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橢圓的標準方程與性質(zhì)橢圓的標準方程與性質(zhì)橢圓的標準方程與性質(zhì)資料僅供參考文件編號:2022年4月橢圓的標準方程與性質(zhì)版本號:A修改號:1頁次:1.0審核:批準:發(fā)布日期:橢圓的標準方程與性質(zhì)教學(xué)目標:1了解橢圓的實際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用;2掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì).高考相關(guān)點:在高考中所占分數(shù):13分考查出題方式:解答題的形式,而且考查方式很固定,涉及到的知識點有:求曲線方程,弦長,面積,對稱關(guān)系,范圍問題,存在性問題。涉及到的基礎(chǔ)知識1.引入橢圓的定義在平面內(nèi)與兩定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|=2c)的點的軌跡叫做橢圓.這兩定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù):有以下3種情況(1)若a>c,則集合P為橢圓;(2)若a=c,則集合P為線段;(3)若a<c,則集合P為空集.2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|=2c離心率e=eq\f(c,a)∈(0,1)a,b,c的關(guān)系c2=a2-b2題型總結(jié)類型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1:如圖所示,一圓形紙片的圓心為O,F(xiàn)是圓內(nèi)一定點,M是圓周上一動點,把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設(shè)CD與OM交于點P,則點P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【解析】根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線.可推斷出,進而可以知道結(jié)果為定值,進而根據(jù)橢圓的定義推斷出點P的軌跡【答案】根據(jù)題意知,CD是線段MF的垂直平分線.,(定值),又顯然,根據(jù)橢圓的定義可推斷出點P軌跡是以F、O兩點為焦點的橢圓.所以A選項是正確的練習(xí)1:已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓C上的一點,且eq\o(PF,\s\up8(→))1⊥,若△PF1F2的面積為9,則b=________.【解析】由題意的面積∴故答案為:【答案】3練習(xí)2:已知F1,F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)+eq\f(y2,9)=1的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點,在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為()A.6 B.5 C.4 D.3【解析】由橢圓方程知,橢圓的長軸,則周長為16,故第三邊長為6.所以正確答案為A.【答案】A類型二求橢圓的標準方程例2:在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么橢圓C的方程為________.【解析】設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a >b>0),由e=eq\f(\r(2),2),知eq\f(c,a)=eq\f(\r(2),2),故eq\f(b2,a2)=eq\f(1,2).由于△ABF2的周長為|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,故a=4.∴b2=8,∴橢圓C的方程為eq\f(x2,16)+eq\f(y2,8)=1.【答案】eq\f(x2,16)+eq\f(y2,8)=1練習(xí)1:設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+eq\f(y2,b2)=1(0<b<1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為________.【答案】x2+3y2/2=1類型三橢圓的幾何性質(zhì)例3:如圖,在平面直角坐標系xOy中,A1,A2,B1,B2為橢圓的四個頂點,F(xiàn)為其右焦點,直線A1B2與直線B1F相交于點T,線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點,則該橢圓的離心率為________.【解析】直線A1B2的方程為eq\f(x,-a)+eq\f(y,b)=1,直線B1F的方程為eq\f(x,c)+eq\f(y,-b)=1,二者聯(lián)立,得T(eq\f(2ac,a-c),eq\f(b(a+c),a-c)),則M(eq\f(ac,a-c),eq\f(b(a+c),2(a-c)))在橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上,∴,c2+10ac-3a2=0,e2+10e-3=0,解得e=2eq\r(7)-5.【答案】2eq\r(7)-5練習(xí)1:已知A、B是橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)和雙曲線eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的公共頂點.P是雙曲線上的動點,M是橢圓上的動點(P、M都異于A、B),且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))+eq\o(BP,\s\up6(→))=λ(eq\o(AM,\s\up6(→))+eq\o(BM,\s\up6(→))),其中λ∈R,設(shè)直線AP、BP、AM、BM的斜率分別記為k1、k2、k3、k4,k1+k2=5,則k3+k4=________.【解析】設(shè)出點P、M的坐標,代入雙曲線和橢圓的方程,再利用已知滿足及其斜率的計算公式即可求出.【答案】∵A,B是橢圓和雙曲線的公共頂點,∴(不妨設(shè))A(-a,0),B(a,0).設(shè)P(x1,y1),M(x2,y2),∵,其中λ∈R,∴(x1+a,y1)+(x1-a,y1)=λ[(x2+a,y2)+(x2-a,y2)],化為x1y2=x2y1.∵P、M都異于A、B,∴y1≠0,y2≠0.∴.由k1+k2==5,化為,(*)又∵,∴,代入(*)化為.k3+k4==,又,∴,∴k3+k4===-5.故答案為-5.類型四直線與橢圓的位置關(guān)系例4:(2014·四川卷)已知橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦點為F(-2,0),離心率為eq\f(\r(6),3).(1)求橢圓C的標準方程;(2)設(shè)O為坐標原點,T為直線x=-3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積.【解析】(1)根據(jù)已知條件求得和的值,于是可得的值,即得到橢圓的標準方程;(2)設(shè)出點坐標和直線和的方程,將其與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)邊角關(guān)系得到平行四邊形底邊的長和對應(yīng)的高,代入面積的表達式即可得到結(jié)論。【答案】(1)由已知可得,,,所以。又由,解得,所以橢圓的標準方程是。(2)設(shè)點的坐標為,則直線的斜率。當時,直線的斜率,直線的方程是。當時,直線的方程是,也符合的形式。設(shè),,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,得。消去,得。其判別式,所以,,。因為四邊形是平行四邊形,所以,即。所以,解得。此時,四邊形的面積。練習(xí)1:(2014·陜西卷)已知橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)經(jīng)過點(0,eq\r(3)),離心率為eq\f(1,2),左、右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).(1)求橢圓的方程;(2)若直線l:y=-eq\f(1,2)x+m與橢圓交于A,B兩點,與以F1F2為直徑的圓交于C,D兩點,且滿足eq\f(|AB|,|CD|)=eq\f(5\r(3),4),求直線l的方程.【解析】(1)根據(jù)橢圓上的一點和離心率建立方程,求出橢圓方程中的參數(shù)。(2)根據(jù)圓心到直線的距離求出的長度,建立直線和橢圓的方程組求出的長度,根據(jù)和的關(guān)系求出?!敬鸢浮坑深}設(shè)知解得,,,所以橢圓的方程為。(2)由題設(shè),以為直徑的圓的方程為,所以圓心到直線的距離,由得。所以。設(shè),,由得。由求根公式可得,。所以,由得,解得,滿足。所以直線的方程為或。類型五圓錐曲線上點的對稱問題例5:橢圓E經(jīng)過點A(2,3),對稱軸為坐標軸,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率e=eq\f(1,2),其中∠F1AF2的平分線所在的直線l的方程為y=2x-1.(1)求橢圓E的方程;(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點若存在,請找出;若不存在,說明理由【解析】(1)由定義法代入即可得答案。(2)假設(shè)存在直線,先設(shè)出直線方程代入,與橢圓方程聯(lián)立后得到矛盾,即可?!敬鸢浮浚?)設(shè)橢圓E的方程為+=1,由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.∴橢圓方程具有形式+=1.將A(2,3)代入上式,得+=1,解得c=2,∴橢圓E的方程為+=1.(2)解法一:假設(shè)存在這樣的兩個不同的點B(x1,y1)和C(x2,y2),∵BC⊥l,∴kBC==-.設(shè)BC的中點為M(x0,y0),則x0=,y0=,由于M在l上,故2x0-y0-1=0.①又B,C在橢圓上,所以有+=1與+=1.兩式相減,得+=0,即+=0.將該式寫為·+··=0,并將直線BC的斜率kBC和線段BC的中點表示代入該表達式中,得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.②①×2-②得x0=2,y0=3,即BC的中點為點A,而這是不可能的.∴不存在滿足題設(shè)條件的點B和C.解法二:假設(shè)存在B(x1,y1),C(x2,y2)兩點關(guān)于直線l對稱,則l⊥BC,∴kBC=-.設(shè)直線BC的方程為y=-x+m,將其代入橢圓方程+=1,得一元二次方程3x2+4=48,即x2-mx+m2-12=0.則x1與x2是該方程的兩個根.由韋達定理得x1+x2=m,于是y1+y2=-(x1+x2)+2m=,∴B,C的中點坐標為.又線段BC的中點在直線y=2x-1上,∴=m-1,得m=4.即B,C的中點坐標為(2,3),與點A重合,矛盾.∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點.練習(xí)1:(2014·湖南)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a<b),原點O為AD的中點,拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過C,F(xiàn)兩點,則=________.【解析】由題可得C(),F(),因為C,F在拋物線上,代入拋物線可得,故填?!敬鸢浮肯乱恢v講解范圍,面積類型的題。隨堂檢測1.(2015年高考福建卷)已知橢圓的右焦點為.短軸的一個端點為,直線交橢圓于兩點.若,點到直線的距離不小于,則橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A2.已知橢圓E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為________.【答案】eq\f(x2,18)+eq\f(y2,9)=13.橢圓T:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=eq\r(3)(x+c)與橢圓T的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________.【答案】eq\r(3)-14.已知雙曲線x2-eq\f(y2,3)=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則eq\o(PA1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))的最小值為__________【答案】-25.(2014·包頭測試與評估)已知橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1的左頂點為A,左焦點為F,點P為該橢圓上任意一點;若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2,離心率e=eq\f(1,2),則eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(FP,\s\up8(→))的取值范圍是________.【答案】[0,12]6.已知橢圓C1:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦點為F,上頂點為A,P為C1上任一點,MN是圓C2:x2+(y-3)2=1的一條直徑,與AF平行且在y軸上的截距為3-eq\r(2)的直線l恰好與圓C2相切.(1)求橢圓C1的離心率;(2)若eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(PN,\s\up8(→))的最大值為49,求橢圓C1的方程.【答案】(1)由題意可知直線l的方程為bx+cy-(3-)c=0,因為直線l與圓C2:x2+(y-3)2=1相切,所以d==1,即a2=2c2,從而e=.(2)設(shè)P(x,y),圓C2的圓心記為C2,則+=1(c>0),又·=(+)·(+)=-=x2+(y-3)2-1=-(y+3)2+2c2+17(-c≤y≤c).①當c≥3時,(·)max=17+2c2=49,解得c=4,此時橢圓方程為+=1;②當0<c<3<時,(·)max=-(-c+3)2+17+2c2=49,解得c=±5-3但c=-5-3<0,且c=5-3>3,故舍去.綜上所述,橢圓C1的方程為+=1.課下作業(yè)基礎(chǔ)鞏固1.以橢圓兩焦點為直徑端點的圓,交橢圓于四個不同點,順次連結(jié)這四個點和兩個焦點,恰好圍成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率等于()A. B. C.- D.-1【答案】C2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點,橢圓上有一點P與這兩個焦點張成90度的角,且∠PF1F2>PF2F1,若橢圓離心率為,則∠PF1F2:∠PF2F1為()A

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