第數一、基礎知識：1、整數的基本性質：（）數的和，差，積仍為整數（）數的奇偶性：若

k

，則稱

n

為奇數；若

，則稱

n

為偶數，在加，減，乘法運算中，其結果有以下規律：①奇數數②奇數數數③偶⑤偶

偶數偶數

偶數④奇數偶數⑥奇數

偶數奇數

偶數奇數（）

Z，ab則a（）知

a,

，若

，且

，則n只取到有限多個整數（也有可能無解）（）

，稱能被整除，則有：①

a②為a的個因數（）小數原理：自然數集的任何非空子集，均有一個最小的自然數2、整數性質的應用：（）變量屬于整數，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實數范圍內，若要求得變量的值常要依賴方程不等式只能解得變量的范圍是在整數范圍內了程，在不等式中也可以利用整數的離散性求出變量的

,n

，則

n

的取值只能是

3,4

。所以在涉及求整數的值時，思路不要局限于尋找等量關系，構造不等關系依然可以求解。整除問題：若表達式形式較為簡單，可通過對常數進行因數分解，進而確定變量的取值；若表達式次數較高，則可以先利用二項式定理去掉高次的項，再進行處理。多元整數不定方程：當變量的值為整數時，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個：①通對表達式進行因式分解，對另一側的常數進行因數分解，進而將不定方程拆成多個方程的方程組，進而解出變量②將個字母視為變量（其余視為參數）并進行參變分離，求出含變量函數的值域，進而將參數置于一個范圍內，再利用整數離散性求得參數的值（）證法：運用反證法處理整數問題時，常見的矛盾有以下幾點：所解得變量非整數，或不符合已知范圍等式兩側為一奇一偶3、整數問題通常會與數列聯系來，其特征就是數列中項的序數，以及前均為正整數。二、典型例題：

項和的項數，例1已知數列

為n

n

若

amam

為數列

n

____思路：

m

m

，

于于n

（

1

）的奇數，所以考慮將

aamma

向奇數形式變形：

2m2m

888m，得應為大于等于4的數，所2m2以

885或解得m2m2m

（舍）或

2m2答案：小煉有話說本題的亮點在于對

的變形，在有關整數的問題里，通常可對分式進“分離常數變而將復雜的分式簡化能刻找到需處理的部分。例如在本題中通過“分離常數”可迅速將目標鎖定在

82m

上。（）題對

82m

的處理有多個角度，還可以從分母出發，觀察到

2m

應為奇數，而82m

，而

8

的奇因數只有

和

，同樣可確定

m

的值。例2：已知等差數列

n

的公差d，n

項為S,S36n2（）的項公式n（）

,k

652n1122n112例3：已知數列

n

n項為S，Snn

111n2N22

（）數列

n

式（）

k)fnkk)

，否在使得

f成？存，出

m

的；不在請明由解）

Sn

111111n2Sn22an

n

1a2

符合①

an（思路：

f

按照奇偶分段所以要確定

m

的奇偶察發現無論

m

為何值，m

均為一奇一偶，所以只需要對m奇偶進行分類討論，解出符合條件的m即解：

fan當

m

為奇數時，

m

為偶數f

3

解得：

m當

m

為偶數時，

m

為奇數f

解得：

m

57

（舍）m綜上所述：例4：已知各項均為整數的數n

43

，前6項次成等差數列，從第五項起依次成等比數列式（）數列n（）出有正數使a

m

m

a解）設前6項的差為

，則

a,add563a5

7

成等比數列，a67

解得：

時，

n5

，則

時，

an

n2n,（）思：由于數列

n

分當

時，即為公比是

的等比數列，所以考慮對于數列的前幾項可進行驗證，n5后等比數列，從而可進行抽象的計算，看是否能夠找到符合條件的

m

。解：由（）可得：

n

1,0,1,2,4,8,則當

m

時，

1233當m2時，aaa243434當當

mm4

時，時，

a34453,aaa4645646當時假設存在m，使

m

aa則有

m

3m

即：

3

2m5

3

2m3

，從而

7=2

2

無解m

時，不存在這樣的m，得a

m

m

a綜上所述：mm例5：已知數列

項和為

S

n

，且滿足

1

，

n

Sn

（n

*

）（）

2

，

3

的值；（）數列

式；（）否在數m)

，得式n

2

mn

成？存，求所滿足件,)

；不在請明由解）在

n

S中，得：an2nn2n2n8nnnn2n22nnnnnnnnnn2n2n8nnnn2n22nnnnnnnnnaa421再令

2

，得：

323（）

n

Sn

①，可得：

n

n

②①

②可得：

n

aann

n始成等比關系公比為n

nan

而

1

符合上式（3）思：所成立的等式為

，慮將mn進分離得：m

再用

,

為整數可得為數從而求出符合條件的

n

，再求出

m

。解：由（）得：

m

8

m

且

只需

，即

經計算可得：

n

時，

解得：,m

共有三組符合題意：

小煉有話說：（）第2）問中，要注意

的取值范圍變化，并且要把

n

所能取到的最小值代入到遞推公式中以了解遞推公式從第幾項開始滿足。（二不定方程在求解時參分離是一種方式通過變形讓兩變量分居不等號的兩側，n222n222這樣可以以一側作為突破口（比如本題中的整除問題得變量的解例6：已知數列n

不為0的差數列，

S

n

是其前

n

項和，且滿足

n

2n

，令bn

1aan

，數列

n

項和為

n（）數列

n

式

n（）否在整

m,

，得

,T,1

成比列若在求所的mn

的；不在請明由解）

S

2n

a1n2

1

2

2

n

2n

n

n

2n

且

na2nnn

1n

T5

1n122nn（思先定存在滿足條件的

mn

，由

2mn

可得

m2

1n3n

無法直接得到不等關系，考慮變形等式：

2

n

，分離參數可得：436為破口可解出m的圍,1mm2n2

從而確定的后即可求出

n解：假設存在

m,

，則

2mn即

2

14m2mn32

433即mm2m2n2m6解：1m22anaa22anaa22m2

，代入可得：

3n4

，解得：

n

存在

，使得

T,1

成等比數列例7知各項均為正數的數列

n

1

n

n

n

Nn

（）

bn

1an

，求數列

n（）

S2n2nn

11a2a1

1，求2nn

，確最正數n使

Snn

為數解）

nnnnnn

n12bnaan

a2a

12的等數列n（）路：由）得

n

n

n

n

，

n

的通項公式可求但是比較復雜，不利于求出

n

，但觀察發現可將

Snn

中的項重新組合，進而能夠和b找聯系。na2an

可

nn

6427

Snn

為整數，則

n被整除，而27考慮可將4n

寫成

，通過二項式定理展開并找到最小的正整數

解：

Sa2n

1

1a

a2

1a2

2aaa

1ann

427

n

若

Snn

為整數，因為

2Z

6427

即

127

3n

n33n32n3nnnn3nn

nn

n33n

n32n

n

3Cnn

n

3

能被

27

整除C

nn

n

n2n2所以可得時n的最小值是

nn

nn

3能整例8：已知（）n

n

列，前項和，若S,n4

n（）

N

，將

n

間

2m

內項的個數記為

①求

②記

cm

2

22mm

項和記

否在,t

得

T1mTcmt成？存，出

m,

的；不在請明由解）設

n

Sad41

22n1解得：

1

2n（）

2m

222

1122

nN

2T1214222ttttm2m2212142m2T1214222ttttm2m2212142m2

m

m

2m

②思：由①可得：

2

2m

，

所解方程變形為：

m

，得到關于t

的不定方程，可考慮對,t

進行變量分離

41

，以等式左右邊的符號作為突破口（左邊為正數得

4

，即t入t解符合條件的m即解：由①可得：cm

2

2m

2

1

由

T1mTcmt

可得：TmTmTccmTTmmmcTmct

4

m

41

0,4

4mmmmmmmmt

3時，解得：mZ55

（舍）tt

11時，解得：logZ331時，解得：mZ8

（舍）存在這樣的t小煉有話說：

，滿足所給方程1、本題中②的方程，并沒有在開始就

代入，否則運算會復雜的多，所采取的策略為先化簡變形，變形完成之后再代入。可簡化不必要的運算2、本題在解

m

的不定方程所用的方法為變量分離法，將兩個只含某一字母的式子用等號連接，則兩邊式子的范圍應當一致。以其中一個式子作為突破口（比如結變量必須取整數的條件，便可用不等關系將變量所能取的值確定下來。例9：已知數列

n

列數列

n

列，且對任意的

N

，都有：a12n

n

，若

1

，則：（）數列n（）探：列在一，可表為數中它n

r,r

項的？存，求該，不在請明由解）

a12

n

n

①b11

n

n

②①可得：n

n

n

n

令n，ab1

4

1令

2

，則

48211tt1tt令

，則

12831所以有：128nnnn

，解得：

42（）路：首先要把命題翻譯為等式，將其他

r

項可設為

b,,tt

,bt

r

，設存在某項

，則

tt

tr

t

t

r

，設

t1

r

，則同除以

2

，就會出現左右兩側奇偶不同，從而假設不成立解：假設存在某項

及數列中的其他

r

項

,,btttr

r

2mtttr

t

r

，所以

mtrm

r兩邊同時除以

可得：

r

，左邊為偶數，右邊為奇數。所以等式不成立所以不存在這樣的項小煉有話說）通過本題要學會如何表示數列中某一串項：如果是相鄰項，則可表示為：,a

m

,a

m

,

，如果不一定相鄰，則可用

t,1

2

t

r

作角標，其中

1,2,,r

體現出這一串項所成數列中項的序數，而

t,1

2

t

r

表示該項在原數列中的序數（）題還有一個矛盾點：題目中的

r

項不一定為相鄰項，但是可通過放縮將右邊的項補全，變為從

2一直加到2r，即2

r

2

2

r

。則

2

2

tr

tr

①，由整數性質可得

rr

，所以2tr2tr

，與①矛盾，所以不存在。例10已等數

n

項為

a

，差

b

，比列

項為n

b

，比

a

，其

a,b

均大1的正數且

ba12

3

，于意

nN

，存N

，使

成，an思路：本題的關鍵是求出a,b已知a,均大于1的整數，以考慮從兩個不等關系入nnnn手嘗試求

a,b

的值或范圍：

,ba1123

，所以

a

，從而根據不等號方向可得：

b

解得：a，所以，從而a

n

，代入2可得：

n

5

n

，因為

b

m所以

b（舍）或。所以2

成立，所以

a2,b，an答案：

nn三、歷年好題精選1山師大附中五模用分然數構造如圖的數表

ij

表示第i行

j個數（

i,j

得

ai1ij

，每行中的其他各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和，設第

行中的各數之和為

n（）出

,,b,b，寫出1n

與b的推關系（不要求證明）n（）

cn

，證明：

n

列，并求出

n

公式（）列

n

在同的三項

b,pqr

,qrN

恰好成等差數列？若存在，求出

,q,r

的關系，若不存在，說明理由2泰一模已知數列

{},{}nn

滿足

nn

其中

S

n

是數列

{}n

的前

項和．（）數列

{}n

是首項為

21，公比為的等比數列，求數列33

{}n

的通項公式；（）

n

，

2

，求數列

{}n

的通項公式；（）2）的條件下，設

acnbn

，求證：數列{}n

中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積3數

n

項是首項為的差數列項首項為的比數列

n

bq,rbq,r前

n

項和為

n

，且滿足

2549（）數列

n

式（）

a

am

，求正整數m的S（是存在正整數m，得m恰為數列S2m件的值若不存在，說明理由，無錫輔仁高中12月測）

若在，求出所滿足條n已知數列

n

滿足

a

bnn

n1

（1求證：數列差列，并求數列

n（2設數列

n

c2nn

，對于任意給定的正整數，否存在正整數rr

，使得

1,ccpr

成等差數列？若存在，試用表；不存在，請說明理由1111習答：1、解

1

b3

b4

猜想

n1

2bn

（2）cn

b22n1n是等比數列，

1

2

n1

2cnn

21

n

n1n

n1

（3）（）得：

b

p

32

p1

bq

32

q1

br

32

r

2若

bp

N

為等差數列則

2bq

b

p

br

2

q

2

p

2

r不妨設p最小的數，則

22

qp

1

rp

，左邊為偶數，右邊為奇數，顯不成立不存在符合要求的、析an

2133

n1

2

13

nS

21133112313

bn

2Sna2n

13

13

n

n

2

（2）2Sn2an

n

，則n1nn1n1

n

n2nan

2n2nan

n1an1

2n1an

n2n

2兩式相減可得：

n2

時，n12ann12annn

n

nn

nn

nn可：，為12d

nnc（）（），nn對于給定的nN*若存在,ttNnkt只需，nkt

*

，使得

cnkt

，即

11111(k1))，，tnktktktk

，………12分取

k

，則

tn(

，∴對數列

n

中的任意一項

cn

nn，都存在c和nnn2

22

使得n

n2、解析）設

,,,,1352

,

的公差為，,,,a,26k

的公比為

aq2q,a4由

Sa4a3

aa2k2

,2

1n2k,nk（）

m

a2k

a2

，即

解得：

k

，即

m2若

m2

aa2kkk

22n2n2因為

為正