第四節隨機事件的概率[備考方向要了然]考什么怎么考1.隨機事件的概率是高考的必考內容，主要觀察互斥1.認識隨機事件發生的不確定性和頻事件的概率公式以及對峙事件的求法為主，其中對峙率的牢固性，認識概率意義以及頻率事件的概率是“正難則反”思想的詳盡應用，在高考與概率的差異．中常觀察．2.認識兩個互斥事件的概率加法公2.多以選擇和填空的形式觀察，有時也浸透在解答題式.中，屬簡單題，如2012江蘇T6等.[歸納·知識整合]1．事件的分類2．頻率和概率(1)在相同的條件S下重復n次實驗，觀察某一事件A可否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比率fn(A)＝nnA為事件A出現的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，若是隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)牢固在某個常數上，把這個常數記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．[研究]1.概率和頻率有什么差異和聯系？提示：頻率隨著試驗次數的變化而變化，概率倒是一個常數，它是頻率的科學抽象．當試驗次數越來越大時，頻率也越來越向概率湊近，只要次數足夠多，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率．3.事件的關系與運算定義符號表示包括關系若是事件A發生，則事件B必然發生，這時稱事件B包括事B?A(或A?件A(或稱事件A包括于事件B)B)相等關系若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等A＝B并事件(和事若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，稱此事件A∪B(或A＋件)為事件A與事件B的并事件(或和事件)B)交事件(積事若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事A∩B(或AB)件)件為事件A與事件B的交事件(或積事件)互斥事件若A∩B為不能能事件，那么事件A與事件B互斥A∩B＝?對峙事件若A∩B為不能能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與A∩B＝?且A事件B互為對峙事件∪B＝U[研究]2.互斥事件和對峙事件有什么差異和聯系？提示：互斥事件和對峙事件都是針對兩個事件而言的．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生；而對峙事件則是必有一個發生，但不能夠同時發生．所以兩個事件互斥但未必對峙；反之兩個事件對峙則它們必然互斥．4．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：[0,1]．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不能能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式若是事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．若事件A與B互為對峙事件，則

A∪B為必然事件．

P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[自測·牛刀小試

]1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：

A1、A2是對峙事件．那么

(

)A．甲是乙的充分但不用要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件剖析：選B對峙事件必然互斥，互斥事件不用然對峙．2．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對峙的兩個事件是()A．最少有1個白球，都是白球B．最少有1個白球，最少有1個紅球C．恰有1個白球，恰有2個白球D．最少有1個白球，都是紅球剖析：選CA、B中的事件可同時發生，不是互斥事件，D為對峙事件．3．從某班學生中任意找出一人，若是該同學的身高小于160cm的概率為0.2，該同學的身高在[160,175]的概率為0.5，那么該同學的身高妙過175cm的概率為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8剖析：選B由對峙事件的概率可求該同學的身高妙過175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3.4．某城市2012年的空氣質量狀況以下表所示：污介入數T3060100110130140概率P1117211063301530其中污介入數T≤50時，空氣質量為優；50<T≤100時，空氣質量為良；100<T≤150時，空氣質量為略微污染．該城市2012年空氣質量達到良或優的概率為()31A.5B.18015C.19D.6剖析：選A由表知空氣質量為優的概率為1，空氣質量為良的概率為1＋1＝3＝1106362.故113空氣質量為優或良的概率為10＋2＝5.1，乙獲勝的概率是1，則乙不輸的概率是________．5．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是23剖析：“乙不輸”包括“兩人和棋”和“乙獲勝”這兩個事件，并且這兩個事件是互斥的，故“乙不輸”的概率為1152＋3＝6.答案：56隨機事件間的關系[例

1]

從裝有

5只紅球，

5只白球的袋中任意取出

3只球，判斷以下每對事件可否為互斥事件，可否為對峙事件．(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；(2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中最少有1只白球”；(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中最少有1只紅球”．[自主解答]任取3只球，共有以下4種可能結果：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不能能同時發生，是互斥事件，但有可能兩個都不發生，故不是對峙事件．(2)“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不能能同時發生，是互斥事件，可能同時不發生，故不是對峙事件．(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中最少有一只白球”不能能同時發生，故互斥．其中必有一個發生，故對峙．(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中最少有1只紅球”可能同時發生，故不是互斥事件，也不能能是對峙事件．———————————————————理解互斥事件與對峙事件應注意的問題(1)對互斥事件要掌握住不能夠同時發生，而對于對峙事件除不能能同時發生外，其并事件應為必然事件，這可類比會集進行理解；(2)詳盡應用時，可把試驗結果寫出來，看所求事件包括哪幾個試驗結果，從而判斷所給事件的關系．1．判斷以下每對事件可否為互斥事件？可否為對峙事件？從一副橋牌(52張)中，任取張，(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為3的倍數”與“抽出的牌點數大于10”．解：(1)是互斥事件但不是對峙事件．由于“抽出紅桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時不能能同時發生，所以是互斥的．同時，不能夠保證其中必有一個發生，由于還可能抽出“方塊”或“梅花”，所以兩者不對峙．(2)是互斥事件又是對峙事件．由于兩者不能同時發生，但其中必有一個發生．(3)不是互斥事件，更不是對峙事件．由于“抽出的牌點數為3的倍數”與“抽出的牌點數大于10”這兩個事件有可能同時發生，如抽得12.隨機事件的頻率與概率[例2]某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練，各次訓練的成績以下表：射擊次數100120150100150160150擊中飛碟數819512382119127121擊中飛碟的頻率(1)將各次擊中飛碟的頻率填入表中；(2)這個運動員擊中飛碟的概率約為多少？[自主解答]利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率．(1)射中次數

100，擊中飛碟數是

81，故擊中飛碟的頻率是

81100＝0.81，同理可求得下面的頻率依次是

0.792，0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)擊中飛碟的頻率牢固在

0.81，故這個運動員擊中飛碟的概率約為

0.81.———————————————————概率和頻率的關系概率可看作頻率在理論上的牢固值，它從數量上反響了隨機事件發生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數越來越多時頻率向概率湊近，只要次數足夠多，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率．2．某籃球運動員在同一條件下進行投籃練習，以下表所示：(1)計算表中進球的頻率并填表；(2)這位運動員投籃一次，進球的概率約是多少？投籃次數n8101520304050進球次數m681217253238m進球頻率n解：(1)頻率是在試驗中事件發生的次數與試驗次數的比值，由此得進球頻率依次是6，8812172532380.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.10，15，20，30，40，50，即表中依次填入(2)由(1)知進球頻率牢固在0.8，所以這位運動員投籃一次，進球時概率約是0.8.互斥事件、對峙事件的概率[例3]某戰士射擊一次，問：(1)若中靶的概率為0.95，則不中靶的概率為多少？(2)若命中10環的概率是0.27，命中9環的概率為

0.21，命中

8環的概率為

0.24，則至少命中8環的概率為多少？不夠9環的概率為多少？[自主解答

]

(1)記中靶為事件

A，不中靶為事件

A，依照對峙事件的概率性質，有P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.故不中靶的概率為0.05.(2)記命中10環為事件B，命中9環為事件C，命中8環為事件D，最少8環為事件E，不夠9環為事件F.由B、C、D互斥，E＝B∪C∪D，F＝B∪C，依照概率的基本性質，有P(E)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P(F)＝P(B∪C)＝1－P(B∪C)＝1－(0.27＋0.21)＝0.52.所以最少8環的概率為0.72，不夠9環的概率為0.52.———————————————————求復雜的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些互相互斥的事件的概率求和，運用互斥事件的概率求和公式計算．(2)間接法：先求此事件的對峙事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即運用逆向思維，特別是“最少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡略．3．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解：(1)P(A)＝11015011000，P(B)＝1000＝100，P(C)＝1000＝20.111故事件A，B，C的概率分別為1000，100，20.(2)1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋50611000＝1000.61故1張獎券的中獎概率為1000.(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對峙事件，11989∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－1000＋100＝1000.故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為9891000.1個難點——對頻率和概率的理解(1)依照定義求一個隨機事件的概率的基本方法是經過大量的重復試驗，用事件發生的頻率近似地作為它的概率，但是，某一事件的概率是一個常數，而頻率隨著試驗次數的變化而變化．(2)概率意義下的“可能性”是大量隨機事件現象的客觀規律，與我們平常所說的“可能”“估計”是不相同的．也就是說，單獨一次結果的不確定性與積累結果的有規律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的實質屬性．1個重點——對互斥事件與對峙事件的理解(1)對于互斥事件要抓住以下特色進行理解：①互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；②所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；③兩個事件互斥是從試驗的結果中不能夠同時出現來確定的．(2)對峙事件是互斥事件的一種特別狀況，是指在一次試驗中有且只有一個發生的兩個事件，會集A的對峙事件記作A.從會集的角度來看，事件A所含的結果的會集正是全集U中由事件A所含結果組成的會集的補集，即A∪A＝U，A∩A＝?.對峙事件必然是互斥事件，但互斥事件不用然是對峙事件.易誤警示——誤判事件間的關系以致概率計算失誤[典例](2013·沂模擬臨)扔擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“向上一面的數是奇數”，事件B表示“向上一面的數不高出3”，則P(A∪B)＝________.[剖析]事件A∪B能夠分成事件C為“向上一面的數為1、2、3”與事件D為“向上3一面的數為5”這兩件事，則事件C和事件D互斥，故P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝6＋1426＝6＝3.[答案]

23[易誤辨析]1．因未分清事件A、B的關系，誤以為事件A、B是互斥事件，從而造成概率計算錯誤；2．因不能夠把所求事件轉變成幾個互斥事件，思想受阻，從而得不到正確答案．3．求解隨機事件的概率問題時還有以下錯誤：解決互斥與對峙事件問題時，由于對事件的互斥與對峙關系不清楚，不能夠正確判斷互斥與對峙事件的關系而致錯．[變式訓練]某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙均屬于次品，若生產中出現乙級品的概率為

0.03，出現丙級品的概率為

0.01，則對成品抽查一件，恰好得正品的概率為

(

)A．0.99

B．0.98C．0.97

D．0.96剖析：選

D

記事件

A＝{甲級品}，B＝{乙級品

}，C＝{丙級品}．事件

A、B、C

互相互斥，且A與B∪C是對峙事件．所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.一、選擇題(本大題共6小題，每題5分，共30分)1．給出以下結論：①互斥事件必然對峙．②對峙事件必然互斥．③互斥事件不用然對峙．④事件

A與

B的和事件的概率必然大于事件

A的概率．⑤事件

A與

B互斥，則有

P(A)＝1－P(B)．其中正確命題的個數為

(

)A．0個

B．1個C．2個剖析：選

C

D．3個對峙必互斥，互斥不用然對峙，所以②③正確，①錯；又當

A∪B＝A時，P(A∪B)＝P(A)，所以④錯；只有

A與B為對峙事件時，才有

P(A)＝1－

P(B)，所以⑤錯．2．將一枚骰子向上扔擲

1次，設事件

A表示向上的一面出現的點數為偶數，事件

B表示向上的一面出現的點數不高出

3，事件

C表示向上的一面出現的點數不小于4，則(

)A．A與B是互斥而非對峙事件B．A與B是對峙事件C．B與C是互斥而非對峙事件D．B與C是對峙事件剖析：選

D

A∩B＝{出現點數

2}，事件

A，B不互斥更不對峙；

B∩C＝?，B∪C為全集，故事件

B，C是對峙事件，應選

D.3．(2013

·州模擬惠

)從{1,2,3,4,5}

中隨機采用一個數為

a，從{1,2,3}

中隨機采用一個數為b，則

b>a的概率是

(

)4A.5

3B.52C.5

1D.5剖析：選D從{1,2,3,4,5}中采用一個數a有5種取法，從種取法．所以采用兩個數a，b共有5×3＝15個基本事件．滿足

{1,2,3}中采用一個數b>a的基本事件共有

b有33個．因1此b>a的概率P＝15＝5.4．從16個同類產品(其中有14個正品，2個次品)中任意抽取3個，以下事件中概率為1的是(

)A．三個都是正品B．三個都是次品C．三其中最少有一個是正品D．三其中最少有一個是次品剖析：選

C

16個同類產品中，只有

2件次品，抽取三件產品，

A是隨機事件，

B是不可能事件，

C是必然事件，

D是隨機事件，又必然事件的概率為

1.5．某種飲料每箱裝

6聽，其中有

4聽合格，

2聽不合格，現質檢人員從中隨機抽取

2聽進行檢測，則檢測出最少有一聽不合格飲料的概率是

(

)1A.15

3B.58C.15

14D.15剖析：選

B

記4聽合格的飲料分別為

A1、A2、A3、A4，2聽不合格的飲料分別為

B1、B2，則從中隨機抽取2聽有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15種不相同取法，而最少有一聽不合格飲料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9種，故所求概率為P＝9＝3.1556．甲、乙二人玩數字游戲，先由甲任想一數字，記為a，再由乙猜甲剛剛想的數字，把乙猜出的數字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”，現任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()15A.3B.927C.3D.9剖析：選D甲想一數字有3種結果，乙猜一數字有3種結果，基本事件總數為3×3＝9.設“甲、乙心有靈犀”為事件A，則A的對峙事件B為“|a－b|>1”，又|a－b|＝2包括2272個基本事件，所以P(B)＝9，所以P(A)＝1－9＝9.二、填空題(本大題共3小題，每題5分，共15分)7．人在打靶中連續射擊2次，事件“最少有1次中靶”的對峙事件是________________．剖析：“最少有1次中靶”包括兩種狀況：①有1次中靶；②有2次中靶．其對峙事件為“2次都不中靶”．答案：2次都不中靶8．甲、乙兩顆衛星同時監測臺風，在同一時刻，甲、乙兩顆衛星正確預告臺風的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻最少有一顆衛星預告正確的概率為________．剖析：P＝1－0.2×0.25＝0.95.答案：0.959．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不相同的概率是剖析：設

________．3只白球為

A，B，C,1

只黑球為

d，則從中隨機摸出兩只球的狀況有：

AB，1AC，Ad，BC，Bd，Cd共

6種，其中兩只球顏色不相同的有

3種，故所求概率為

2.答案：12三、解答題

(本大題共

3小題，每題

12分，共

36分)10．由經驗得知，在人民商場付款處排隊等候付款的人數及其概率以下：排隊人數

0

1

2

3

4

5人以上概率

0.10.16

0.3

0.3

0.1

0.04求：(1)至多2人排隊的概率；(2)最少2人排隊的概率．解：記“沒有人排隊”為事件A，“1人排隊”為事件B，“2人排隊”為事件C，A，B，C互相互斥．(1)記“最少2人排隊”為事件E，則P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.160.3＝0.56.(2)記“最少2人排隊”為事件D.“少于2人排隊”為事件A＋B，那么事件D與事件AB是對峙事件，則P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.11．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同、分別標有號碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次，第二次抽取的卡片上的號碼．(1)求滿足a·b＝－1的概率；(2)求滿足a·b>0的概率．解：(1)設(x，y)表示一個基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，，(6,5)，(6,6)，共36個．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，則A包括的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，31共3個，P(A)＝36＝12.(2)a·b>0，即x－2y>0，在(1)中的36個基本事件中，滿足x－2y>0的事件有(3,1)，(4,1)，61(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)共6個，所以所求概率P＝36＝6.12．某次會議有6名代表參加，A，B兩名代表來自甲單位，C，D兩名代表來自乙單位，E，F兩名代表來自丙單位，現隨機選出兩名代表發言，問：(1)代表A被選中的概率是多少？(2)選出的兩名代表“恰有1名來自乙單位或2名都來自丙單位”的概率是多少？解：(1)從這6名代表中隨機選出2名，共有15種不相同的選法，分別為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(