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角動量的加法角動量的加法

一、LS的疊加例子對粒子的描述應同時考慮空間與內稟自由度。如自旋1/2粒子的基矢屬于由位置本征矢展開的無窮維空間和自旋本征矢構成的二維空間的直積位置空間的算符與自旋空間的任意算符對易。波函數空間部分基矢可用|nlm>構成，對應L2和Lz的本征值分別為。自旋部分|±>對應的S2和Sz本征值分別為轉動算符：下面會介紹態矢也可用J2,Jz

,

L2和S2的共同本征矢為基展開兩自旋1/2粒子如兩電子在不考慮軌道自由度時,總自旋算符為S=S1+S2.由可導出由此知相關算符的本征值：兩電子的任意自旋態可用1)S1z和S2z

或2)S2和Sz的本征矢展開：1)|++>,|+->,|-+>,|-->;2)在2)中，前者為自旋三重態而后者為自旋單態。考慮兩不同子空間的角動量算符J1和J2，其分量滿足各自的角動量對易關系作用于子空間1和2的無窮小轉動算符可寫為定義總角動量為，簡記為有限轉角的形式：上述轉動算符具有通常角動量作為轉動生成元的形式。易證：因此，以前所述關于的特征與行為均成立1）無耦合表象相互對易,取其共同本征態|j1j2;m1m2>為基2）耦合表象相互對易,取其共同本征態|j1j2;jm>為基(|jm>)由于J2與J1z(J2z)不對易，|j1j2;m1m2>不是J2的本征矢，|jm>不是J1z(J2z)的本征矢。|j1j2;m1m2>和|jm>各是一組完備基,包含了最大相互對易算符組的集合。直積空間：維數=N1*N2直和空間:維數=N1+N2表象變換由于對給定的j1,j2,m1和m2的完整組合是完備的，

有：

展開系數稱為Clebsch-Gordan系數1)由可知只有m=m1+m2的CG系數才可能不為零2)由矢量疊加模型可知，只有滿足的CG系數才可能不為零。3)CG系數據約定取實數，故

<j1j2;m1m2|j1j2;jm>=<j1j2;jm|j1

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