2.3等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用課前預習·巧設計名師課堂·一點通創新演練·大沖關第二章數列考點一考點二N0.1課堂強化

N0.2課下檢測考點三2.3第二課時課前預習·巧設計名師課堂·一點通創新演練·大沖返回返回高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[讀教材·填要點]1．等差數列前n項和的最值在等差數列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最大值；當a1<0，d>0，Sn有最小值．[讀教材·填要點]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[小問題·大思維]1．在等差數列{an}中，若a1>0，d>0或a1<0，d<0時，Sn能否取得最值？提示：當a1>0，d>0時，Sn的最小值為a1，無最大值；當a1<0，d<0時，Sn的最大值為a1，無最小值．[小問題·大思維]2．若數列{an}的通項公式為an＝2n－37，則當n為何值時Sn取得最小值？提示：∵an＝2n－37，an＋1－an＝2>0，∴{an}為遞增數列．由an＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18<0，a19>0，∴S18最小，即當n＝18時，Sn取得最小值．2．若數列{an}的通項公式為an＝2n－37，則當n為何值3．等差數列前n項和Sn與函數有哪些關系？提示：對于形如Sn＝An2＋Bn的數列一定為等差數列，且公差為2A，記住這個結論，如果已知數列的前n項和可以直接寫出公差．3．等差數列前n項和Sn與函數有哪些關系？(1)當A＝0，B＝0時，Sn＝0是關于n的常數函數(此時a1＝0，d＝0)；(2)當A＝0，B≠0時，Sn＝Bn是關于n的正比例函數(此時，a1≠0，d＝0)；(3)當A≠0，B≠0時，Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數(此時d≠0)．(4)若{an}是等差數列且d≠0，則Sn是關于n的不含常數項的二次函數．(1)當A＝0，B＝0時，Sn＝0是關于n的常數函數(此時a高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[研一題][例1]

在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn有最大值，并求出它的最大值．[研一題]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用將“a1＝20”改為“a1<0”其它條件不變，則n為何值時，Sn最?。拷猓骸逽10＝S15，∴a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，即a13＝0.又∵a1<0，∴d>0，∴當n＝12或13時，Sn取最小值．將“a1＝20”改為“a1<0”其它條件不變，則n[悟一法]在等差數列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正(負)值或零，而它后面的各項皆取負(正)值，則從第1項起到該項的各項的和為最大(小)．由于Sn為關于n的二次函數，也可借助二次函數的圖象或性質求解．[悟一法][通一類]1．在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n項和Sn的最大值．[通一類]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用法三：先求出d＝－2(同法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－2＜0，a1＝25＞0，∴a13＞0，a14＜0.故n＝13時，Sn有最大值169.法三：先求出d＝－2(同法一)，[研一題][例2]

數列{an}的前n項和Sn＝33n－n2.(1)求證：{an}是等差數列；(2)問{an}的前多少項和最大；(3)設bn＝|an|，求數列{bn}的前n項和S′n.[研一題][自主解答]

(1)證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1滿足an＝34－2n.故{an}的通項為an＝34－2n.所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.故數列{an}是以32為首項，－2為公差的等差數列．[自主解答](1)證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數列{an}的前17項大于或等于零．又a17＝0，故數列{an}的前16項或前17項的和最大．(3)由(2)知，當n≤17時，an≥0；當n≥18時，an＜0.所以當n≤17時，S′n＝b1＋b2＋…＋bn(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當n≥18時，S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[悟一法]等差數列的各項取絕對值后組成數列{|an|}．若原等差數列{an}中既有正項，也有負項，那么{|an|}不再是等差數列，求和關鍵是找到數列{an}的正負項分界點處的n值，再分段求和．[悟一法][通一類]2．在等差數列中，a10＝23，a25＝－22，(1)該數列第幾項開始為負；(2)求數列{|an|}的前n項和．[通一類]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[研一題][例3]一個水池有若干進水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時放水，那么24min可注滿水池．如果開始時全部放開，以后每隔相等的時間關閉一個水龍頭，到最后一個水龍頭關閉時，恰好注滿水池，而且最后一個水龍頭放水的時間恰好是第一個水龍頭放水時間的5倍，問最后關閉的這個水龍頭放水多長時間？[研一題]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[悟一法]解決實際問題首先要審清題意，明確條件與問題之間的數量關系，然后建立相應的數學模型．本題就是建立了等差數列這一數學模型，以方程為工具來解決問題的．[悟一法][通一類]3．假設某市2011年新建住房400萬

m2，其中有250萬

m2是中低價房，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%，另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬

m2，那么，到哪一年底，該市歷年所建中低價房的累計面積(以2011年為累計的第一年)將等于4750萬

m2?[通一類]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用令25n2＋225n＝4750，即n2＋9n－190＝0.而n是正整數，∴n＝10.∴到2020年底，該市歷年所建中低價房的累計面積等于4750萬平方米.令25n2＋225n＝4750，等差數列{an}中，設Sn為其前n項和，且a1>0，S3＝S11，則當n為多少時，Sn最大．

[解]法一：要求數列前多少項的和最大，從函數的觀點來看，即求二次函數Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函數最值的方法來求當n為多少時，Sn最大．等差數列{an}中，設Sn為其前n項和，且高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，由于a1>0，可知d≠0，所以a7>0，a8<0.所以當n＝7時，Sn最大．法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，[點評]求數列前n項和的最值問題的方法有：(1)運用配方法轉化為二次函數，借助二次函數的單調性以及數形結合，從而使問題得解；(2)通項公式法：求使an≥0成立的最大n即可．這是因為：當an＞0時，Sn＞Sn－1，即Sn單調遞增；當an＜0，Sn＜Sn－1，即Sn單調遞減．[點評]求數列前n項和的最值問題的方法高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用點擊此圖片進入NO.1課堂強化點擊此圖片進入NO.1課堂強化點擊此圖片進入NO.2課下檢測點擊此圖片進入NO.2課下檢測2.3等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用課前預習·巧設計名師課堂·一點通創新演練·大沖關第二章數列考點一考點二N0.1課堂強化

N0.2課下檢測考點三2.3第二課時課前預習·巧設計名師課堂·一點通創新演練·大沖返回返回高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[讀教材·填要點]1．等差數列前n項和的最值在等差數列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最大值；當a1<0，d>0，Sn有最小值．[讀教材·填要點]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[小問題·大思維]1．在等差數列{an}中，若a1>0，d>0或a1<0，d<0時，Sn能否取得最值？提示：當a1>0，d>0時，Sn的最小值為a1，無最大值；當a1<0，d<0時，Sn的最大值為a1，無最小值．[小問題·大思維]2．若數列{an}的通項公式為an＝2n－37，則當n為何值時Sn取得最小值？提示：∵an＝2n－37，an＋1－an＝2>0，∴{an}為遞增數列．由an＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18<0，a19>0，∴S18最小，即當n＝18時，Sn取得最小值．2．若數列{an}的通項公式為an＝2n－37，則當n為何值3．等差數列前n項和Sn與函數有哪些關系？提示：對于形如Sn＝An2＋Bn的數列一定為等差數列，且公差為2A，記住這個結論，如果已知數列的前n項和可以直接寫出公差．3．等差數列前n項和Sn與函數有哪些關系？(1)當A＝0，B＝0時，Sn＝0是關于n的常數函數(此時a1＝0，d＝0)；(2)當A＝0，B≠0時，Sn＝Bn是關于n的正比例函數(此時，a1≠0，d＝0)；(3)當A≠0，B≠0時，Sn＝An2＋Bn是關于n的二次函數(此時d≠0)．(4)若{an}是等差數列且d≠0，則Sn是關于n的不含常數項的二次函數．(1)當A＝0，B＝0時，Sn＝0是關于n的常數函數(此時a高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[研一題][例1]

在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n取何值時，Sn有最大值，并求出它的最大值．[研一題]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用將“a1＝20”改為“a1<0”其它條件不變，則n為何值時，Sn最小？解：∵S10＝S15，∴a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，即a13＝0.又∵a1<0，∴d>0，∴當n＝12或13時，Sn取最小值．將“a1＝20”改為“a1<0”其它條件不變，則n[悟一法]在等差數列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正(負)值或零，而它后面的各項皆取負(正)值，則從第1項起到該項的各項的和為最大(小)．由于Sn為關于n的二次函數，也可借助二次函數的圖象或性質求解．[悟一法][通一類]1．在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n項和Sn的最大值．[通一類]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用法三：先求出d＝－2(同法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－2＜0，a1＝25＞0，∴a13＞0，a14＜0.故n＝13時，Sn有最大值169.法三：先求出d＝－2(同法一)，[研一題][例2]

數列{an}的前n項和Sn＝33n－n2.(1)求證：{an}是等差數列；(2)問{an}的前多少項和最大；(3)設bn＝|an|，求數列{bn}的前n項和S′n.[研一題][自主解答]

(1)證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1滿足an＝34－2n.故{an}的通項為an＝34－2n.所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.故數列{an}是以32為首項，－2為公差的等差數列．[自主解答](1)證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數列{an}的前17項大于或等于零．又a17＝0，故數列{an}的前16項或前17項的和最大．(3)由(2)知，當n≤17時，an≥0；當n≥18時，an＜0.所以當n≤17時，S′n＝b1＋b2＋…＋bn(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當n≥18時，S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[悟一法]等差數列的各項取絕對值后組成數列{|an|}．若原等差數列{an}中既有正項，也有負項，那么{|an|}不再是等差數列，求和關鍵是找到數列{an}的正負項分界點處的n值，再分段求和．[悟一法][通一類]2．在等差數列中，a10＝23，a25＝－22，(1)該數列第幾項開始為負；(2)求數列{|an|}的前n項和．[通一類]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[研一題][例3]一個水池有若干進水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時放水，那么24min可注滿水池．如果開始時全部放開，以后每隔相等的時間關閉一個水龍頭，到最后一個水龍頭關閉時，恰好注滿水池，而且最后一個水龍頭放水的時間恰好是第一個水龍頭放水時間的5倍，問最后關閉的這個水龍頭放水多長時間？[研一題]高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用高中數學課件第二章23等差數列的前n項和第二課時等差數列前n項和的應用[悟一法]解決實際問題首先要審清題意，明確條件與問題之間的數量關系，然后建立相應的數學模型．本題就是建立了等差數列這一數學模型，以方程為工具來解決問題的．[悟一法][通一類]3．假設某市2011年新建住房400萬

m2，其中有250萬

m2是中低價房，預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%，另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬

m2，那么，到哪一年底，該市歷年所建中低價房的累計面積(以2011年為累計的第一年)將等于4750萬

m2?[通一類]高中數學課件第二章23等差