金融數學第二章風險、風險厭惡與隨機占優金融數學第二章風險、風險厭惡與隨機占優1資產定價理論的微觀經濟基礎

經濟理論通常假定：投資人是風險厭惡的風險有多種定義，不確定性從定量模型化解釋風險投資人面臨風險的決策（第一節）Rothschild和Stiglitz提出隨機占優（第二節）資產定價理論的微觀經濟基礎經濟理論通常假定：投資人是風險厭2對風險的一般認識：經濟系統中狀態變量的事前不確定性對風險的厭惡引發投資人的投資組合的分散化問題以及對所需交換的資產的合理定價問題金融經濟學框架的核心問題：如何分散風險如何確定風險的合理價格第一節風險與風險偏好對風險的一般認識：第一節風險與風險偏好3風險厭惡、風險中性與風險偏好的數學表述

伯努利（Bernoulli）效用函數（確定值）Von-Neumann-Morgenstern預期效用函數“預期”有“期望”之義，隨機變量的數學期望例2.1。Page46風險厭惡、風險中性與風險偏好的數學表述伯努利（Bernou4風險厭惡的數學定義如果F(x)是二項分布，則，風險厭惡——伯努利效用函數為凹函數嚴格風險厭惡——嚴格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：對任意F，有風險厭惡——效用函數為嚴格凹函數證明需要使用Jensen不等式。同樣：可以定義風險中性和風險偏好風險厭惡的數學定義如果F(x)是二項分布，則，5絕對風險厭惡與風險溢價

對風險厭惡程度有大有小，絕對風險厭惡，風險溢價ρ，對風險的補償，數學定義如下Pratt(1964)定義絕對風險厭惡系數絕對風險厭惡系數越大，越厭惡風險，必需給予的溢價補償也越大絕對風險厭惡與風險溢價對風險厭惡程度有大有小，絕對風險厭惡6相對風險厭惡與風險溢價Pratt(1964)定義相對風險厭惡系數相對風險厭惡系數越大，所要求的單位方差的相對風險溢價補償也越高

相對風險厭惡與風險溢價Pratt(1964)定義相對風險厭惡7風險溢價和風險厭惡對投資人決策影響的實例說明

例2.2。當前財富為W=a+(W－a)今后財富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，優化問題關于a是凹函數，一階導數＝0，（2.17）a＊是解，是W的函數，（2.17）中對W求導數，（2.18）。風險溢價和風險厭惡對投資人決策影響的實例說明例2.2。當前8隨W的變化，風險厭惡投資者的a的動態變化假設絕對風險厭惡系數不隨W增加而增加對r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）從（2.17）得（2.21）u是凹函數，得（2.21a）隨W的變化，風險厭惡投資者的a的動態變化9最后風險厭惡的投資人投資于風險資產的財富隨著總財富的上升而增加

關于絕對風險厭惡系數不隨W增加而增加經過推導可知，要求三階導數為正數度量風險厭惡在于比較不同投資人對同一風險決策的態度。在資產定價理論中，一般假定存在一個典型性投資人。需要處理典型投資人對不同資產的風險與收益的判斷，即資產風險的度量問題。最后10第二節隨機占優怎樣才能認為資產A比資產B更具風險？簡化的風險比較：均值-方差效用用方差作為唯一標準不可行（期望可能越大）即使一種資產X預期收益等于另一資產Y，而X方差小于Y，風險厭惡者也不一定偏好于X

如下面的例子第二節隨機占優怎樣才能認為資產A比資產B更具風險？11E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果選擇風險厭惡效用函數E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=712均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中心矩。只有當包括三階矩以上為0時，均值方差效用才與真實的預期效用一致。兩端取期望（w是期望值，數值），利用均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中13資產風險度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比較不同資產風險的分析框架比較資產收益的分布，而不比較不同投資人所依賴的不同的效用函數。一階隨機占優、二階隨機占優以及均值不變下的分布擴展MPS假設有兩種資產A和B。A收益服從分布F（·），B服從G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起見，令收益均屬于區間[0，1]）。資產風險度量的一般方法Rothschild—Stiglitz14一階隨機占優FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定義：對任意非減的函數u：R→R，定理2.1是FSD的等價條件。注意不等號方向一階隨機占優FSDFirst-orderStochast15FSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0zFSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z16二階隨機占優SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定義：F二階占優于G，當且僅當且對某些X值的集合，不等號成立。符號可以證明，如果SSD成立，則，投資人更偏好A（或F），B（或G）更具風險SSD的三個等價條件二階隨機占優SSDSecond-orderStocha17SSD圖形表示取正號取正號+z取負號FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD圖形表示取正號取正號+z取負號FA(z)FB(z)z*18SSD其他特性SSD的3個等價表述“d”表示“依分布相等”引入“展形spread”的概念SSD其他特性SSD的3個等價表述19均值不變下的分布展形MPSmeanpreservingspreads——MSP討論限定于兩種資產相同的預期收益圖形表示命題2-2命題2-3G是F的MPS，等價于F，SSD，G均值不變下的分布展形MPSmeanpreservings20Jensen’sinequality證明

u是凹函數證明過程：在均值點泰勒展開Jensen’sinequality證明u是凹函數21金融數學第二章風險、風險厭惡與隨機占優金融數學第二章風險、風險厭惡與隨機占優22資產定價理論的微觀經濟基礎

經濟理論通常假定：投資人是風險厭惡的風險有多種定義，不確定性從定量模型化解釋風險投資人面臨風險的決策（第一節）Rothschild和Stiglitz提出隨機占優（第二節）資產定價理論的微觀經濟基礎經濟理論通常假定：投資人是風險厭23對風險的一般認識：經濟系統中狀態變量的事前不確定性對風險的厭惡引發投資人的投資組合的分散化問題以及對所需交換的資產的合理定價問題金融經濟學框架的核心問題：如何分散風險如何確定風險的合理價格第一節風險與風險偏好對風險的一般認識：第一節風險與風險偏好24風險厭惡、風險中性與風險偏好的數學表述

伯努利（Bernoulli）效用函數（確定值）Von-Neumann-Morgenstern預期效用函數“預期”有“期望”之義，隨機變量的數學期望例2.1。Page46風險厭惡、風險中性與風險偏好的數學表述伯努利（Bernou25風險厭惡的數學定義如果F(x)是二項分布，則，風險厭惡——伯努利效用函數為凹函數嚴格風險厭惡——嚴格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：對任意F，有風險厭惡——效用函數為嚴格凹函數證明需要使用Jensen不等式。同樣：可以定義風險中性和風險偏好風險厭惡的數學定義如果F(x)是二項分布，則，26絕對風險厭惡與風險溢價

對風險厭惡程度有大有小，絕對風險厭惡，風險溢價ρ，對風險的補償，數學定義如下Pratt(1964)定義絕對風險厭惡系數絕對風險厭惡系數越大，越厭惡風險，必需給予的溢價補償也越大絕對風險厭惡與風險溢價對風險厭惡程度有大有小，絕對風險厭惡27相對風險厭惡與風險溢價Pratt(1964)定義相對風險厭惡系數相對風險厭惡系數越大，所要求的單位方差的相對風險溢價補償也越高

相對風險厭惡與風險溢價Pratt(1964)定義相對風險厭惡28風險溢價和風險厭惡對投資人決策影響的實例說明

例2.2。當前財富為W=a+(W－a)今后財富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，優化問題關于a是凹函數，一階導數＝0，（2.17）a＊是解，是W的函數，（2.17）中對W求導數，（2.18）。風險溢價和風險厭惡對投資人決策影響的實例說明例2.2。當前29隨W的變化，風險厭惡投資者的a的動態變化假設絕對風險厭惡系數不隨W增加而增加對r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）從（2.17）得（2.21）u是凹函數，得（2.21a）隨W的變化，風險厭惡投資者的a的動態變化30最后風險厭惡的投資人投資于風險資產的財富隨著總財富的上升而增加

關于絕對風險厭惡系數不隨W增加而增加經過推導可知，要求三階導數為正數度量風險厭惡在于比較不同投資人對同一風險決策的態度。在資產定價理論中，一般假定存在一個典型性投資人。需要處理典型投資人對不同資產的風險與收益的判斷，即資產風險的度量問題。最后31第二節隨機占優怎樣才能認為資產A比資產B更具風險？簡化的風險比較：均值-方差效用用方差作為唯一標準不可行（期望可能越大）即使一種資產X預期收益等于另一資產Y，而X方差小于Y，風險厭惡者也不一定偏好于X

如下面的例子第二節隨機占優怎樣才能認為資產A比資產B更具風險？32E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果選擇風險厭惡效用函數E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=733均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中心矩。只有當包括三階矩以上為0時，均值方差效用才與真實的預期效用一致。兩端取期望（w是期望值，數值），利用均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中34資產風險度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比較不同資產風險的分析框架比較資產收益的分布，而不比較不同投資人所依賴的不同的效用函數。一階隨機占優、二階隨機占優以及均值不變下的分布擴展MPS假設有兩種資產A和B。A收益服從分布F（·），B服從G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起見，令收益均屬于區間[0，1]）。資產風險度量的一般方法Rothschild—Stiglitz35一階隨機占優FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定義：對任意非減的函數u：R→R，定理2.1是FSD的等價條件。注意不等號方向一階隨機占優FSDFirst-orderStochast36FSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0zFSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z37二階隨機占優SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定義：F二階占優于G，當且僅當且對某些X值的集合，不等號成立。符號可以證明，如果SSD成立，則，投資人更偏好A（或F），B（或G）更具風險SSD的三個等價條件二階隨機占優SSDSecond-orderStocha38SSD圖形表示取正號取正號+z取負號FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD圖形表示取正號取正號+z取負號FA(z)FB(z)z*39SSD其他特性SSD的3個