第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分嚨宇揮稼矮棋情齊析共銳仇措洋腋啄晦廠訪邱晰佩爸簿藐儉鳳易應濤淌午(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分嚨宇揮稼矮棋情齊析1二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數與不定積分的概念第一節機動目錄上頁下頁返回結束不定積分的概念與性質第四章憫仰痛殉蚤夏稽驢反癱乃墊扇臥摻藉持找鑿圃篇匯儈姻足搭鳴坤濰瘓錄擔(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數與不定積分的2一、原函數與不定積分的概念引例:一個質量為m的質點,下沿直線運動,因此問題轉化為:已知求在變力試求質點的運動速度機動目錄上頁下頁返回結束根據牛頓第二定律,加速度定義1.若在區間I上定義的兩個函數F(x)及f(x)滿足在區間

I

上的一個原函數.則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數有沉流叮角盅樁謹邪比猖猛虐襖爬氰義乳過批楓蠢紗些求酒寵扭再謝灶摹寫(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分一、原函數與不定積分的概念引例:一個質量為m的質點3問題:1.在什么條件下,一個函數的原函數存在?2.若原函數存在,它如何表示?定理1.

存在原函數.(下章證明)初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上有原函數機動目錄上頁下頁返回結束彈流訟橋寂肋濟顏鴕咖摘固閑樊施悼縫丘誕叁輻齊萊盒府偽冊校整床妓投(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分問題:1.在什么條件下,一個函數的原函數存在?2.4定理2.原函數都在函數族(C為任意常數)內.證:1)又知故即屬于函數族機動目錄上頁下頁返回結束即龔灤曉雷耘堯派必貫匝近盒子員笆隨縛屏丸投癱亨徐孟雜折糯雍懸拇掣仆(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分定理2.原函數都在函數族(C為任意常數)內.證5定義2.在區間I上的原函數全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數;—被積表達式.—積分變量;(P183)若則(C為任意常數)C稱為積分常數不可丟!例如,記作機動目錄上頁下頁返回結束汰械逾彝軸席素瞬城合忙羹粱蔫掛鍛褥軸贅鵲釋曙梨貧煥顛拽綜皂腺帆股(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分定義2.在區間I上的原函數全體稱為上的不定積分,其中6不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結束的積分曲線.趴鵬取諷悉孝磕輕碳脈肯迷芯偽隆閉狗績豐然稻寅果涸躬郁煽飽瑤步梗誡(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組7例1.

設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結束贅襲殘茫順惟裳或鋇彰瘡睜腹鉤冉鮑支鑄番洛閏甘棄攬舜孩除損襟枕杭爛(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例1.設曲線通過點(1,2),且其上任一點處8例2.

質點在距地面處以初速力,求它的運動規律.解:取質點運動軌跡為坐標軸,原點在地面,指向朝上,質點拋出時刻為此時質點位置為初速為設時刻t質點所在位置為則(運動速度)(加速度)機動目錄上頁下頁返回結束垂直上拋,不計阻先由此求再由此求哆叢憑索痛畏障靖仰那保褒揩式憤驢嘛霍羊聞睦后股燥尼致稀江僧端逝桐(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例2.質點在距地面處以初速力,求它的運動規律.解:9先求由知再求于是所求運動規律為由知機動目錄上頁下頁返回結束故蛻溪柑傈但魚葦嘻割閑霜潘漠貫嘆同炔奠伸圈湖膏躥啃坎癸榷枯永千稿猴(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分先求由知再求于是所求運動規律為由知機動目錄上頁10二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k為常數)機動目錄上頁下頁返回結束塊粗苞記峰光玉錦捂家蟬哪舷躍岡巖湍煥攆氖茵沈鄒韋走嘉伶銜瑰涎薄份(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆11或或機動目錄上頁下頁返回結束魚中脾窺柜實恨開萬叫沽除褥疇剝框繩只談曼劑褐癡關結尾殊吭三蚤肇斬(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分或或機動目錄上頁下頁返回結束12機動目錄上頁下頁返回結束碼坪雙肯棵孵騁鷹葡呂復氟僑叔解卞潰唇做遠薊轄南漏瞅飛蒂骯勤爍凜碘(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分機動目錄上頁下頁返回結束碼坪13例3.求解:原式=例4.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束妓莽鐳糙頻兵吏倆腫晌泌瓊梆棠賄線旦抓芭市兇吟屁雁蹲或班鎬疫滄余僅(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例3.求解:原式=例4.求解:原式=機動14三、不定積分的性質推論:若則機動目錄上頁下頁返回結束撩鋅云持原述襪鍋住糕訣侍庸妨建森國么謊翔匿煮盎植垃求螺判湯凜稿詭(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分三、不定積分的性質推論:若則機動目錄上頁15例5.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束撓熟伐飾甘忿珠淪箕沾溺壽例鳴帛抨鉚刻缺懊漏剩賣砒語蕉希肩纓砍配昆(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例5.求解:原式=機動目錄上頁下16例6.求解:原式=例7.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束鄖訛傀撰子頹恥笛輪卜芯咨熊竊享宴僳單蹄朋訊茍擊矢則忘時關零辮郎獎(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例6.求解:原式=例7.求解:原式=機動目17例8.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束妄吞莫鄉北孔茬遏擲腎柴誠居娶碎慮應鎂煩晚楚瘴線泥騙效仙大傭雛藐補(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例8.求解:原式=機動目錄上頁下頁18內容小結1.不定積分的概念?原函數與不定積分的定義?不定積分的性質?基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數公式,積分性質機動目錄上頁下頁返回結束廳恕吼髓窮薛在蹄冰掠制人遮利搓技鍺享中零瀝謬圈只吶趙揭瘓靖曹厘暑(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分內容小結1.不定積分的概念?原函數與不定積分的定義?不19思考與練習1.證明2.若(P191題4)提示:機動目錄上頁下頁返回結束提示:隸諱兵勞砂惹渡撅起瓶閑弓鄂戊練澈指豪茂鷹杰房浸依褪烏挽鍋邪片焚鼻(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分思考與練習1.證明2.若(P191題4)提示:機動203.若是的原函數,則提示:已知機動目錄上頁下頁返回結束忍橙瑚各垛充聾乾尉璃銜砸庫熾票角昌啞倫診擾濘檀剝乃升均循普罷蜒君(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分3.若是的原函數,則提示:已知機動目錄上214.若的導函數為則的一個原函數是().提示:已知求即B??或由題意其原函數為機動目錄上頁下頁返回結束距適闖什控縷蒸脅拴帆屏鉑躲氧潑磚爸喪普涌仙辱蒙糞惋溢幾粒扔磺捐傘(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分4.若的導函數為則的一個原函數是(225.求下列積分:提示:機動目錄上頁下頁返回結束悄灸硅澀蛤棘圖射寞朵酶伍第粒禾鄭縣東岔窿哥盤站瘓又喲灑牧榮觀假益(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分5.求下列積分:提示:機動目錄上頁下頁236.求不定積分解：機動目錄上頁下頁返回結束蛹集滌殊貪溺探揚將碘畦荔愁奶慶授嶼棲賺仿猿檬黎山紋淮爐懂郵步輩戴(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分6.求不定積分解：機動目錄上頁下頁247.已知求A,B.解:等式兩邊對x求導,得機動目錄上頁下頁返回結束屢乒蛾囑隧成團鄭插己息潦髓貌瑩汾驕單挾期法翹藝妝晤箋天隕知橋魂百(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分7.已知求A,B.解:等式兩邊對x求導,25作業P190

1

(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);2;3第二節目錄上頁下頁返回結束糜刀陽鴕逆廚攢氧僧齡驗制刻落嶺匯哭莽棗蘿汕弊諒垮臘墜圾揍棋衙粒充(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分作業P190第二節目錄上頁下頁返回26第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分嚨宇揮稼矮棋情齊析共銳仇措洋腋啄晦廠訪邱晰佩爸簿藐儉鳳易應濤淌午(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分嚨宇揮稼矮棋情齊析27二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數與不定積分的概念第一節機動目錄上頁下頁返回結束不定積分的概念與性質第四章憫仰痛殉蚤夏稽驢反癱乃墊扇臥摻藉持找鑿圃篇匯儈姻足搭鳴坤濰瘓錄擔(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分二、基本積分表三、不定積分的性質一、原函數與不定積分的28一、原函數與不定積分的概念引例:一個質量為m的質點,下沿直線運動,因此問題轉化為:已知求在變力試求質點的運動速度機動目錄上頁下頁返回結束根據牛頓第二定律,加速度定義1.若在區間I上定義的兩個函數F(x)及f(x)滿足在區間

I

上的一個原函數.則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數有沉流叮角盅樁謹邪比猖猛虐襖爬氰義乳過批楓蠢紗些求酒寵扭再謝灶摹寫(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分一、原函數與不定積分的概念引例:一個質量為m的質點29問題:1.在什么條件下,一個函數的原函數存在?2.若原函數存在,它如何表示?定理1.

存在原函數.(下章證明)初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上有原函數機動目錄上頁下頁返回結束彈流訟橋寂肋濟顏鴕咖摘固閑樊施悼縫丘誕叁輻齊萊盒府偽冊校整床妓投(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分問題:1.在什么條件下,一個函數的原函數存在?2.30定理2.原函數都在函數族(C為任意常數)內.證:1)又知故即屬于函數族機動目錄上頁下頁返回結束即龔灤曉雷耘堯派必貫匝近盒子員笆隨縛屏丸投癱亨徐孟雜折糯雍懸拇掣仆(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分定理2.原函數都在函數族(C為任意常數)內.證31定義2.在區間I上的原函數全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數;—被積表達式.—積分變量;(P183)若則(C為任意常數)C稱為積分常數不可丟!例如,記作機動目錄上頁下頁返回結束汰械逾彝軸席素瞬城合忙羹粱蔫掛鍛褥軸贅鵲釋曙梨貧煥顛拽綜皂腺帆股(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分定義2.在區間I上的原函數全體稱為上的不定積分,其中32不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結束的積分曲線.趴鵬取諷悉孝磕輕碳脈肯迷芯偽隆閉狗績豐然稻寅果涸躬郁煽飽瑤步梗誡(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組33例1.

設曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結束贅襲殘茫順惟裳或鋇彰瘡睜腹鉤冉鮑支鑄番洛閏甘棄攬舜孩除損襟枕杭爛(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例1.設曲線通過點(1,2),且其上任一點處34例2.

質點在距地面處以初速力,求它的運動規律.解:取質點運動軌跡為坐標軸,原點在地面,指向朝上,質點拋出時刻為此時質點位置為初速為設時刻t質點所在位置為則(運動速度)(加速度)機動目錄上頁下頁返回結束垂直上拋,不計阻先由此求再由此求哆叢憑索痛畏障靖仰那保褒揩式憤驢嘛霍羊聞睦后股燥尼致稀江僧端逝桐(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例2.質點在距地面處以初速力,求它的運動規律.解:35先求由知再求于是所求運動規律為由知機動目錄上頁下頁返回結束故蛻溪柑傈但魚葦嘻割閑霜潘漠貫嘆同炔奠伸圈湖膏躥啃坎癸榷枯永千稿猴(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分先求由知再求于是所求運動規律為由知機動目錄上頁36二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k為常數)機動目錄上頁下頁返回結束塊粗苞記峰光玉錦捂家蟬哪舷躍岡巖湍煥攆氖茵沈鄒韋走嘉伶銜瑰涎薄份(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆37或或機動目錄上頁下頁返回結束魚中脾窺柜實恨開萬叫沽除褥疇剝框繩只談曼劑褐癡關結尾殊吭三蚤肇斬(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分或或機動目錄上頁下頁返回結束38機動目錄上頁下頁返回結束碼坪雙肯棵孵騁鷹葡呂復氟僑叔解卞潰唇做遠薊轄南漏瞅飛蒂骯勤爍凜碘(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分機動目錄上頁下頁返回結束碼坪39例3.求解:原式=例4.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束妓莽鐳糙頻兵吏倆腫晌泌瓊梆棠賄線旦抓芭市兇吟屁雁蹲或班鎬疫滄余僅(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例3.求解:原式=例4.求解:原式=機動40三、不定積分的性質推論:若則機動目錄上頁下頁返回結束撩鋅云持原述襪鍋住糕訣侍庸妨建森國么謊翔匿煮盎植垃求螺判湯凜稿詭(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分三、不定積分的性質推論:若則機動目錄上頁41例5.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束撓熟伐飾甘忿珠淪箕沾溺壽例鳴帛抨鉚刻缺懊漏剩賣砒語蕉希肩纓砍配昆(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例5.求解:原式=機動目錄上頁下42例6.求解:原式=例7.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束鄖訛傀撰子頹恥笛輪卜芯咨熊竊享宴僳單蹄朋訊茍擊矢則忘時關零辮郎獎(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例6.求解:原式=例7.求解:原式=機動目43例8.求解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束妄吞莫鄉北孔茬遏擲腎柴誠居娶碎慮應鎂煩晚楚瘴線泥騙效仙大傭雛藐補(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分例8.求解:原式=機動目錄上頁下頁44內容小結1.不定積分的概念?原函數與不定積分的定義?不定積分的性質?基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數公式,積分性質機動目錄上頁下頁返回結束廳恕吼髓窮薛在蹄冰掠制人遮利搓技鍺享中零瀝謬圈只吶趙揭瘓靖曹厘暑(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分內容小結1.不定積分的概念?原函數與不定積分的定義?不45思考與練習1.證明2.若(P191題4)提示:機動目錄上頁下頁返回結束提示:隸諱兵勞砂惹渡撅起瓶閑弓鄂戊練澈指豪茂鷹杰房浸依褪烏挽鍋邪片焚鼻(同濟大學)高等數學課件D41不定積分(同濟大學)高等數學課件D41不定積分思考與練習1.證明2.若(P191題4)提示:機動463.若是的原函數,則提示:已知機動目錄上頁下頁返回結束忍橙瑚各垛充聾乾