第四章方差分析方差分析是通過實驗數據對影響產品的質量、產量的多個可控因素做統計分析，分清因素的主次及水平組合形式，求最優組合，以提高產品質量、產量的一種數值分析方法．1、單因素方差分析設影響指標的因素僅有一個，設為A因素，該因素有a個水平（狀態）A1，A2，…，Aa，在第n個水平下，分別作ni次實驗，i＝1，2，…，a，其樣本值Xij~N（μ，εij~N（0，）．），i＝1，2，…，a，或Xij＝μi+εij，（1）方差分析主要解決1°H0：μ1＝μ2＝…＝μa（各水平下的均值相等）H1：至少有一對均值不相等，μi≠μj，i≠j，i，j＝1，2，…，a．其方法是若組間（各水平）平方和大，組內（隨機誤差）平方和小，即F值大，可拒絕H0，否則接受H0，表明A因素影響不顯著．2°估計μ1，μ2，…μa及方差．（2）1°對樣本值xij，i＝1，2，…，a，j＝1~ni，＝n，共有n個樣本值，總體均值＝（＝＝，即所有試驗數據之和），＝，又表示第i個水平下的樣本值之和，i＝1，2，…，a．＝＝表示第i水平下的樣本均值，則＝或ni＝.2°平方和稱ST＝為總的離差平方和，則ST＝－＝－－＝＝－－．稱SA＝為因素A的組間平方和，SA＝－＝－－＝＝＝－－－－．稱SE＝為組內誤差平方和，平方和分解ST＝＝++＝SA+SE+＝SA+SE．3°統計分析由~，得~；令Si＝，則~．由-分布的可加性，得~＝；SE＝ST－SA，由-分布的可加性，得~＝從而F＝~對0＜α1，拒絕域為F＞，又由E＝E＝n－a，得E＝方差的無偏估計量為＝．例1人造纖維的抗拉強度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是有疑問的．現確定棉花的百分比的5個水平：15%，20%，25%，30%，35%．每個水平中測5個抗拉強度的值，列于下表，問抗拉強度是否受摻入棉花百分比的影響？（α＝0.01）表1棉花的百分比（i）抗拉強度觀察值（j）127345114977881157951111728111889202512141819221529301923083571111150154＝＝376．解：設抗拉強度為＝+，i，j＝1，2，3，4，5．原假設H0：對立假設H1＝＝＝＝，≠，至少有一對i，j．這里a＝5，＝5，（i＝1，2，…，5），n＝25．ST＝SA＝－＝++…+－＝636.96．＝475.76．－＝－SE＝ST－SA＝636.96－475.76＝161.20．ST，SA，SE的自由度分別為24，4，20．MSA＝＝118.94，MSE＝＝8.06．方差分析表如表2．表2方差來源因素A誤差E平方和475.76161.20639.96自由度4均方118.948.06F比118.94/8.06＝14.762024總和T已給出α＝0.01，查表得Fα（α－1，n－α）＝＝4.43．這里F＝14.76＞4.43＝，故拒絕原假設H0，接受H1：≠．說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強度有影響．方差分析的基本原理是對影響產品指標的多個因素在各個水平下的試驗數據，檢查其組間平方和，如SA、SB等，若組間平方和大，說明該因素在各水平下對指標影響顯著，即該因素較重要；其次要考慮組間平方和或誤差平方和SE，由于平方和相互獨立，且服從-分布，由均方（除以自由度所得）構成F檢驗法稱之為方差分析．對顯著性水平0＜α1，查表求Fα（α－1，n－α），拒絕域為F＞Fα（α－1，n－α），一般若F值是Fα值的1~5倍，則因素有一定顯著性；若是5~10倍，則顯著性明顯；10倍以上為高度顯著，分別用*、**、***表示．2、雙因素方差分析（無交互作用）設總體X~N（μ，），μ是考察的指標，影響指標的因素有兩個，分別是A、B，每個因素有若干水平A1，A2，…Aa，B1，B2，…Bb，每個組合（Ai，Bj）做一次試驗i＝1，2，…，a，j＝1，2，…，b，其樣本值Xij~N（μ，σ2）或Xij＝μi+εij，ε~N（0，σ2）．ij令μ＝為總體的均值，記＝，＝，μij＝μ＋αi＋βj＋εij，其中αi表示Ａ因素第i個水平的效應αi＝μi－μ，則＝－aμ＝－＝0．βi表示B因素第j個水平的效應，同理＝0．對于實驗數據或樣本值Xij，令＝為所有試驗數據之和，＝為所有數據的平均值，則＝＝按行累加按列累加＝＝則總的離差平方和ST＝＝－且~數據共有a×b個．因素A的離差平方和SA＝＝－，~；因素B的離差平方和SB＝＝－，~．誤差平方和SE＝ST－SA－SB（誤差平方和），~，且記ab－1＝(a－1)(b－1)+a－1+b－1（自由度）．MSA＝，MSB＝分別為SA、SB的均方和．例2使用4種燃料，3種推進器做火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗得火箭射程（單位：海里）列在表3．表3BjB1B2B3AiA1A2A3A458249160175824325625417095822394653516392487204817971548170218276874＝x..試分析各種燃料（Ai）與各種推進器（Bj）對火箭射程有無顯著影響？（α＝0.05）解這是雙因素試驗，不考慮交互作用．設火箭射程為＝+++，i＝1，2，3，4，j＝1，2，3．原假設HA0：＝＝＝＝0，HB0：＝＝＝0．對立假設HA1：≠0，至少一個i，HB1：≠0，至少一個j．這里a＝4，b＝3，ab＝12．ST＝SA＝＝－＝+…+－－＝111342，＝415759，－－SB＝＝－＝22385，SE＝ST－SA－SB＝111342－415759－22385＝73198．ST，SA，SB，SE的自由度分別為11，3，2，6．火箭射程方差分析表如表4．表4方差來源燃料A推進器B誤差E平方和157592238573198111342自由度3均方5232F比0.430.92211192.512199.76總和T11給出的α＝0.05，查出F0.05(3，6)＝4.76，F0.05(2，6)＝5.14，因為FA＝0.43＜4.76，FB＝0.92＜5.14，所以接受原假設HA0、HB0，故不同的燃料、不同的推進器對火箭射程均無顯著影響．說明：這個例子中所得的結論，好像與常理不符．這里所說的燃料推進器指的是現有的試驗的幾種，并不指另外的燃料和推進器．3、有交互作用的雙因素方差分析兩個因素A、B及交互效應稱之為交互作用，記為A×B，A有a個水平，B有b個水平，組合（Ai，Bj）作n≥2次試驗，試驗數據共有abn個．例3對例2中燃料（A）和推進器（B）的每種組合（Ai，Aj）做試驗兩次得火箭射程如表5所示，試分析燃料（A），推進器（B）和它們的交互作用（A×B）對火箭的射程有沒有顯著影響？（α＝0.05）表5BjB1B2B3AiA1A2A3A4582526491428601583758715468456241254150570973258251045536536085164843924074874143961334329653424346613198＝x...解這是雙因素考慮交互作用的試驗．設火箭射程為＝+++，i＝1，2，3，4，j＝1，2，3，k＝1，2．原假設HA0：HB0：＝＝＝＝＝0，＝＝0，HAB0：＝0，i＝1，2，3，4，j＝1，2，3．備擇假設HA1：≠0，至少一個i，HB1：≠0，至少一個j，HAB1：≠0，至少有一對i，j．這里a＝4，b＝3，n＝2，abn＝24．ST＝＝－++…++－＝263830，SA＝＝－－＝26168，SB＝－＝－＝37098，SA×B＝－―SA―SB＝－－26168－37098＝176869，SE＝ST－SA－SB－SA×B＝263830－26168－37098－176869＝23695．火箭射程方差分析表如表6．表6方差來源因素A平方和26168自由度3均方8723F比FA＝4.4237098218549294781975FB＝9.39FA×B＝15.93因素B交互作用A×B誤差E總和T1768692369561223263830對