學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（六)數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式［即時達(dá)標(biāo)對點(diǎn)練]題組1數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1．已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(2n,n＋1)，那么這個數(shù)列是（)A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．?dāng)[動數(shù)列D．常數(shù)列解析：選A法一：∵an＋1＝eq\f(2（n＋1）,n＋2）,∴an＋1－an＝eq\f（2（n＋1）,n＋2)－eq\f(2n,n＋1）＝eq\f(2（n＋1)2－2n（n＋2）,（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(2,（n＋1）（n＋2）)〉0，∴{an}是遞增數(shù)列．法二：∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正，又an＋1＝eq\f(2（n＋1),n＋2)，∴eq\f(an＋1，an）＝eq\f（\f（2（n＋1）,n＋2)，\f（2n，n＋1）)＝eq\f（2(n＋1)2，2n（n＋2）)＝eq\f(n2＋2n＋1,n2＋2n)>1，∴｛an}是遞增數(shù)列．2．已知數(shù)列{an}滿足a1>0，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,3）(n∈N*），則數(shù)列{an｝是________數(shù)列（填“遞增”或“遞減")．解析:由已知a1>0,an＋1＝eq\f（1，3）an(n∈N＊)，得an〉0（n∈N＊)．又an＋1－an＝eq\f(1,3）an－an＝－eq\f(2,3）an<0，所以{an}是遞減數(shù)列．答案：遞減3。如果數(shù)列{an｝為遞增數(shù)列，且an＝n2＋λn（n∈N＊），則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．解析:因?yàn)閧an｝為遞增數(shù)列，所以an＋1>an。即（n＋1)2＋λ(n＋1）>n2＋λn。∴λ>－2n－1.即λ〉－3,故實(shí)數(shù)λ>－3。答案：（－3，＋∞)題組2數(shù)列的最大（小）項(xiàng)4．?dāng)?shù)列{an｝中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()A．103B．108eq\f（1，8）C．103eq\f(1,8）D．108解析：選D根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2－\f（29,2）n))＋3＝－2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4）））eq\s\up12（2）＋3＋eq\f(29×29，8)。所以n＝7時,an＝108為最大值．5．設(shè)an＝－n2＋10n＋11，數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第m項(xiàng)的和最大,則m的值是________．解析：令an＝－n2＋10n＋11≥0,則0〈n≤11。∴a1>0,a2〉0，…，a10〉0，a11＝0。∴m＝10或11.答案：10或11題組3由遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)6．?dāng)?shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式是(）A．a(chǎn)n＋1＝an＋n，n∈N*B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．a(chǎn)n＋1＝an＋（n＋1），n∈N＊，n≥2D．a(chǎn)n＝an－1＋（n－1）,n∈N*，n≥2解析：選B逐項(xiàng)驗(yàn)證可知B選項(xiàng)合適．7．?dāng)?shù)列｛an}滿足a1＝2,an＋1an＋an＋1－an＋1＝0，則a2019＝（）A．2B.eq\f（1，3）C．－eq\f（1,2)D．－3解析：選C由an＋1an＋an＋1－an＋1＝0得an＋1＝eq\f（an－1，an＋1)，由a1＝2得a2＝eq\f(2－1，2＋1）＝eq\f（1，3）,a3＝eq\f(\f（1，3）－1，\f（1,3)＋1)＝－eq\f（1，2），a4＝eq\f(－\f(1，2）－1，－\f(1,2）＋1)＝－3，a5＝eq\f(－3－1,－3＋1)＝2,…，∴{an｝是周期為4的數(shù)列，而2019＝504×4＋3，∴a2019＝a3＝－eq\f(1，2).故選C。8．已知數(shù)列{an｝的第1項(xiàng)是2,以后的各項(xiàng)由公式an＝eq\f(an－1,1－an－1）(n＝2，3,4,…）給出，寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式．解：可依次代入項(xiàng)數(shù)進(jìn)行求值．a(chǎn)1＝2，a2＝eq\f（2，1－2)＝－2，a3＝eq\f（－2,1－（－2））＝－eq\f(2，3）,a4＝eq\f(－\f(2,3），1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（2，3)）))＝－eq\f(2，5)，a5＝eq\f(－\f（2,5），1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2，5)）)）＝－eq\f（2,7）.即數(shù)列｛an}的前5項(xiàng)為2,－2，－eq\f(2，3），－eq\f（2，5）,－eq\f(2，7）。也可寫為eq\f(－2，－1），eq\f（－2,1），eq\f（－2，3），eq\f(－2，5），－eq\f(2，7).即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇數(shù)，所以an＝－eq\f（2,2n－3）（n∈N*）．題組4由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式9．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，則{an}的通項(xiàng)公式為（)A．a(chǎn)n＝3n＋2B．a(chǎn)n＝3n－2C．a(chǎn)n＝3n－1D．a(chǎn)n＝3n＋1解析：選C因?yàn)閍1＝2，an＋1－an－3＝0，所以an－an－1＝3,an－1－an－2＝3，an－2－an－1＝3，…a2－a1＝3,以上各式相加，則有an－a1＝(n－1)×3，所以an＝2＋3（n－1）＝3n－1。10．已知數(shù)列｛an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(2an，an＋2)（n∈N*），試探究數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解:法一：將n＝1，2,3，4依次代入遞推公式得a2＝eq\f（2，3）,a3＝eq\f（2，4)，a4＝eq\f（2,5)。又a1＝eq\f(2，2)，∴可猜想an＝eq\f（2,n＋1）。則有an＋1＝eq\f(2，n＋2），將其代入遞推關(guān)系式驗(yàn)證成立．∴an＝eq\f(2，n＋1）（n∈N＊）．法二：∵an＋1＝eq\f（2an,an＋2)，∴an＋1an＝2an－2an＋1.兩邊同除以2an＋1an，得eq\f(1，an＋1）－eq\f（1，an)＝eq\f(1，2）.∴eq\f(1，a2)－eq\f（1，a1）＝eq\f（1,2)，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2）＝eq\f（1,2），…，eq\f(1，an）－eq\f（1，an－1）＝eq\f(1，2）.把以上各式累加得eq\f(1,an）－eq\f(1,a1）＝eq\f（n－1，2)。又a1＝1，∴an＝eq\f(2，n＋1）。故數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n＋1）(n∈N＊）．[能力提升綜合練］1．在數(shù)列｛an｝中，a1＝eq\f(1,3），an＝(－1）n·2an－1(n≥2)，則a5等于（)A．－eq\f（16，3)B。eq\f(16，3）C．－eq\f(8,3）D.eq\f(8，3)解析:選B對n依次取2，3,4，5得a2＝（－1)2·2×eq\f（1,3)＝eq\f（2，3），a3＝－eq\f（4,3)，a4＝－eq\f(8，3）,a5＝eq\f(16，3)。2．已知數(shù)列{an｝滿足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1（n≥1)，則當(dāng)n≥1時，an等于（）A．2nB。eq\f(n（n＋1），2)C．2n－1D．2n－1解析:選C由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，得an－1＝a0＋a1＋…＋an－2（n≥2),兩式相減得，an＝2an－1，即eq\f(an,an－1)＝2(n≥2)，則an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f（a3,a2）·…·eq\f(an，an－1)＝a1·2n－1,又a1＝a0＝1，∴an＝2n－1（n≥2)．又∵a1＝1也適合,∴an＝2n－1。3．已知數(shù)列｛an｝對任意的p，q∈N＊滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，則a10＝()A．－165B．－33C．－30D解析：選C∵ap＋q＝ap＋aq，∴a4＝2a2＝－12,a8＝2a4a10＝a2＋a8＝－30。4．已知an＝eq\f（n－\r（2017),n－\r(2016））（n∈N*），則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是()A．a(chǎn)1，a100 B．a(chǎn)100，a44C．a(chǎn)45，a44 D．a(chǎn)44，a45解析：選Can＝eq\f(n－\r(2017),n－\r（2016)）＝eq\f(n－\r(2016）＋\r（2016)－\r（2017），n－\r(2016）)＝1＋eq\f（\r(2016）－\r(2017),n－\r(2016)）（n∈N*)．當(dāng)n≤44時,數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且an〉1;當(dāng)n≥45時，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且an<1.∴數(shù)列｛an｝的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是a45，a44.故選C。5．已知數(shù)列｛an}，an＝an＋m（a<0，n∈N*），滿足a1＝2，a2＝4,則a3＝________．解析：∵eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(2＝a＋m，,4＝a2＋m，)）∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a＝－1,，m＝3,)）∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2。答案：26．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝7,a9＝8，且(n－1）an＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥3），則a2等于________．解析：由（n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥3)，得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an，兩式相減，得nan＋1－（n－1)an＝an。∴n≥3時，nan＋1＝nan，即an＋1＝an.又a9＝8，∴a3＝8.又2a3＝a1＋a2，a1＝7∴a2＝2a3－a1答案:97．設(shè)f（x）＝log2x－logx4（0<x<1),又知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an滿足f(2an)＝2n.(1）求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（2）試判斷數(shù)列｛an｝的增減性．解:(1)∵f(x）＝log2x－logx4(0〈x〈1），f（2an）＝2n，∴l(xiāng)og22an－log2an4＝2n，由換底公式，得log22an－eq\f（log24，log22an）＝2n，即an－eq\f(2,an)＝2n,∴aeq\o\al（2，n）－2nan－2＝0，∴an＝n±eq\r（n2＋2）。①由0〈x<1，有0<2an<1，∴an<0.②由①②得an＝n－eq\r（n2＋2），此即為數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式．(2)eq\f（an＋1,an)＝eq\f(（n＋1）－\r(（n＋1）2＋2),n－\r(n2＋2)）＝eq\f(n＋\r(n2＋2)，(n＋1)＋\r（(n＋1）2＋2）)〈1，∵an〈0，∴an＋1〉an，∴數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列．8．已知數(shù)列｛an}中,an＝1＋eq\f（1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求數(shù)列｛an｝中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．解：(1)∵an＝1＋eq\f(1，a＋2n－1)（n∈N*，a∈R，且a≠0），a＝－7,∴an＝1＋eq\f（1,2n－9）。結(jié)合函