離散型隨機(jī)變量的均值一、選擇題1．若X是一個(gè)隨機(jī)變量，則E(X－E(X))的值為()A．無(wú)法求 B．0C．E(X) D．2E(X)[答案]B[解析]只要認(rèn)識(shí)到E(X)是一個(gè)常數(shù)，則可直接運(yùn)用均值的性質(zhì)求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)為常數(shù)，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.2．如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝()A．eq\f(126,125) B．eq\f(6,5)C．eq\f(168,125) D．eq\f(7,5)[答案]B[解析]題意知X＝0、1、2、3，P(X＝0)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝eq\f(8,125)，∴E(X)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).3．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X135Pm則其數(shù)學(xué)期望E(X)等于()A．1 B．C．2＋3m D．[答案]D[解析]由＋m＋＝1得，m＝，∴E(x)＝1×＋3×＋5×＝.4．甲、乙兩人分別獨(dú)立參加某高校自主招生面試，若甲、乙能通過(guò)面試的概率都是eq\f(2,3)，則面試結(jié)束后通過(guò)的人數(shù)ξ的期望是()A．eq\f(4,3) B．eq\f(11,9)C．1 D．eq\f(8,9)[答案]A[解析]依題意，ξ的取值為0、1、2.且P(ξ＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(1,3))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).故ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(12,9)＝eq\f(4,3).5．今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為和，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X，則E(X)＝()A． B．C． D．[答案]B[解析]設(shè)A、B分別為每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的事件，X的可能取值為0、1、2，P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝(1－×(1－＝.P(X＝1)＝P(A·eq\x\to(B)＋eq\x\to(A)·B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝×＋×＝.P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.6．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取到次品的個(gè)數(shù)，則E(X)等于()A．eq\f(3,5) B．eq\f(8,15)C．eq\f(14,15) D．1[答案]A[解析]X＝1時(shí)，P＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))；X＝2時(shí)，P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10)).∴E(X)＝1×eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＋2×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7×3＋2×3,C\o\al(2,10))＝eq\f(3,5)，故選A.二、填空題7．一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3數(shù)字的3個(gè)小球，每次從袋中取出一個(gè)球(每只小球被取到的可能性相同)，現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個(gè)球后放回袋中，記3次取出的球中標(biāo)號(hào)最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X、Y，設(shè)ξ＝Y(jié)－X，則E(ξ)＝__________________.[答案]eq\f(4,3)[解析]由題意知ξ的取值為0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y(jié)，ξ＝1表示X＝1，Y＝2；或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.∴P(ξ＝0)＝eq\f(3,33)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(2×2×3,33)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2×3＋A\o\al(3,3),33)＝eq\f(4,9)，∴E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(4,3).8．設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的概率分布為：X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(X)的最大值為_(kāi)_______．[答案]eq\f(3,2)[解析]由表可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤\f(1,2)－p≤1，,0≤p≤1，))從而得P∈[0，eq\f(1,2)]，期望值E(X)＝0×(eq\f(1,2)－p)＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1，當(dāng)且僅當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)，E(X)最大值＝eq\f(3,2).9．一批型號(hào)相同的產(chǎn)品，其中有2件次品、5件正品，每次抽一件測(cè)試，直到將兩件次品全部區(qū)分為止．假設(shè)抽后不放回，則第5次測(cè)試后停止的概率是________．[答案]eq\f(4,21)[解析]“第五次測(cè)試后停止”的含義是：在前四次測(cè)試中有一件次品，第五次測(cè)試結(jié)果為次品，故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(3,5),C\o\al(4,7))·eq\f(1,C\o\al(1,3))＝eq\f(4,21).三、解答題10．盒中裝有5節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池，其中混有兩節(jié)廢電池，現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，試回答下列問(wèn)題：(1)若直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)ξ的分布列及均值；(2)若將題設(shè)中的無(wú)放回改為有放回，求檢驗(yàn)5次取到好電池個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．[解析](1)ξ可取的值為1、2、3，則P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×1＝eq\f(1,10)，抽取次數(shù)ξ的分布列為：ξ123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝.(2)每次檢驗(yàn)取到好電池的概率均為eq\f(3,5)，故X～B(n，p)，即X～B(5，eq\f(3,5))，則E(X)＝5×eq\f(3,5)＝3.一、選擇題11．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的均值為()A．100 B．200C．300 D．400[答案]B[解析]記“不發(fā)芽的種子數(shù)為ξ”，則ξ～B(1000,，所以E(ξ)＝1000×＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故選B.12．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量ξ＝|a－b|的取值，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為()A．eq\f(8,9) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)[答案]A[解析]∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，∴－eq\f(b,2a)<0，即eq\f(b,a)>0，∴a與b同號(hào)．∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,3)eq\f(4,9)eq\f(2,9)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).[點(diǎn)評(píng)]基本事件只與a、b的取值有關(guān)，故可不必考慮c的取值；a、b同號(hào)的所有可能取法有2×(3×3)＝18種，由于ξ＝|a－b|，∴a、b同正和a、b同負(fù)時(shí)，ξ的取值只有0、1、2三種．13．設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球，已知取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為eq\f(6,7)，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．2[答案]A[解析]設(shè)白球x個(gè)，則黑球7－x個(gè)，取出的2個(gè)球中所含白球個(gè)數(shù)為ξ，則ξ取值0、1、2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7－x),C\o\al(2,7))＝eq\f(7－x6－x,42)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)·C\o\al(1,7－x),C\o\al(2,7))＝eq\f(x7－x,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,x),C\o\al(2,7))＝eq\f(xx－1,42)，∴0×eq\f(7－x6－x,42)＋1×eq\f(x7－x,21)＋2×eq\f(xx－1,42)＝eq\f(6,7)，∴x＝3.二、填空題14．設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為1、2、3、(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝________.[答案]eq\f(1,10)[解析]由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b×1＋2a＋b×2＋3a＋b×3＋4a＋b×4＝3，,a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30a＋10b＝3，,10a＋4b＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,10),b＝0))，∴a＋b＝eq\f(1,10).15．已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，則n的值為_(kāi)_______.ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)[答案]eq\f(1,3)[分析]由分布列的性質(zhì)可得m與n的一個(gè)方程，由期望的定義與性質(zhì)可得m與n的另一個(gè)方程，兩方程聯(lián)立可解得m、n.[解析]η＝4ξ－2?E(η)＝4E(ξ)－2?7＝4·E(ξ)－2?E(ξ)＝eq\f(9,4)?eq\f(9,4)＝1×eq\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×eq\f(1,12)，又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，聯(lián)立求解可得n＝eq\f(1,3).[點(diǎn)評(píng)]這一部分內(nèi)容公式較多，熟記離散型隨機(jī)變量的期望、方差的定義式及其性質(zhì)，熟記各種概率分布的期望、方差公式是正確解答概率分布問(wèn)題的先決條件．三、解答題16．購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1－.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；(2)設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位：元)．[解析]各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p，記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為ξ，則ξ～B(104，p)．(1)記A表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ＝0，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－，故p＝.(2)該險(xiǎn)種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和．支出：10000ξ＋50000，盈利：η＝10000a－(10000ξ＋50000)，盈利的期望為：E(η)＝10000a－10000E(ξ)－50000，由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10000×10－3，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－104×104×10－3－5×104.E(η)≥0?104a－104×10－5×104≥0?a－10－5≥0?a≥15(元)．故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元．17．某班聯(lián)歡晚會(huì)玩飛鏢投擲游戲，規(guī)則如下：每人連續(xù)投擲5支飛鏢，累積3支飛鏢擲中目標(biāo)即可獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)．同時(shí)要求在以下兩種情況下中止投擲：①累積3支飛鏢擲中目標(biāo)；②累積3支飛鏢沒(méi)有擲中目標(biāo)．已知小明同學(xué)每支飛鏢擲中目標(biāo)的概率是常數(shù)p(p>，且擲完3支飛鏢就中止投擲的概率為eq\f(1,3).(1)求p的值；(2)記小明結(jié)束游戲時(shí)，投擲的飛鏢支數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)由已知P(X＝3)＝p3＋(1－p)3＝eq\f(1,3)，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(2,3).∵p>，∴p＝eq\f(2,3).(2)X的所有可能取值為3,4,5.P(X＝3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝[Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3