雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:雙曲線知識(shí)點(diǎn)指導(dǎo)教師：鄭軍雙曲線的定義：第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（（為常數(shù)））這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)．要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a＜|F1F2|.當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.第二定義：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（a＞0，b＞0）(焦點(diǎn)在x軸上)；（a＞0，b＞0）(焦點(diǎn)在y軸上)；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.a不一定大于b.與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是雙曲線方程也可設(shè)為：例題：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)，求雙曲線的軌跡方程。點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系：點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部點(diǎn)在雙曲線的外部點(diǎn)在雙曲線上直線與雙曲線：（代數(shù)法）設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得時(shí)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，，或k不存在時(shí)直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；時(shí)，存在時(shí)，若，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若，時(shí)，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；若不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；3.過定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系：設(shè)直線過定點(diǎn)，雙曲線1).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部時(shí)：，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；或或不存在時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)；2).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上時(shí)：或，直線與雙曲線只交于點(diǎn)；直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；（）或（）或或不存在，直線與雙曲線在一支上有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，或不存在，直線與雙曲線只交于點(diǎn)；或時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)；直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；3).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線外部時(shí)：當(dāng)時(shí)，，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；或或不存在，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)時(shí)，時(shí)，過點(diǎn)的直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線只交于一點(diǎn)；幾何法：直線與漸近線的位置關(guān)系例：過點(diǎn)的直線和雙曲線，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程。雙曲線與漸近線的關(guān)系：若雙曲線方程為漸近線方程：若雙曲線方程為（a＞0，b＞0）漸近線方程：若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為,.若雙曲線與有公共漸近線則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）雙曲線與切線方程：雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.雙曲線與直線相切的條件是.雙曲線的性質(zhì)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PPPP第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。PPPPPP范圍，，對(duì)稱軸軸，軸；實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為對(duì)稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0）(,0)(0,,)(0，)離心率1)，，e越大則雙曲線開口的開闊度越大準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為漸近線方程()()共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長(zhǎng)通徑：過雙曲線上一點(diǎn)的切線或利用導(dǎo)數(shù)或利用導(dǎo)數(shù)七、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則。通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)。若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。特別地，焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解，例：直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則=_____________八、焦半徑公式：雙曲線（a＞0，b＞0）上有一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)在左支上時(shí),當(dāng)在右支上時(shí),注：焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，九、等軸雙曲線：（a＞0，b＞0）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線；則：1.；2.離心率；3.兩漸近線互相垂直，分別為y=；4.等軸雙曲線的方程，；5.等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)。十、共軛雙曲線：1.定義：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線．2.方程：3.性質(zhì)：共軛雙曲線有共同的漸近線；共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)共圓．它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。（a>0;b>0）的焦點(diǎn)為與，且p為曲線上任意一點(diǎn)，。則的面積焦點(diǎn)三角形面積公式：雙曲線點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.目錄雙曲線知識(shí)點(diǎn) 21雙曲線定義： 22.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 23.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是： 24.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 25.曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 26曲線的內(nèi)外部 37曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 38雙曲線的切線方程 39線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式 3高考題型解析 4題型一：雙曲線定義問題 4題型二：雙曲線的漸近線問題 4題型三：雙曲線的離心率問題