證明不等式的基本方法1證明不等式的基本方法1一、比較法(1)作差比較法2一、比較法(1)作差比較法233下面給出證明4下面給出證明4(2)作商比較法5(2)作商比較法566補充練習:DA7補充練習:DA7ABQ>P>M8ABQ>P>M8二、綜合法與分析法(1)綜合法在不等式的證明中,我們經常從已知條件和不等式的性質、基本不等式等出發,通過邏輯推理,推導出所要證明的結論.這種從已知條件出發,利用定義、公理、定理、性質等,經過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法.又叫順推證法或由因導果法.用綜合法證明不等式的邏輯關系9二、綜合法與分析法(1)綜合法用綜合法證明不等式的邏輯關系9101011111212(2)分析法從要證的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執果索因的思考和證明方法.用分析法證明不等式的邏輯關系13(2)分析法用分析法證明不等式的邏輯關系13用分析法證“若A則B”這個命題的模式是:為了證明命題B為真,只需證明命題B1為真,從而有……只需證明命題B2為真,從而有…………只需證明命題A為真.而已知A為真,故B必真.14用分析法證“若A則B”這個命題的模式是:14151516161717三、反證法與放縮法(1)反證法先假設要證的命題不成立,以此為出發點,結合已知條件,應用公理,定義,定理,性質等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質,明顯成立的事實等)矛盾的結論,以說明假設不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.18三、反證法與放縮法(1)反證法1819192020反證法主要適用于以下兩種情形(1)要證的結論與條件之間的聯系不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論而從反面進行證明,只研究一種或很少的幾種情形.21反證法主要適用于以下兩種情形21(2)放縮法證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關項之間的大小關系更加明確或使不等式中的項得到簡化而有利于代數變形,從而達到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關鍵是放、縮適當,否則就不能達到目的,因此放縮法是技巧性較強的一種證法.22(2)放縮法通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較232324242525補充例題:26補充例題:2627272828證明不等式的基本方法29證明不等式的基本方法1一、比較法(1)作差比較法30一、比較法(1)作差比較法2313下面給出證明32下面給出證明4(2)作商比較法33(2)作商比較法5346補充練習:DA35補充練習:DA7ABQ>P>M36ABQ>P>M8二、綜合法與分析法(1)綜合法在不等式的證明中,我們經常從已知條件和不等式的性質、基本不等式等出發,通過邏輯推理,推導出所要證明的結論.這種從已知條件出發,利用定義、公理、定理、性質等,經過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法.又叫順推證法或由因導果法.用綜合法證明不等式的邏輯關系37二、綜合法與分析法(1)綜合法用綜合法證明不等式的邏輯關系9381039114012(2)分析法從要證的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執果索因的思考和證明方法.用分析法證明不等式的邏輯關系41(2)分析法用分析法證明不等式的邏輯關系13用分析法證“若A則B”這個命題的模式是:為了證明命題B為真,只需證明命題B1為真,從而有……只需證明命題B2為真,從而有…………只需證明命題A為真.而已知A為真,故B必真.42用分析法證“若A則B”這個命題的模式是:14431544164517三、反證法與放縮法(1)反證法先假設要證的命題不成立,以此為出發點,結合已知條件,應用公理,定義,定理,性質等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質,明顯成立的事實等)矛盾的結論,以說明假設不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.46三、反證法與放縮法(1)反證法1847194820反證法主要適用于以下兩種情形(1)要證的結論與條件之間的聯系不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論而從反面進行證明,只研究一種或很少的幾種情形.49反證法主要適用于以下兩種情形21(2)放縮法證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關項之間的大小關系更加明確或使不等式中的項得到簡化而有利于代數變形,從而達到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,