明目標(biāo)知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測查疑缺04理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；會(huì)建立平面直角坐標(biāo)系利用直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問題；會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題.明目標(biāo)、知重點(diǎn)填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)1.用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”：平面直角坐標(biāo)系幾何元素代數(shù)幾何結(jié)論2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個(gè)原則：(1)若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.(2)常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).(3)盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,會(huì)簡化運(yùn)算過程.探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)直線與圓的方程的應(yīng)用非常廣泛,對于生產(chǎn)、生活實(shí)踐以及平面幾何中與直線和圓有關(guān)的問題,可以建立直角坐標(biāo)系,通過直線與圓的方程,將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.本節(jié)我們通過幾個(gè)例子說明直線與圓的方程在實(shí)際生活以及平面幾何中的應(yīng)用.探究點(diǎn)一直線與圓的方程的應(yīng)用例1

如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圓的圓拱跨度AB＝20m,拱高OP＝4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱A2P2的高度(精確到0.01

m).解

建立

的直角坐標(biāo)系,使圓心在y軸上.設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r,那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.

下面確定b和r的值.因?yàn)镻、B都在圓上,所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是,得到方程組02＋4－b2＝r2，10

＋0－b

＝r2

2

2解得b＝－10.5,r2＝14.52.所以,圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x＝－2代入圓的方程,得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52,即

y＋10.5＝

14.52－－22(P2

的縱坐標(biāo)

y＞0,平方根取正值).所以

y＝

14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m).答

支柱A2P2的高度約為3.86

m.與感悟

解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟為：(1)審題：從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知；

(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素；(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知；(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.訓(xùn)練1

某圓拱橋的水面跨度20

m,拱高4

m.現(xiàn)有一船,寬10

m,水面以上高3

m,這條船能否從橋下通過？解

建立

的坐標(biāo)系.依題意,有A(－10,0),B(10,0),P(0,4),D(－5,0),E(5,0).設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2,a＋102＋b2＝r2，2

2

2于是有a－10

＋b

＝r

，a2＋b－42＝r2.解此方程組,得a＝0,b＝－10.5,r＝14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2

＋(y

＋10.5)2

＝14.52(0≤y≤4).把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式,得y≈3.1.由于船在水面以上高3

m,3＜3.1,所以該船可以從橋下通過.探究點(diǎn)二

坐標(biāo)法證明幾何問題例2

已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直,求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.證明

如圖,以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA,DB所在直線分別為x軸,y軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).過四邊形ABCD外接圓的圓心O′分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E,則M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點(diǎn).O′得

x

＝xM＝

,yO′＝y(tǒng)N＝由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式,a＋c

b＋d2

2,xE＝a

yE＝d2,

2.所以|O′E|＝a＋c－a2＋b＋d－d2＝12

2

2

2

2

2

2b2＋c2.又|BC|＝

b2＋c2,所以|O′E|＝1

BC|.2|與感悟

用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.訓(xùn)練2

如圖,直角△ABC的斜邊長為定值2m,以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓,直線BC交圓于P,Q兩點(diǎn),求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值.證明

如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線BC為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,于是有B(－m,0),C(m,0),P(－n,0),Q(n,0).設(shè)A(x,y),由已知,點(diǎn)A在圓x2＋y2＝m2上.|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).探究點(diǎn)三直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用例3

一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西60km處,受影響的范圍是半徑長為20

km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北30km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？解

建立

的直角坐標(biāo)系,取10km為單位長度,由題意知輪船的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,0),(0,3),6

3所以輪船航線所在直線方程為x＋y＝1,即x＋2y－6＝0,臺(tái)風(fēng)區(qū)域邊界所在圓的方程為x2＋y2＝4.由點(diǎn)到直線的距離公式,得圓心到直線的距離|－6|12＋22d＝

＝65>2.所以直線x＋2y－6＝0與圓x2＋y2＝4相離,因此這艘輪船即使不改變航線,那么它也不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響.與感悟針對這種類型的題目,即直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中的應(yīng)用問題,關(guān)鍵是用坐標(biāo)法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,最后再還原為實(shí)際問題.訓(xùn)練3

設(shè)半徑為3

km的圓形村落,A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā),A向東,B向北,A出村后改變前進(jìn)方向,斜著沿切于村落圓周的方向前進(jìn),后來恰好與B相遇,設(shè)A、B兩人的速度一定,其比為3∶1,問A、B兩人在何處相遇？解由題意以村中心為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸的正方向,正北方向?yàn)閥軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)A、B兩人的速度分別為3v

km/h,v

km/h,設(shè)A出發(fā)a

h,在P處改變方向,又經(jīng)過b

h到達(dá)相遇點(diǎn)Q,則P(3av,0),Q(0,(a＋b)v),則|PQ|＝3bv,|OP|＝3av,|OQ|＝(a＋b)v.在Rt△OPQ中,|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.0－va＋b3av－03kPQ＝

,∴kPQ＝－4.4設(shè)直線

PQ

的方程為

y＝－3

＋m,x由PQ與圓x2＋y2＝9相切,42＋324|－4m|得 ＝3,解得

m＝15,4故

A、B兩人相遇在正北方離村落中心15

km

處.當(dāng)堂測·查疑缺1

2

3

41.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi),過點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(

)A.5

2B.10

2D.20

2C.15

2解析

圓的方程化為(x－1)2＋(y－3)2＝10,設(shè)圓心為G,

G(1,3),最長弦AC為過E的直徑,1

2

3

4則|AC|＝2

10,最短弦BD為與GE垂直的弦,

,易得|BG|＝

10,|EG|＝

0－12＋1－32＝

5,|BD|＝2|BE|＝2

|BG|2－|EG|2＝2

5.所以四邊形ABCD

的面積答案

B22.若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是

.1

2

3

4解析

,在

Rt△OO1A

中,OA＝

5,O1A＝2

5,∴OO1＝5,1

2

3

4∴AC＝

5×2

5＝2,5∴AB＝4.答案

41

2

3

43.已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC,BD,則四邊形ABCD

的面積為20

6

.1

2

3

44.已知集合A＝{(x,y)|x－y＋m≥0},集合B＝{(x,y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝?,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.解析

如圖,A＝{(x,y)|x－y＋m≥0}表示直線x－y＋m＝0及其右下方區(qū)域,B＝{(x,y)|x2＋y2≤1}表示圓x2＋y2＝1及其,即1

2

3

4要使A∩B＝?,則直線x－y＋m＝0在圓x2＋y2＝1的下方,|0－0＋m|2>1,故

m<－

2.答案

m<－

2呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律