由遞推公式求通項公式的常用方法由數列的遞推公式求通項公式是高中數學的重點問題，也是難點問題，它是歷年高考命題的熱點題。對于遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。方法一：累加法形如an+1－an＝f(n)（n＝2,3,4,…）,且f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后利用這種方法求解。例1：（07年北京理工農醫類）已知數列{an}中，a1＝2,an＋1＝an＋cn(c是常數，n＝1,2,3,…)且a1,a2,a3成公比不為1的等比數列（1）求c的值（2）求{an}的通項公式解：（1）a1,a2,a3成公比不為1的等比數列（2）由（1）知，將n＝1,2,…,n－1,分別代入將上面n－1個式子相加得an－a1＝2(1＋2＋3＋…＋n－1)＝n2－n又a1＝2,an＝n2－n＋2方法二：累乘法形如eq\f(an+1,an)＝g(n)（n＝2,3,4…），且f(1)f(2)…f(n－1)可求，則用累乘法求an.有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例2：設{an}是首項為1的正項數列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…)，求它的通項公式。解：由題意知a1=1,an＞0(n＝1,2,3…)由(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0得(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0因為an＞0，則an＋1＋an≠0，所以eq\f(an+1,an)=eq\f(n,n＋1),將n＝1,2,…,n－1,分別代入得eq\f(a2,a1)=eq\f(1,2)eq\f(a3,a2)=eq\f(2,3)……eq\f(an,an－1)=eq\f(n－1,n)將上面n－1個式子相乘得，eq\f(an,a1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×…×eq\f(n－1,n)又a1=1，則an＝eq\f(1,n)點評：本題先由已知求出遞推公式，化成了eq\f(an+1,an)＝g(n)的類型，再利用累乘法求通項公式。方法三：構造新數列法構造新數列法：將遞推關系經過適當的恒等變形轉化為特殊數列的遞推關系（等差數列、等比數列、常數列或等差數列和等比數列的求和形式），以下類型均采用這種解法。類型一:an＋1＝Aan＋B(A,B∈R,A≠0)線性遞推關系當A≠0，B＝0時，an＋1＝Aan是以A為公比的等比數列；當A≠0，B≠0時，an＋1＝Aan＋B可變形為an＋1＋eq\f(B,A－1)＝A（an＋eq\f(B,A－1)），此時就構造出了{an＋eq\f(B,A－1)}這樣一個以a1＋eq\f(B,A－1)為首項，以A為公比的新的等比數列，從而求出an。例3：（07年全國理科卷）已知數列{an}中，a1＝2,an＋1＝（eq\r(2)－1）（an＋2）n＝1,2,3,…，求{an}的通項公式。解：由題設：an＋1＝（eq\r(2)－1）（an＋2）可變形為an＋1－eq\r(2)=（eq\r(2)－1）（an－eq\r(2)）所以數列{an－eq\r(2)}是首項為2－eq\r(2)公比為eq\r(2)－1的等比數列，則an－eq\r(2)＝eq\r(2)（eq\r(2)－1）n即{an}的通項公式為an＝eq\r(2)[（eq\r(2)－1）n＋1]類型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數)方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以為首相以為公比的等比數列。方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。可見對于同一個題型的構造的新數列類型可能不唯一，所以要注意巧妙構造。例4：（07年唐山二摸）在數列{an}中，a1＝eq\f(1,6)，an＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)·eq\f(1,3n)(n∈n*,n≥2),求{an}的通項公式。解：由an＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)·eq\f(1,3n)可變形為an+eq\f(1,3n)＝eq\f(1,2)(an＋eq\f(1,3n-1)),則數列{an+eq\f(1,3n)}是以為a1+eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)首項以eq\f(1,2)為公比的等比數列,根據等比數列的通項公式得an+eq\f(1,3n)＝（eq\f(1,2)）n因此an＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,3n)類型三：an＋2＝pan＋1＋qan(其中p,q均為常數)方法：先把原遞推公式轉化為an＋2－san＋1=t(an＋1－san)，其中s,t滿足eq\b\lc\{(\a\al(s＋t＝p,s·t＝－q))，再利用等比數列來求解。例5：已知數列{an}中,a1=1,a2=2,an＋2＝eq\f(2,3)an＋1＋eq\f(1,3)an,求{an}的通項公式。解：由an＋2＝eq\f(2,3)an＋1＋eq\f(1,3)an可轉化為an＋2－san＋1=t(an＋1－san)即an＋2＝（s＋t）an＋1－s·tan,∴eq\b\lc\{(\a\al(s＋t＝eq\f(2,3),s·t＝－eq\f(1,3)))解得eq\b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－eq\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\al(s＝－eq\f(1,3),t＝1))這里不妨選用eq\b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－eq\f(1,3)))（當然也可以選用eq\b\lc\{(\a\al(s＝－eq\f(1,3),t＝1))）an＋2－an＋1=－eq\f(1,3)(an＋1－an)所以{an＋1－an}是以a2－a1＝1為首項,－eq\f(1,3)為公比的等比數列，所以an＋1－an＝(－eq\f(1,3))n-1再用累加法an－a1＝(－eq\f(1,3))0＋(－eq\f(1,3))1+…＋(－eq\f(1,3))n-2＝eq\f(1－(－eq\f(1,3))n-1,1＋eq\f(1,3))又a1=1，因此an＝eq\f(7,4)－eq\f(3,4)(－eq\f(1,3))n-1上面給大家介紹了由遞推公式求通項公式常用的三種方法（累加法、累乘法和構造新數列法）以及幾種典型類型題。構造新數列法比較簡捷，但如果觀察不到結構的特殊性，就想不到構造的新數列，所以仔細觀察結構的特征是運用這種方法解決求通項公式的問題的關鍵所在。如果構造新數列難度較大時也可采用迭代法求通項公式，迭代法即根據遞推公式循環代入，一直代到首項為止，上面這些類型的問題大都也可采用此種方法求解。有時由遞推公式求通項公式還可以用猜想歸納法，即利用數列的遞推公式求出前幾項，根據前幾項猜想出通項公式，然后運用數學歸納法證明其正確性。需要說明的是以上這些方法都有一定的局限性，求解時要注意靈活運用。配套練習：1、已知數列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝an＋eq\f(1,n2＋n),求an。2、（04年唐山二摸）已知數列{an}滿足a1＝1，2n-1an＝an－1(n∈N,n≥2)，求an。3、（06年福建卷）已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋