§4.3空間直角坐標系X§4.3空間直角坐標系X11、空間直角坐標系的建立;2、空間點的坐標;3、特殊位置的點的坐標;4、空間點的對稱問題。1、空間直角坐標系的建立;2、空間點的坐標;3、特殊位置的2xO數軸上的點可以用唯一的一個實數表示-1-2123AB數軸上的點xO數軸上的點可以用唯一的一個實數表示-1-2123AB數軸3平面中的點可以用有序實數對(x，y)來表示點xyPOxy(x,y)平面坐標系中的點平面中的點可以用有序實數對(x，y)來表示點xyPOxy(x4yOxz在教室里同學們的位置坐標yOxz在教室里同學們的位置坐標5以單位正方體的頂點O為原點,分別以射線OA，OC，的方向為正方向,以線段OA,OC,的長為單位長度,建立三條數軸:x軸,y軸,z軸,這時我們建立了一個空間直角坐標系。CBADOABCDODOOxyz一、空間直角坐標系：yxzABC'A'B'C'DO點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、和zox平面．以單位正方體的頂點O為原點,分別以射線OA，OC，的方向為正6xyzO讓右手拇指在空間直角坐標系中，軸食指指向軸的正方向指向

yx，軸的如果中指能指向的正方向

z，則稱這個坐標系為正方向，xyz右手直角坐標系xyzO讓右手拇指在空間直角坐標系中，軸食指指向軸的正方向指7oxyz1.x軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于y軸．135013502.y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的單位長度的一半．空間直角坐標系的畫法：oxyz1.x軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于8

空間直角坐標系中，三條坐標軸(

)A．兩兩垂直且相交于一點

B．兩兩平行

C．僅有兩條不垂直

D．僅有兩條垂直

[答案]

A空間直角坐標系中，三條坐標軸()A．兩兩垂直且相交9空間直角坐標系中任意一點的位置如何表示？空間直角坐標系中任意一點的位置如何表示？10二、空間點的坐標：設點M是空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點P、Q和R．yxzM’OMRQP二、空間點的坐標：設點M是空間的一個定點，過點M分別作垂直于11二、空間點的坐標：設點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x,y和z,這樣空間一點M的坐標可以用有序實數組(x，y，z)來表示,(x，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x，y，z)．其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標．yxzM’OMRQP二、空間點的坐標：設點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分12yxzABC'A'B'C'DOOABC—A’B’C’D’是單位正方體．以O為原點，分別以射線OA,OC,OD’的方向為正方向，以線段OA,OC,OD’的長為單位長，建立空間直角坐標系O—xyz．試說出正方體的各個頂點的坐標．并指出哪些點在坐標軸上，哪些點在坐標平面上．(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)空間點的坐標（以正方體為例）yxzABC'A'B'C'DOOABC—A’B’C’D’是單13小提示：坐標軸上的點至少有兩個坐標等于0；坐標面上的點至少有一個坐標等于0。點P的位置原點OX軸上AY軸上BZ軸上C坐標形式點P的位置XY面內DYZ面內EZX面內F坐標形式?Oxyz111?A?D?C?B?E?F(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)三、特殊位置的點的坐標：小提示：坐標軸上的點至少有兩個坐標等于0；坐標面上的點至少有14xoy平面上的點豎坐標為0yoz平面上的點橫坐標為0xoz平面上的點縱坐標為0x軸上的點縱坐標和豎坐標都為0z軸上的點橫坐標和縱坐標都為0y軸上的點橫坐標和豎坐標都為0(1)坐標平面內的點:(2)坐標軸上的點:?Oxyz111?A?D?C?B?E?Fxoy平面上的點豎坐標為0yoz平面上的點橫坐標為0xoz平15xyzO(3,4,2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,2)(3,4,0)3AB'A'D'B'C2C4.,243:1寫出所有點的坐標，，中，在長方體例DOOCOACBADOABC0,0,02,4,02,0,3xyzO(3,4,2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,16練習1、如下圖，在長方體OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于點P.分別寫出點C，B`，P的坐標.zxyOACD`BA`B`C`PP`343練習1、如下圖，在長方體OABC-D`A`B`C`中，|OA17練習zxyABCOA`D`C`B`QQ`2、如圖，棱長為a的正方體OABC-D`A`B`C`中，對角線OB`于BD`相交于點Q.頂點O為坐標原點，OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上.試寫出點Q的坐標.練習zxyABCOA`D`C`B`QQ`2、如圖，棱長為a的18[拓展]1．空間中兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，線段P1P2的中點為P0(x0，y0，z0)，則

x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22，z0＝z1＋z22.這個公式稱為空間直角坐標系中的中點坐標公式，是平面直角坐標系中中點坐標公式的拓展．

[拓展]1．空間中兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x19

點P(1,4，－3)與點Q(3，－2,5)的中點坐標是(

)A．(4,2,2)

B．(2，－1,2)C．(2,1,1)

D．(4，－1,2)[答案]

C點P(1,4，－3)與點Q(3，－2,5)的中點坐標是(20[解析]

根據空間中點坐標公式，可得中點坐標為(1＋32，4－22，－3＋52)，即(2,1,1)．

[解析]根據空間中點坐標公式，可得中點坐標為(1＋32，421想一想：在空間直角坐標下，如何找到給定坐標的空間位置？D（1，3，4）想一想：在空間直角坐標下，如何找到給定坐標的空間位置？D（122zxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)13D`4zxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)13D`23zxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)134D`DzxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)134D24xoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,1)P3(1,1,1)Pxoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,125點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(1)與點M關于x軸對稱的點:(2)與點M關于y軸對稱的點:(3)與點M關于z軸對稱的點:(4)與點M關于原點對稱的點:(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)四、空間點的對稱問題：規律：關于誰對稱誰不變，其余的相反。點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(1)與26xoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,1)P3(1,1,1)Pxoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,1)27點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(5)與點M關于平面xOy的對稱點:(x,y,-z)(-x,y,z)(x,-y,z)五、空間點的對稱問題：規律：關于誰對稱誰不變，其余的相反。(6)與點M關于平面yOz的對稱點:(7)與點M關于平面zOx的對稱點:點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(5)與282．在空間直角坐標系中，點M(－1,2，－4)關于x軸的對稱點的坐標是(

)A．(－1，－2,4)

B．(－1，－2，－4)C．(1,2，－4)

D．(1，－2,4)[答案]

A2．在空間直角坐標系中，點M(－1,2，－4)關于x軸的對稱29五、

空間兩點間的距離公式

空間中點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之間的距離是|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[破疑點]空間兩點間的距離公式是平面上兩點間的距離公式的推廣，平面上兩點間的距離公式又可看成是空間兩點間的距離公式的特例．

五、空間兩點間的距離公式空間中點P1(x1，y1，z130

空間直角坐標系中，點A(－3,4,0)和點B(2，－1,6)的距離是(

)A．243

B．221C．9

D.86[答案]

D[解析]

|AB|＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.空間直角坐標系中，點A(－3,4,0)和點B(2，－1,31

(2012～2013·廣州模擬)如下圖所示，已知正四面體A－BCD的棱長為1，E，F分別為棱AB、CD的中點．

(1)建立適當的空間直角坐標系，寫出頂點A，B，C，D的坐標．

(2)求EF的長．

提升訓練例3、(2012～2013·廣州模擬)如下圖所示，已知正四面體A32[分析]

正四面體也是正三棱錐，即其頂點和底面正三角形中心的連線是正四面體的高，以底面正三角形的中心為坐標原點，高為z軸，建立空間直角坐標系．

[分析]正四面體也是正三棱錐，即其頂點和底面正三角形中心的33[解析]

(1)設底面正三角形BCD的中心為點O，連接AO，DO，延長DO交BC于點，則AO⊥平面BCD，M是BC的中點，且DM⊥BC，過點O作ON∥BC，交CD于點N，則ON⊥DM，故以O為坐標原點，OM，ON，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如上圖所示的空間直角坐標系，

∵正四面體A－BCD的棱長為1，O為底面△BCD的中心．

∴OD＝23·DM＝231－14＝33，OM＝13DM＝36.OA＝AD2－DO2＝1－39＝63.[解析](1)設底面正三角形BCD的中心為點O，連接AO，34∴A(0,0，63)，B(36，－12，0)，C(36，12，0)，D(－33，0,0)．

(2)由(1)及中點坐標公式得E(312，－14，66)，F(－312，14，0)，

∴|EF|＝－362＋122＋－662＝22.∴A(0,0，63)，B(36，－12，0)，C(36，1235規律總結：(1)建立空間直角坐標系．在解答有關正三棱錐的問題時，常用的一條輔助線就是其高線，建立空間直線坐標系必須根據題目的條件找出從同一點出發的三條兩兩垂直的直線．

(2)求坐標易出錯的原因有：一是弄不清y軸與CD，CB的位置關系；二是忽略了重心定理的應用；三是忽視了點的位置對坐標的影響，如點B的縱坐標應是BM長的相反數．另外解答本類問題還常出現計算錯誤而失分．所以要加強計算能力的訓練與培養．

規律總結：(1)建立空間直角坐標系．在解答有關正三棱錐的問題36易錯點

空間點的坐標的求法

[例4]

如下圖所示，在底面是菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面的邊長為a，且有一個角為120°，側棱長為2a，在空間直角坐標系中確定點A1，D，C的坐標．

[錯解]

A1(a,0,0)，D(a2，0，a)，C(0，a,2a)．

易錯點空間點的坐標的求法[例4]如下圖所示，在底面是菱37[思路分析]

錯解主要是不知道點的坐標是用點在各個坐標平面xOy，yOz，zOx的射影來確定．

[思路分析]錯解主要是不知道點的坐標是用點在各個坐標平面x38[正解]

∵點A1在xOy坐標平面內，∴點A1的豎坐標為0.又由平面幾何知識得Ox軸與A1D1垂直且平分，

∴A1H＝a2，OH＝32a，∴A132a，－a2，0.同理可得D32a，a2，2a，C(0，a,2a)．

[正解]∵點A1在xOy坐標平面內，∴點A1的豎坐標為0.39

例5．如圖所示，V－ABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F分別為BC，CD的中點．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如上所示空間直角坐標系，試分別寫出各個頂點的坐標．

例5．如圖所示，V－ABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F40[解析]

∵底面是邊長為2的正方形，

∴|CE|＝|CF|＝1.∵O點是坐標原點，

∴C(1,1,0)，同樣的方法可以確定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．

∵V在z軸上，∴V(0,0,3)．

[解析]∵底面是邊長為2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝41§4.3空間直角坐標系X§4.3空間直角坐標系X421、空間直角坐標系的建立;2、空間點的坐標;3、特殊位置的點的坐標;4、空間點的對稱問題。1、空間直角坐標系的建立;2、空間點的坐標;3、特殊位置的43xO數軸上的點可以用唯一的一個實數表示-1-2123AB數軸上的點xO數軸上的點可以用唯一的一個實數表示-1-2123AB數軸44平面中的點可以用有序實數對(x，y)來表示點xyPOxy(x,y)平面坐標系中的點平面中的點可以用有序實數對(x，y)來表示點xyPOxy(x45yOxz在教室里同學們的位置坐標yOxz在教室里同學們的位置坐標46以單位正方體的頂點O為原點,分別以射線OA，OC，的方向為正方向,以線段OA,OC,的長為單位長度,建立三條數軸:x軸,y軸,z軸,這時我們建立了一個空間直角坐標系。CBADOABCDODOOxyz一、空間直角坐標系：yxzABC'A'B'C'DO點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xoy平面、yoz平面、和zox平面．以單位正方體的頂點O為原點,分別以射線OA，OC，的方向為正47xyzO讓右手拇指在空間直角坐標系中，軸食指指向軸的正方向指向

yx，軸的如果中指能指向的正方向

z，則稱這個坐標系為正方向，xyz右手直角坐標系xyzO讓右手拇指在空間直角坐標系中，軸食指指向軸的正方向指48oxyz1.x軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于y軸．135013502.y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的單位長度的一半．空間直角坐標系的畫法：oxyz1.x軸與y軸、x軸與z軸均成1350,而z軸垂直于49

空間直角坐標系中，三條坐標軸(

)A．兩兩垂直且相交于一點

B．兩兩平行

C．僅有兩條不垂直

D．僅有兩條垂直

[答案]

A空間直角坐標系中，三條坐標軸()A．兩兩垂直且相交50空間直角坐標系中任意一點的位置如何表示？空間直角坐標系中任意一點的位置如何表示？51二、空間點的坐標：設點M是空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點P、Q和R．yxzM’OMRQP二、空間點的坐標：設點M是空間的一個定點，過點M分別作垂直于52二、空間點的坐標：設點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x,y和z,這樣空間一點M的坐標可以用有序實數組(x，y，z)來表示,(x，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x，y，z)．其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標．yxzM’OMRQP二、空間點的坐標：設點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分53yxzABC'A'B'C'DOOABC—A’B’C’D’是單位正方體．以O為原點，分別以射線OA,OC,OD’的方向為正方向，以線段OA,OC,OD’的長為單位長，建立空間直角坐標系O—xyz．試說出正方體的各個頂點的坐標．并指出哪些點在坐標軸上，哪些點在坐標平面上．(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)空間點的坐標（以正方體為例）yxzABC'A'B'C'DOOABC—A’B’C’D’是單54小提示：坐標軸上的點至少有兩個坐標等于0；坐標面上的點至少有一個坐標等于0。點P的位置原點OX軸上AY軸上BZ軸上C坐標形式點P的位置XY面內DYZ面內EZX面內F坐標形式?Oxyz111?A?D?C?B?E?F(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)三、特殊位置的點的坐標：小提示：坐標軸上的點至少有兩個坐標等于0；坐標面上的點至少有55xoy平面上的點豎坐標為0yoz平面上的點橫坐標為0xoz平面上的點縱坐標為0x軸上的點縱坐標和豎坐標都為0z軸上的點橫坐標和縱坐標都為0y軸上的點橫坐標和豎坐標都為0(1)坐標平面內的點:(2)坐標軸上的點:?Oxyz111?A?D?C?B?E?Fxoy平面上的點豎坐標為0yoz平面上的點橫坐標為0xoz平56xyzO(3,4,2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,2)(3,4,0)3AB'A'D'B'C2C4.,243:1寫出所有點的坐標，，中，在長方體例DOOCOACBADOABC0,0,02,4,02,0,3xyzO(3,4,2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,57練習1、如下圖，在長方體OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于點P.分別寫出點C，B`，P的坐標.zxyOACD`BA`B`C`PP`343練習1、如下圖，在長方體OABC-D`A`B`C`中，|OA58練習zxyABCOA`D`C`B`QQ`2、如圖，棱長為a的正方體OABC-D`A`B`C`中，對角線OB`于BD`相交于點Q.頂點O為坐標原點，OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上.試寫出點Q的坐標.練習zxyABCOA`D`C`B`QQ`2、如圖，棱長為a的59[拓展]1．空間中兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，線段P1P2的中點為P0(x0，y0，z0)，則

x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22，z0＝z1＋z22.這個公式稱為空間直角坐標系中的中點坐標公式，是平面直角坐標系中中點坐標公式的拓展．

[拓展]1．空間中兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x60

點P(1,4，－3)與點Q(3，－2,5)的中點坐標是(

)A．(4,2,2)

B．(2，－1,2)C．(2,1,1)

D．(4，－1,2)[答案]

C點P(1,4，－3)與點Q(3，－2,5)的中點坐標是(61[解析]

根據空間中點坐標公式，可得中點坐標為(1＋32，4－22，－3＋52)，即(2,1,1)．

[解析]根據空間中點坐標公式，可得中點坐標為(1＋32，462想一想：在空間直角坐標下，如何找到給定坐標的空間位置？D（1，3，4）想一想：在空間直角坐標下，如何找到給定坐標的空間位置？D（163zxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)13D`4zxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)13D`64zxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)134D`DzxyO在空間直角坐標系中標出D點：D(1,3,4)134D65xoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,1)P3(1,1,1)Pxoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,166點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(1)與點M關于x軸對稱的點:(2)與點M關于y軸對稱的點:(3)與點M關于z軸對稱的點:(4)與點M關于原點對稱的點:(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)四、空間點的對稱問題：規律：關于誰對稱誰不變，其余的相反。點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(1)與67xoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,1)P3(1,1,1)Pxoyz1(1,1,1)P(1,1,1)P2(1,1,1)68點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(5)與點M關于平面xOy的對稱點:(x,y,-z)(-x,y,z)(x,-y,z)五、空間點的對稱問題：規律：關于誰對稱誰不變，其余的相反。(6)與點M關于平面yOz的對稱點:(7)與點M關于平面zOx的對稱點:點M(x,y,z)是空間直角坐標系O-xyz中的一點(5)與692．在空間直角坐標系中，點M(－1,2，－4)關于x軸的對稱點的坐標是(

)A．(－1，－2,4)

B．(－1，－2，－4)C．(1,2，－4)

D．(1，－2,4)[答案]

A2．在空間直角坐標系中，點M(－1,2，－4)關于x軸的對稱70五、

空間兩點間的距離公式

空間中點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之間的距離是|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[破疑點]空間兩點間的距離公式是平面上兩點間的距離公式的推廣，平面上兩點間的距離公式又可看成是空間兩點間的距離公式的特例．

五、空間兩點間的距離公式空間中點P1(x1，y1，z171

空間直角坐標系中，點A(－3,4,0)和點B(2，－1,6)的距離是(

)A．243

B．221C．9

D.86[答案]

D[解析]

|AB|＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.空間直角坐標系中，點A(－3,4,0)和點B(2，－1,72

(2012～2013·廣州模擬)如下圖所示，已知正四面體A－BCD的棱長為1，E，F分別為棱AB、CD的中點．

(1)建立適當的空間直角坐標系，寫出頂點A，B，C，D的坐標．

(2)求EF的長．

提升訓練例3、(2012～2013·廣州模擬)如下圖所示，已知正四面體A73[分析]

正四面體也是正三棱錐，即其頂點和底面正三角形中心的連線是正四面體的高，以底面正三角形的中心為坐標原點，高為z軸，建立空間直角坐標系．

[分析]正四面體也是正三棱錐，即其頂點和底面正三角形中心的74[解析]

(1)設底面正三角形BCD的中心為點O，連接AO，DO，延長DO交BC于點，則AO⊥平面BCD，M是BC的中點，且DM⊥BC，過點O作ON∥BC，交CD于點N，則ON⊥DM，故以O為坐標原點，OM，ON，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如上圖所示的空間直角坐標系，

∵正四面體A－BCD的棱長為1，O為底面△BCD的中心．

∴OD＝23·DM＝231－14＝33，OM＝13DM＝36.OA＝AD2－DO2＝1－39＝63.[解析](1)設底面正三角形BCD的中心為點O