指數平滑法實驗實驗目的：掌握用指數平滑法對時序的平滑過程并進行相關的預測。實驗內容：指數平滑法知識準備：指數平滑法是另一種計算時間序列長期趨勢的方法，是加權平均的一種特殊形式。指數平滑法是布朗(RobertG.Brown)所提出，是在移動平均法基礎上發展起來的一種時間序列分析預測法，是最常用的一種預測方法，特別適用于中短期預測。1、單指數平滑法單指數平滑通常適用于不可預測的向上或向下趨勢的預測。設觀測序列小丁2,…,匕p為加權系數，其計算公式如下：TOC\o"1-5"\h\z￡="+(1-a)￡ (0<a<1) (43)t t t—1現對(43)式進行遞推，則(43)式可寫成：￡=oX(1-a)i￡ (44)t t-ii=0(44)式表明￡是全部歷史數據的加權平均，加權系數分別為a，ta(1-a),a(1-a)2，…；由于加權系數呈指數函數衰減，加權平均又能消除或減弱隨機干擾的影響，所以(43)式稱為指數平滑。根據實踐經驗，a的實際取值范圍一般以0.1?0.3之間為宜。如何進一步確定a的最佳取值，通常要結合理論分析和模型對比的方法來進行。單指數平滑的預測公式如下：TOC\o"1-5"\h\z人 人￡T+k=￡T (45)2、雙指數平滑雙指數平滑是對一次指數平滑的再平滑，當觀測數據有清楚的趨勢并可能包括未來向上運動預測的信息時采用此法預測。其表達式如下：a， 、，￡ =2S-D+ (S-D)k(46)T+kTT1-aTT(46)其中，(47)D=aS+（1—a）D1 （48）其中：0<a<1,St是單指數平滑序列，2是二次指數平滑序列。雙指數平滑的預測公式如下：另外，由于指數平滑公式是遞推計算公式，所以必須確定初始值S0,D0。初始值實質上是序列起始點之前所有歷史數據的加權平均值，但在實際工作中，由于獲得歷史數據多少的不同，往往采用經驗方法來確定。因而可以通過在最初預測時，選擇較高的a值來減少由初始值選擇不當所造成的預測偏差，從而使預測模型調整到當前水平。Holt-Winters法也是指數平滑中的一種，它適用于對具有季節影響的線性增長趨勢的序列進行預測。這種方法計算截距（常數項）、趨勢系數（斜率）和季節影響的各個遞推值。其可分為乘法、加法及無季節模型。3、Holt-Winters乘法模型這種方法適用于序列具有線性趨勢和乘法季節變化。其利用三個方程，其中每一個方程式都用于平滑模型的三個組成部分（平穩的、趨勢的、季節的），它包含三個參數（從0?1）和一個追加的季節性方程式，其基礎方程式如下：TOC\o"1-5"\h\zS=a工+(1—a)(S+b) (0<a<1) (49)tI t—1 t—1t—Lb=丫(Sss1)+(1—y)b1 (0<7<1) (50)I=P3+(1—P)I(0<隈1) (51)tS tLt式中，L為季節的長度(每年的月數或季數)；I為季節修正系數。利用其預測的公式如下：y =(S+bk)I (52)T+k TTT+k—L4、Holt-Winters加法模型這種方法適用于序列具有線性趨勢和加法季節變化。其基礎方程如下:TOC\o"1-5"\h\zS=a(X—IL)+(1—a)(S]+b1)(0<a<1) (53)b=丫(S-S1)+(1-丫)b1 (0<丫<1) (54)I=P(xtsSt)+(1-P)IL (0<0<1) (55)利用其預測如下：f=S+bk+1 (56)T+k TT T+k-L其中IT+k-L用樣本數據最后一年的季節因子。5、Holt-Winters 無季節模型這種方法適用于序列具有線性趨勢但無季節變化。其基礎方程如下：TOC\o"1-5"\h\zS=ox+(1-a)(S1+b1)(0<a<1) (57)b=丫(S-S1)+(1-丫)b1 (0<Y<1) (58)利用其預測如下：f=S+bk (59)T+k TT采用Holt-Winters方法的一個重要問題是如何確定a,P,y的值，以使均方差達到最小。雖然有一些方法可以利用非線性最佳算法求得最佳參數值，但通常確定a,P,y值的最佳方法仍是反復試驗法。實驗背景：現獲得某企業2000年至2005年各季的銷售量（單位：萬元）資料如下：362385432341382409498387473513582474544582 681557628707773592 627725854661要求采用指數平滑法預測2006年第二個季度的銷售量。實驗步驟：點擊Proc/ExponentialSmoothing,打開指數平滑對話框，如圖9.15所示：Smoothingmethod-復選框：選擇平滑方法，包括一Single（單指數平滑）、口0處1?（雙指數平滑）、Holt-Winters-Noseasonal（無季節Holt-Winters模型）、Ho1t-Winters-Additive（Ho1t-Winters加法模型）及Holt-WintersMultiplicative（Holt-Winters乘法模型）。Smoothingparameters復選框：確定平滑系數，既可以選擇系統自動估計也可以人工輸入具體的平滑系數。系統自動估計時是按誤差平方和達到最小原則自動生成平滑系數；如人工輸入，應確保所有的平滑系數在0-1之間，否則系統會自動估計。Smoothingseries:用于確定平滑后的序列名，系統自動會在原序列名后加sm來指定平滑后的序列名，用戶也可以自己輸入新的序列名。Estimationsample:確定估計樣本區間。用戶必須指定預測的樣本區間，默認值產當前工作文件的樣本區間。Cycleforseasonal:確定季節循環數。系統默認值為每年12個月或4個季度），用戶也可以改變每年的季節數。其允許預測不規則間距的數據。點擊View/graph/line,打開圖形對話框，如圖9.16所示：

——SALES圖9.16在本例中，銷售量的走向具有明顯的線性趨勢和季節性。因此在平滑方法中分別選擇雙指數平滑和Holt-Winters乘法模型進行相關預測。在預測前，首先須調整樣本區間，因此回到主窗口，雙擊Range、Sample,打開調整樣本區間對話框，如圖9.17所示：圖9.17本例中，在End中輸入2006即可。然后在SmoothingExponential對話中，分別選擇Double和Holt-Winters-Multiplicative進行平滑預測，在雙指數平滑法下平滑系數選擇系統自動生成，平滑后的序列名分別為salef1；Holt-Winters-Multiplicative下平滑系數a=0.2，p=0.1，y=0.05，平滑后的序列名為salesf2,季節循環數按系統默認，最后點擊OK,得到以下結果如圖9.18、9.19所示：Datf>O3/O8/O0Time:15:39Sample:2000Q12005Q4Includedobservations:24Method:DoubleExponentialOriginalSeries:SALESForecastSeries:SALESF1Parameters:Alpha0.0300SumofSquaredResiduals101916.9RootMeanSquaredError65,16546EndofPeriodLevels:Mean729.7410Trend15,64021圖9.18上圖表明，系統按照誤差平方和達到最小生成的平滑系數為0.038,SumofSquaredResiduals（殘差平方和）為101916.9，RootMeanSquaredError（均方誤）為65.17。tjate:03/08/08Time:15:40Sample:2000Q12005Q4Includedobservations:24Method:Holt-WintersMultiplicativeSeasonalOriginalSeries:SALESForecastSeries:SALESF2Parameters:Alpha0.2000Beta0.1000Gamma0.0500SumofSquaredResiduals12203.35RootMeanSquaredError22,62313EndofPeriodLevels:Mean754.8032Trend17,79222Seasonals:2005Q10.9657352005Q21.0223592005Q31.1397992005Q40.072107圖9.19上圖中，SumofSquaredResiduals（殘差平方和）為12283.35，RootMeanSquaredError（均方誤）為22.62。這兩種方法下各自的預測序列如圖9.20所示：obs

2000Q1\SALESF12000Q22000Q32000Q42001Q12001Q22001Q32001Q42002Q12002Q22002Q32002Q42003Q12003Q22003Q32003Q4353.1154368.9512385.3442404.0857414.5569427.2565440.9956460.4263470.0298485.3315502.5140523.6733535.1343550.9712568.5048萩電2Q5SALESF2342.6683384.2839448.3476355.4064407.4748441.3075501.7771396.7801453.2635498.4390577.8021456.3478526.6233576.1927663.1582525.3785S604.9759 607.6651法下629065年第二季度銷售量為761.02Holt-