學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時分層作業(yè)（十一)直線與平面垂直(建議用時：60分鐘）[合格基礎(chǔ)練］一、選擇題1．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不確定B[一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．］2．直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定D［直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．]3．已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩條對角線AC、BD的關(guān)系是（)A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交C［空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)不共面，∴AC與BD必為異面直線．取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC,由AB＝AD＝BC＝CD得OA⊥BD,OC⊥BD，∴BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC,故選C.］4．已知ABCD。A1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯誤的是(）A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1D［正方體中由BD∥B1D1，易知A正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，從而BD⊥AC1，即B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C,因此AC1⊥平面CB1D1，即C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．故選D.]5．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α,垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH,則需增加的一個條件是(）A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FHB［因?yàn)镋G⊥平面α，PQ?平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,則由PQ?平面β,得EF⊥PQ。又EG與EF為相交直線,所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.]二、填空題6．如圖所示,平面α∩β＝CD，EA⊥α,垂足為A，EB⊥β,垂足為B,則CD與AB的位置關(guān)系是________．CD⊥AB［∵EA⊥α,CD?α,根據(jù)直線和平面垂直的定義,則有CD⊥EA.同理，∵EB⊥β,CD?β，則有EB⊥CD。又EA∩EB＝E,∴CD⊥平面AEB.又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB.]7．如圖所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數(shù)有________．4［eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC，，BC?平面ABC)）?eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(PA⊥BC，,AC⊥BC,,PA∩AC＝A)）?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.]8．設(shè)l，m，n為三條不同的直線,α為一個平面,給出下列命題：①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α,n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m,m∥n,l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.其中正確命題的序號為________．①③④[①顯然正確;對②，只有當(dāng)m,n相交時,才有l(wèi)⊥α，故②錯誤；對③,由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正確；對④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n,故④正確．]三、解答題9．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE。［證明］∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE,∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF。又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE。10．如圖所示，四邊形ABB1A1為圓柱的軸截面(過圓柱軸的截面）,C是圓柱底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)．求證:AC⊥平面BB1C。[證明]因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1為圓柱的軸截面,所以BB1⊥底面ABC。因?yàn)锳C?底面ABC，所以BB1⊥AC。因?yàn)锳B為底面圓的直徑,所以∠ACB＝90°,所以BC⊥AC。又因?yàn)锽B1∩BC＝B，BB1?平面BB1C，BC?平面BB1C,所以AC⊥平面BB1C.[等級過關(guān)練]1．正方體ABCD。A1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動，并且總保持AP⊥BD1，則動點(diǎn)P的軌跡是()A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段A[如圖，由于BD1⊥平面AB1C，故點(diǎn)P一定位于B1C上．]2．已知直線m,n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個 B．至多一個C．有一個或無數(shù)個 D．不存在B［若異面直線m、n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在．]3．已知平面α，β和直線m，給出下列條件:①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β。當(dāng)滿足條件________時，有m⊥β.②④[若m⊥α，α∥β時,有m⊥β,故填②④.］4．如圖，在直四棱柱ABCD。A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件________時,有A1C⊥B1D1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種即可,不必考慮所有可能的情形）BD⊥AC［要找底面四邊形ABCD所滿足的條件，使A1C⊥B1D1,可從結(jié)論A1C⊥B1D1入手，∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，∴A1C⊥BD。又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1?平面A1AC，A1C?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC.(此題答案不唯一)．]5。如圖所示，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn),AN⊥PM，N為垂足．(1）求證：AN⊥平面PBM;（2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.[證明］(1)∵AB為⊙O的直徑,∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.又∵PA