到其龐大的控制方程。第5章有限元分析5.1引言第5章有限元分析5.1引言有限元方法(FEM)是計算機問世以后迅速發展起來的一種分析方法。對于復雜系統，人們多采用數值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答，有限元方法就是一種應用十分廣泛的數值分析方法，也是工程科學的重要工具，其重要性僅次于數學。第5章有限元分析5.1引言第5章有限元分析幾何體載荷物理系統拉伸熱電磁5.2物理系統舉例第5章有限元分析幾何體5.3

有限元模型和離散方程建立真實系統有限元模型

有限元方法是處理連續介質問題的一種普遍方法，離散化是有限元方法的基礎。有限元模型是真實系統離散化、理想化的數學抽象。第5章有限元分析5.3有限元模型和離散方程建立真實系統有限元模型有

1建模方法

眾所周知，一個連續體有無限多個自由度(屬于無限維空間)，有限元方法則是將它轉化成一個有限自由度(屬于有限維空間)，建立有限元方程，求其近似解。由于利用了分片插值技術，連續體(區域)的形狀可以不受任何限制。而這一難題正是以前其他分析方法所難以克服的。建立有限元方程大體有三類方法：

(1)直接方法

(2)

變分方法

(3)加權殘值法

第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立1建模方法第5章有限元分析5.3有限元模

2自由度、節點和單元自由度:用于描述一個物理場的響應特性。自由度數（DOFs）：描述系統位形需要的獨立坐標數。（機械系統）

結構 位移熱

溫度電 電位流體壓力磁 磁位

方向 自由度結構自由度ROTZYROTYXROTXZ場變量：可以是標量，也可以是矢量。(最后處理的實際上都是標量)第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立2自由度、節點和單元結構

有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節點連接，并承受一定載荷。節點單元載荷載荷第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通

每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。

作為一個整體，單元形成了整體結構的數學模型。

信息是通過單元之間的公共節點傳遞的。即通過公共節點的協調條件來完成從單元到整體的轉換。第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。信具有公共節點的單元之間存在信息傳遞

...AB...1node.分離但節點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞(需進行節點合并處理)....AB...2nodes第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立具有公共節點的單元之間存在信息傳遞...AB...1no

節點自由度是隨連接該節點所在單元類型變化的。JI三維桿單元(鉸接)UX,UY,UZJKLI二維或軸對稱實體單元UX,UYPOMNKJIL三維實體熱單元TEMPLKI三維四邊形殼單元UX,UY,UZ,JROTX,ROTY,ROTZIJ三維梁單元ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,POMNKJIL三維實體結構單元UX,UY,UZ第5章有限元分析2自由度、節點和單元5.3

有限元模型和離散方程建立節點自由度是隨連接該節點所在單元類型變化的。JI※單元形函數是一種數學函數，規定了從節點DOF值到單元內所有點處DOF值的計算方法。因此，單元形函數提供了一種描述單元內部結果的“形狀”。（假設模態）※單元形函數描述的是給定單元的一種假定的特性。※單元形函數與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。※FEA僅僅求解節點處的DOF值。第5章有限元分析3形函數5.3

有限元模型和離散方程建立※單元形函數是一種數學函數，規定了從節點DOF值到單元內所有

二次曲線的線性近似(不理想結果)節點真實的二次曲線.單元.二次近似(接近于真實的二次近似擬合)(最理想結果)節點單元..第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立3形函數二次曲線的線性近似(不理想結果)節點真實的二次曲線.形函數的選取需遵循以下原則:

DOF值可以精確或不太精確地等于在節點處的真實解，但單元內的平均值與實際情況要吻合得很好。如果單元形函數不能精確描述單元內部的DOF，就不能很好地得到導出數據，因為這些導出數據是通過單元形函數推導出來的。當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數。第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立3形函數形函數的選取需遵循以下原則:第5章有限元分析5.3有限元形函數的選取需遵循原則:在選定單元類型并隨之確定了形函數的情況下，必須確保分析時有足夠數量的單元和節點來精確描述所要求解的問題。第5章有限元分析5.3

有限元模型和離散方程建立3形函數形函數的選取需遵循原則:第5章有限元分析5.3有限元模型要用有限元方法的理論來解決實際問題離不開計算機(硬件)和程序(軟件)，大體要完成以下四方面的工作：數據儲存應用有限元方法求解實際問題時，在計算過程中要存貯大量數據(原始、中間和最終結果)。對于一個中等規模以上的算題，數據量相當可觀。例如，一個不到500個節點的板殼結構(中等規模)的算題，要占用大約18MB的外存空間，在處理規模稍大的算題時一定要有足夠的外存空間。數據管理為了充分利用存貯空間，編制程序時要注意到存貯空間的利用率。第5章有限元分析5.4

有限元程序要用有限元方法的理論來解決實際問題離不開計算機(硬件)和程序

數值計算計算成本主要取決于數值運算的時間，盡量選用先進的計算方法，提高求解效率。迭代步長。前處理及后處理為了減少人工準備原始數據的工作量，程序要有盡可能完善的“自動生成“功能。即由程序產生一部分原始數