專題1列方程解應用題例1一個兩位數，個位與十位上數字之和為9,如果把這個兩位數的個位數字與十位數字對調，則所得到的新的兩位數比原來的兩位數大9。求原來的兩位數。思路點撥：設原來的兩位數的十位數字為x,則個位數字為9-x,這個兩位數就為10x+(9-x),新的兩位數的十位數字為(9-x),個位數字為xo新兩位數為10(9—x)+x,該題的等量關系式為：新的兩位數一原來的兩位數=9。解答：設十位上的數字為x,則個位上的數字為9—x,那么，就得到10X(9—x)+x—[10x+(9—x)]=990—10x+x—10x—9+x=981-18x=9X=4【跟蹤練習1】一個兩位數，它的十位數字比個位數字少3,且十位數字與個位數字之和是這個兩位數的；,求這個兩位數。例2甲、乙兩個數，甲數X以乙數商2余17。乙數的10倍除以甲數商3余45。求甲、乙二數。思路點撥：被除數、除數、商和余數的關系：被除數=除數X商+余數。如果設乙數為x,則根據甲數除以乙數商2余17,得甲數=2x+17。又根據乙數的10倍除以甲數商3余45得10x=3(2x+17)+45,列出方程。解答：設乙數為x,則甲數為2x+17,那么

10x=3(2x+17)+4510x=6x+51+454x=96X=242x+l7=2X24X17=65。答：甲數是65,乙數是24。【跟蹤練習2］被除數與除數的和是50,如果被除數與除數都減去7,那么被除數是除數的3倍，原來的被除數是o例3兄妹二人同時離家云上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時，發現忘帶課本，立即回家去取，往回走了180米和妹妹相遇。他們家離學校有多遠？思想占據：從圖2-1中可看出，如果設他們家到學校的距離為x米，那么哥哥走了(x+180)米，而妹妹走了(x-180)米。哥哥的速度是每分鐘90米,妹妹的速度是每分鐘60米，而他們同時從家中出發，所用時間相等。因此，利用關系式：時間里.可砒中方聶(x-180)米 用關系式：時間里.可砒中方聶(x-180)米 :學校180米圖27解答：設他們家離學校X米遠，則x+180_x-18090=6060(x+180)=90(x-180)60x+60X180=90x-90X1803x=15X180x=900答：他們家離學校900米。【跟蹤練習3］有人用車把米從甲地運到乙地，裝米的重車日行50里(1里=500米)，空車日行70里，5日往返3次。兩地相距多少里？(選自《九章算術》)例4一家三口人，年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍，問三人各是多少歲？思路點撥：設兒子的年齡是x歲，則媽媽的年齡是4x歲，爸爸的年齡是(4x+2)歲。解答：設兒子的年齡是x歲，則x+4x+(4x+2)=74x=8媽媽的年齡：4x=4X8=32爸爸的年齡：4x+2=4X8+2=34【跟蹤練習4】玲玲今年9歲，父親39歲，再過年，父親的年齡正好是玲玲的2倍。例5一個機床廠，今年第一季度生產車床198臺，是去年同期產量的2倍多36臺，去年第一季度產量是多少臺？思路點撥：設去年第一季度的產量為x臺，那么它的2倍就是2*臺，又因為去年第一季度產量的2倍加上36臺跟今年第一季度的產量198臺相等。根據這個等量關系就可以列方程。解答：設去年第一季度的產量為x臺，則2x+36=1982x=198-36x=81答：去年第一季度的產量是81臺。【跟蹤練習5】已知籃球、足球、排球平均每個36元，籃球比排球每個多10元，足球比排球每個多8元，每個足球多少元？例6“六一”兒童節，幾位同學一起去郊外登山。男同學都背著紅色的旅行包，女同學都背著黃色的旅行包。其中一位男同學說，我看到的紅色旅行包個數是黃色旅行包個數的1.5倍。另一位女同學卻說，我看到的紅色旅行包個數是黃色旅行包個數的2倍。如果這兩位同學說得都對，那么女同學的人數是。思路點撥：首先找出題中的等量關系，因為兩位同學看到的旅行包都不包括自己背的。所以女同學要有x人，男同學有就2(x7)人或L5x+1人，根據題意即可列出方程。解答:2(x-1)=1.5x+l2x-2=l.5x+l2x-l.5x=2+l0.5x=3X=6答：女同學有6人。【跟蹤練習6］某鄉有5個飼養場，每個飼養場養雞的只數相等，如果每個飼養場都賣出600只雞，那么這五個飼養場剩下的雞，恰好與原來兩個飼養場養雞的只數相等。原來每個飼養場各養雞（ ）只。例7甲方每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米。甲、乙從A地，丙從B地同時相向出發，丙遇到乙后2分鐘又遇到甲。求A、B兩地的距離。思路點撥：由于路程=速度X時間，現已知速度求距離，故可以直接設距離為x,也可設時間為x,現用兩種方法解之。解答：解法一設乙、丙相遇用了x分鐘，則甲、丙相遇時用了（x+2）分鐘，故A、B兩地的距離等于乙、丙相遇時乙、丙所行程的和，也等于甲、丙相遇時甲、丙所行路程的和。乙、丙相遇時，乙、丙所行路程的和：（60+70）x=130x甲、丙相遇時，甲、丙所行路程的和：（50+70）X（x+2）=120x+240所以有方程130x=120x+240解這個方程得x=24,即乙、丙24分鐘相遇。所以A、B兩地距離：130X24=3120（米）答：A、B兩地的距離為3120米。解法二設A、B兩地的距離為x米。則乙、丙相遇所需時間為x+（60+70）分鐘，甲、丙相遇所需時間為x+（50+70）分鐘，由此得方程120~130"解這個方程，在原方程左右兩邊同時乘以120X130,得130x-120x=2X120X13010x=31200x=3120答：A、B兩地的距離為3120米。【跟蹤練習7】兩條公路成十字交叉，甲雙十字路口南1200米處向北直行,乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發10分鐘，兩人與十字路口的距離相等；出發后100分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等，此時他們距離十字路口多少米？專題2工程問題例2某項工程，甲隊單獨做需36天完成，乙隊單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合作，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？思路點撥：將題目的條件倒過來想，變為“乙隊先干18天，后兩隊合干需多少天完成任務？”解答：（1-2X18）+（4+[）45 36 459 1 3=7x20=12（天）答：甲隊干了12天。【跟蹤練習2]一項工程，甲隊單獨干20天可以完成，甲隊做了8天后，由于另有任務，剩下的工作由乙隊單獨做15天完成。問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？例3一項工程，甲單獨做要12天完成，乙單獨做要10天完成，現在甲、乙合作經過8天完成任務。已知這段時間甲休息了2天，那么乙休息了幾天？思路點撥：先求出甲、乙合作8天要超額完成任務的幾分之幾，超額數減去甲2天的工作量，所得之差除以乙的工作效率就是乙休息的天數。解答:[舄+12）X8-1-12X2]￡=K￡=3（天）答：乙休息了3天。【跟蹤練習3】甲、乙兩人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，兩共用了10天才完成。如果由甲單獨加工這批零件，需要多少天才能完成？例4一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。現在甲、乙、丙三人合作需多少天完成？思路點撥：設這一件工程總量為L則甲、乙的工作效率之和是：,乙、丙的工作效率之和是:,甲、丙的工作效率之和是2,從而甲、乙、丙的工作效y io率之和是（:+白）4-2,根據“工作總量+工作效率=工作時間”的關系oyio式求出合作完成所需的時間。【解答】14-[（:+： ）4-2]=5^（天）。6 9 15 3125答：甲、乙、丙三人合作需片7天。J1【跟蹤練習4]某工程，乙單獨做所需的天數為甲、丙合做所需天數的2倍，丙單獨做所需的天數為甲、乙合做所需天數的3倍，已知三個合做5天可以完成工程，甲、乙、丙單獨做各需多少天？例5有兩個同樣的倉庫A和B,搬運一個倉庫里的貨物，甲需要10小時,乙需要12小時，丙需要15小時，甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫，同時開始搬運，中途丙又轉向幫助乙搬運，最后，兩個倉庫同時搬完，再幫助甲、乙各多少時間？思路點撥：設搬運一個倉庫的工作量為“1”，從整體上看，相當于共同完成的工作量為“2”。解答：①三人同時搬運了：2舄毛毛）=8（小時）②丙幫甲搬了：（1-2X8）4=3（小時）③丙幫乙搬了：8-3=5（小時）答:丙幫甲搬了3小時，幫乙搬了5小時。【跟蹤練習5】甲、乙兩人加工相同數量的零件，甲每小時加工自己的任務端,乙每小時加工自己任務的M甲、乙同時開始加工，甲完成任務后立即幫乙加工，直到完成任務，甲幫乙加工了多少小時?例6一項工程，甲單獨做需要12小時，乙單獨做需要18小時。若甲做1小時后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時……兩人如此交替工作，問完成任務時需共用多少小時？思路點撥：把2小時的工作量看做一個循環，先求出循環的次數。解答：①需循環的次數為1+*臉）/>7（次）②7個循環后剩下的工作量是11 11一（斤不）X7=—1Zlo ob③余下的工作量還需甲做的時間為白子.=I（小時）ob12o④完成任務共用的時間為2X7+1=14：（小時）答：完成任務時需共用14-小時。【跟蹤練習6］打印一部稿件，甲單獨打要12小時完成，乙單獨打要15小時完成。現在，甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小地，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2小時……如此交替下去，打印這部稿件共要多少小時？9例7一項工程，甲、乙合作26$天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項工程由甲單獨做要多少天才能完成？思路點撥：由題意可推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數為奇數,否則不論“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數必定相同。根據“甲先”的輪流方式完成所用的天數為奇數，兩種輪流方式做的情況表示如下:甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲 乙甲乙T甲豎線左邊所做的天數為偶數，誰先做沒關系。從豎線右邊可以看出，乙做天等于甲做半天，即甲的效率是乙的2倍。解答：①甲每天能做這項工程的2 2 1^263Xr=15②甲單獨做完成的時間=40（天）答：這項工程由甲單獨做要40天才能完成。【跟蹤練習7】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做,恰好用整數天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時所用的天數后，還剩60個不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3o甲、乙每天各做多少個？例8一個水池，地下水人四壁滲入，每小時滲入該水池的水量是固定的。當這個水池水滿時，打開A管，8h可將水池排空；打開B管，10h可將水池排空；打開C管，12h可將水池排空。如果打開A、B兩管，4h可將水池排空，那么打開B、C兩管，將水池排空需要多少時間？思路點撥：設這個水池的容量是“1”。A管每小時排水量是：1+每小時滲入水;OB管每小時排水量是需每小時滲入水;A、B兩管一起打開，每小時排水量是:+每小時滲入水。因此，每小時滲入水是:-（：+白）=白。4o1U4U解答：打開B、C兩管，將水池排空需要：【跟蹤練習8】一個蓄水池底部有一道裂縫，滿池水50小時全部漏完。有甲、乙兩個進水管，水池蓄滿水后，經過40小時，開始打開兩個進水管，10小時后水池注滿。經過8小時，打開乙管，再過6小時后水池注滿。如果把水放掉，把池底裂縫堵好，甲、乙兩管分別注水，各需幾小時把水池注滿？例9（第六屆“華羅庚金杯”邀請賽試題）甲管注水速度是乙管的一半，同時開放甲、乙兩個水管向游泳池注水，12小時可以注滿。現在先開甲管向游泳池注水若干小時后，剩下的由乙管注水9小時。將池注滿，甲管的注水時間是多少？思路點撥：通過“甲管注水速度是乙管的一半”這個條件我們可以看出：乙管的工作效率是甲管工作效率的2倍。也就是說：1個乙管等于2個甲管。因此，甲、乙兩管相當于1+2=3（個）甲管。甲、乙同時注水12小時可將游泳池注滿，則甲管單獨注水需12X3=36（小時）方能注滿，而乙管單獨注滿水池則需36X：=18（小時）。所以此題就可以看成是乙管單獨注水9小時后，剩下的由甲管單獨注水，還需幾小時注滿水池。解答:S2x（T）x"I^=18（小時）答：甲管的注水時間是18小時。【跟蹤練習9］放滿一個水池的水，如果同時開放①②③號閥門，15小時可以放滿；如果同時開放①③⑤號閥門，10小時可以放滿；如果同時開放①③④號閥門，12小時可以放滿；如果同時開放②④⑤號閥門，8小時可以放滿。問：如果同時開放5個閥門，幾小時可以放滿這個水池？例10某工廠的一個生產小組生產一批零件，當每個工人在自己原工作崗位工作時，9小時可完成這項工作；如果交換A和B的工作崗位，其他工人生產效率不變時，可提前1小時完成該項生產任務；如果換C和D的工作崗位，其他工人生產效率不變時，也可以提前完成小時完成該項生產任務；如果同時交換A和B、C和D的工作崗位，其他工人生產效率不變，可以提前多少分鐘完成該項生產任務？思路點撥：題中所給的幾種情況，都是由于工作效率改變了，工作時間也相應變化，但工作總量卻沒有改變。因此可以先求出各種情況下的工作效率，然后再研究工作時間的變化。解答:設工作問題為單位“1”，則原來全部工作效率為:。A與B交換，全部工作效率為:,由于其他工人的效率不變，所以A與B的工作效率提高了:一O O：=5。同理，C與D交換后，他們兩人的工作效率也提高了5。若A與B、C與D同時交換，他們四人的工作效率提高了5+5=/全組人每小時完成1x_Ar9+36=360因此，完成這項任務，全組人需要：1/=7：（小時）比原來提前了：9-7-=1-（小時）=1小時48分=108（分鐘）答：可以提前108分鐘完成該項生產任務。【跟蹤練習10】加工一批零件，甲單獨做需75小時完成，乙單獨做需50小時完成。已知每小時乙比甲多做12個零件，如果甲的工作效率提高50%,而乙每小時原來多做8個零件，那么兩人合作這批9零件的7需要多少小時？O專題3分數的應用例2學校圖書室里的故事書占總數的六一”期間，婦聯又贈送給學D2校600本故事書，這時圖書室里的故事書占現有圖書總數的彳o求圖書室原來O共有多少本圖書。TOC\o"1-5"\h\z3 2思路點撥：題中?是以原來的圖書總數為單位“1”，是以后來的圖書總b o數為單位“1”，單位“1”不統一，就要想辦法統一單位“1”，從題目可以看出：故事書、圖書總數都發生了變化，而其他書的本數沒有變，可以以其他書的本數為單位“1”，根據故事書占總數的V,故事書相當于其他書的33,同0 0 0Z理，故事書增加后，相當于其他書的2倍。解答:其他書的本數=600+(2-11)=1200(本)圖書室原來共有圖書312004-(1--)=3000(本)答：圖書室原有圖書3000本。7【跟蹤練習2】紅星小學五年級學生中，男生占色,后來又轉來了15名男生，這樣男生占五年級總人數的孩，五年級原有學生多少人？□例3某車間原有男工人數是女工人數的11倍，后來又調來2名女工，現在男工人數是女工人數的11倍，這個車間有男工多少人？思路點撥：與11雖然都是以女工人數國單位“1”的，但女工人數發生了變化，所以前后兩個女工人數并不是同一個數量。由于男工人數沒有發生變化，所以可以用轉化的方法，求出原來女工人數是男工人數的幾分之幾，調來2人后女工人數又是男工人數的幾分之幾，進而得到調來的2名女工是男工人數的幾分之幾，求出男工人數。TOC\o"1-5"\h\z1 4由“原來男工人數是女工人數的1-倍“知原來女工人數是男工人數的目，同樣知，調來2名女工后，女工人數是男人數的a,故調來的2名女工相當于64 54男工人數的（髀焉），所以男工人數有2+（1高）=60（人）。5 654 1解答：24-（ --- ） =24-- =60 （人）。5 30答：這個車間有男工60人。【跟蹤練習3】甲數是乙數、丙數、丁數之和的;,乙數是甲數、丙數、丁數之和的〈，丙數是甲數、乙數、丁數之和的;o已知丁數是260,求甲數、乙數、丙數、丁數的和。4例4學校閱覽室里有36名學生在看書，其中女生占W,后來又有幾名女9生來看書，這時女生人數占所有看書人數的卷o問后來又有多少名女生來看書？思路點撥：女生人數在變，總人數在變，但男生人數始終未變，抓住這一不變量即可找到解題的突破口。男生人數占原來36名學生4的(1-弓)，這可求出男生人數；再利用男生人數占后來的分率，求出后來的總人數。4 Q解答：36X(1--)4-(1--)-36=36X1 -36=38-36=2(名)。yiy答：后來又有2名女生來看書。【跟蹤練習4]一塊西紅柿地今年獲得豐收。第一天收下全部的I,裝了3筐還余12kg,第二天把剩下的全部收完，正好裝了6筐。這塊地共O收了多少千克西紅柿？例7耕一塊地，第一天耕的比這塊地的1多2公頃，第二天耕的比剩下的地的;少1公頃，這時還剩下38公頃沒有耕。這塊地共有多少公頃？思路點撥：把這塊地的公頃數看做“1” ■\>公￡ 題中的數量關系可用線段圖表示，如圖4-1。 <第一天第一天耕完后，剩下的公頃數是(38-1) 第二天1公頃圖4-14-(1-1)=74(公頃)，再用類似的思路求出這塊塊共有多少公頃。解答：(38-1)4-(1-1)-374-1=74(公頃)，(74+2)4-(1-1)O

2=76+-=114(公頃)。答：這塊地共有114公頃。2【跟蹤練習7］某商店有一批布，第一天賣出g,第二天賣出第一天剩下的7，第三天補進第二天剩下的;，這時還有698米，原來有布多少米？I 乙例9某市數學競賽，共有407人參加決賽。獲獎的男生、女生人數正好同圖4-216人樣多。沒有獲獎的女生占參賽女生的:，沒有獲獎的男生有16人，參賽男生有多少人?圖4-216人思路點撥：以女生人數為單位“1”,依題意畫線段圖，如圖4-2所示。如果男生少16人參賽，參賽人數407-16=391人相當于女生參賽人數的o391人除以對應率1-,商是女參賽選手人數，進而求出男生參賽人數。1 O解答：女參賽選手人數：(407-16)4-(1+1--)=3914-1-=207(人)y y

男參賽選手人數：207X（1-：）+16=200（人）y答：參賽男生200人。2【跟蹤練習91水果店來蘋果和梨共1300千克，蘋果賣出*,梨賣出20□千克后，剩下的梨和蘋果的質量恰好相等。原來運來蘋果和梨各多少千克？例10（全國預賽試題）甲、乙、丙、丁四人共同生產一批零件，甲生產TOC\o"1-5"\h\z9 1的占其他三人生產總數的殘，乙生產的占其他三人生產總數的;丙生產的, 4 、占其他三人生產總數的五o已知丁生產了60個，那么甲、乙、丙三人共生產零件多少個?解答：甲、乙、丙生產的零件分別占總數的2_2_ 1 1 4解答：甲、乙、丙生產的零件分別占總數的13+2=15*4+1=5*H+44159 1 49 1 4甲、乙、兩共生產了總數略+廣運3i。三人共生產零件6。+（1-TOC\o"1-5"\h\z3 3 3-）X - =60X-=90 （個）0 b Z答：甲、乙、丙三人共生產零件90個。【跟蹤練習10］（吉林省競賽試題）甲、乙兩個盒子共裝了400多個球。如果甲給乙x個，甲比乙少白；如果乙給甲x個，乙比甲少白o則原來甲盒中有多少個球，乙盒中有多少個球？4例11紡織工廠第一車間的人數比第二車間的人數的募少30人。如果從□第二車間調10人到第一車間，這時第一車間的人數是第二車間人數的7o原4來兩個車間各有多少人？第一車間人數是第二車間人數的幾分之幾？思路點撥：把第二車間人數看做單位“1”，題中的數量關系可用線段圖表30人示如圖4-3所30人第一車間i第二車間L第一車間i從圖中可看出，原第一車間人數加30是兩車間總人數與30人的和的TOC\o"1-5"\h\z4 Q3=□;現第一車間人數是兩車間人數的急=不。根據現第一車間人數與原第一車間人數相差10人，可列方程。解答：設兩個車間的總人數為X人。4 、 3-（x+30）-30=-x-10y （解得：x=420即可求出兩個車間的人數問題。第一車間人數為：420X--10=170（人）第二車間人數為：420-170=250（人）171704-250=—Zb答：第一車間原來有170人，第二車間原來有250人。第一車間人數是第17二車間人數的去。【跟蹤練習11】隆盛雜貨店運來一級茶葉和二級茶葉一批，其中二級茶葉的重量是一級茶葉的\,一級茶葉的買進價是每千克20元，二級茶葉的買進價的是每千克18元，如果現在照買進價各加價\出售，當二級茶葉全部賣完O時，一級茶葉還剩1,共盈利480元，該雜貨店運來多少二級茶葉？專題4百分數應用例3一桶汽油，第一次用了全桶的20%,第二次用了20kg,第三次用了前兩次的和，這時桶里還剩下8kg汽油。問這桶汽油有多少千克？思路點撥：由已知條件，第三次前兩次的和，就是全桶的20%加上20kg,因此前三次共用了兩個20%和兩個20kg,桶內還剩8kg汽油，這說明兩個20%,兩個20kg,再加上一個8kg就是整桶汽油的質量。由已知三次共用汽油是兩個全桶的20%再加上兩個20kg,桶內還剩8kg,因此20X2+8=48(kg),相當于全桶的1-40對60%。解答：(20X2+8)-r(l-20%X2)=80(kg)答：整桶汽油質量為80kg。【跟蹤練習3】李剛看一本書，第一天看了全書的《，第二天看了24頁,第三天看了前兩天看的總數的150%,這時還剩下全書的!沒有看。全書共有多少頁？例4小明家電熱水器貯滿了水。一天晚上，小明媽媽用去了20%,水上明的爸爸又用去了18L,小明用去了剩下水的10%,最后剩下的水只有貯存量的一半還少3L。問小明家的電熱水器貯水量是多少升？思路點撥：小明的媽媽用的水是20%,小明的爸爸用水量是18L,小明的爸爸、媽媽用水后剩下貯水量的80%少18Lo這樣小明的用水量是(80%X10%)=8%少(18X10%)=1.8Lo三人用水的總量是20%+8%再加(18-1.8)=16.2(L),三人用水的總量也應該是50%多3LO(本題關鍵是小明用水的理解與處理)解答：(1-2解)X10%=8%,18X10%=1.8(L),(18-1.8-3)4-[50%-(20%+8%)]=13.24-22%=60(L)o答：這個電熱水器貯水量是60L。【跟蹤練習4】某次會議，昨天參加會議訴男代表比女代表多700人，今天男代表減少了10%,女代表增加了5%,共1995人出席會議。那么昨天參加會議的人有多少人？【跟蹤練習5】某商品按定價的80%(八折)出售，仍能獲得20%的利潤，定價時，期望的利潤百分數是多少？例6某工廠一車間人數占全廠的25%,二車間人數比一車間少!，三車間□人數比二車間多云,三車間是156人，這個工廠全廠共有多少人？思路點撥：本例中除全廠外，還有兩個單位“1”：一個是一車間另一個是二車間。但通過轉化可能統一到全廠為單位“1”上來。進而直接求出全廠人數。解答：1 31564-[25%X(1--)X(1+—)15 10=600(人)【跟蹤練習6]興趣小學四年級學生比三年級多25%,五年級學生比四年級少10%,六年級學生比五年級多10%,如果六年級學生比三年級多38人，那么三至六年級共有學生多少人？例7某班有學生48名，女生占全班人數的37.5%,后來又轉來了若干名2女生，這時女生人數恰好是全班人數的：，問共轉來了多少名女生？5思路點撥：我們可抓住“變中不變”的量，即男生人數前后不變，抓住了這個不變量，問題便容易解了。首先求出男生占全班人數的幾分之幾，再求全班的男生人數，然后求轉來幾名女生后男生占全班人數的幾分之幾。接著，可以求出現在全班人數，最后求轉來了幾名女生。(1)原來班級里有男生48X(1-37.5%)=30(名)；9Q(2)轉來幾名女生后男生占全班的分率為1-7=i;□□(3)現在全班有30?1=50(名)同學；□(4)轉來女生人數50-48=2(名)。【解答】TOC\o"1-5"\h\zz、 , 2、48X(1-37.5%)-r(1--)-4853=48X-4---48=50-48=29(名)5答：又轉來了2名女生。【跟蹤練習7］有一堆糖果，其中奶糖45%,再放入16塊水果糖后，奶糖就只占25%,那么這堆糖中有奶糖多少塊？例8一輛車從甲地開往乙地，如果把車速提高20樂可以比原定時間提前1小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%,則可提前40分鐘到達；那么甲、乙兩地相距多少千米?思路點撥：根據公式“距離=速度X時間”，當距離一定時，速度與時間成反比。車速提高20%時，即為原速度的（1+20%）=Io在同一距離中所花時間5R R 1為原時間的I,提前的1小時恰好占原來所花時間的（1- 1）= *。這就可6 6 6以求出按原來速度行駛所花的時間為1+（=6（小時）。6同樣道理，當車速提高25%時，新車速與原車速的比是（1+25%）；1=5：4,如果車從甲地出發時就用這個速度，那么全程所花時間為原TOC\o"1-5"\h\z4 4 1時間的7,全程可提前6X（1--）=1-（小時）。5 5 51 O R現在只提高40分，即a時，少提前1---=-（小時），這是因為從甲3 5 3 15地出發行駛的120千米是按原速度行駛的。這一段路（120千米）若按速度提高O25%行駛，可提前不小時，據此可解。10解答：以原速度行駛全程所花時間為1 5 11+（1一5二）=1+（1_7）=1+鼻=6（小時）。1+20% 6 6車速提高25%時，全程可提前6X(1-1^5%)=6X5=15(小時)。現設全程為x千米，則66-5x=270答：全程為270千米。【跟蹤練習8】去年實驗小學參加各種體育興趣小組的同學中，女生占總數的《o今年全校的學生數與去年一樣，參加各種體育興趣小組的學生比去年增□加了20%,其中女生占總數的1o那么，今年女生參加各種體育興趣小組的人數比去年增加百分之多少？例10（“希望杯”邀請賽試題）小紅和小明幫劉老師修補一批破損圖書，小紅修補了破損圖書的40%少2本。小明修補了破損圖書的;多3本。劉老師修補了20本。問：小紅、小明一共修補圖書多少本?思路點撥：可知小紅和小明一共修補破損圖書為：40%-2+；+3=40%+25%+1=65%+1,則這批破損圖書一共有(20+1)4-(1-65%)=60(本)。再減去劉教師修補的圖書20本，則為小紅和小明一共修補的圖書。解答:(20+1)-V-E1-(；+40%)]-20=214-[1-65%]-20=21+35%-20=60-20=40(本)答：小紅、小明一共修補圖書40本。【跟蹤練習101A種酒精中純酒精的含量為40%,B種酒精中純酒精的含量為36%,C種酒精中純酒精的含量少為35%O它們混合得到了純酒精的含量為38.5%的酒精11升，其中B種酒精比C種酒精多3升，那么A種酒精有多少升？例11某班男生數占全班的40樂后來又轉出10名女生，這時男生人數占全班的50%。這個班原有男生多少人？思路點撥：根據前后男生人數不變這一等量關系列出方程來解。解答:設班里共有學生x人，則后來有(x-10)人。40%x=50%(x-10)4x=5x-50X=50男生人數：50X40%=20(人)答：這個班原有男生20人。【跟蹤練習11】筑路隊4天修完一條路，第一天修了全長的32%,后3天修的長度比為6：7：4,最后一天比第一天少修8千米。這條公路全長多少千米？專題5時鐘問題例1現在是3點，什么時候時針與分針第一次重合？思路點撥：3點時分針指12,時針指3,分針在時針后5X3=15格，每分鐘分針比時針多走（1-5）格，要使分針與時針重合，也就是分針bUTOC\o"1-5"\h\z1 4比時針要多走15格，需要15+（1--）=16—（分鐘）1L4 1.k1 4解答：15+（1--）=16—（分鐘）?L4 1.1.4答：3點16吉分時時針與分針第一次重合。【跟蹤練習1】現在是5點鐘，再過多少分鐘，時針與分針第一次重合？例2在4點與5點之間，鐘面上的時針與分針在什么時刻垂直？思路點撥：分針在時針的后面相隔15小格。4點鐘分針與時針相隔5X4=20小格，分針只要比時針多走20-15=5小格就行了。每分鐘分針比時針多走（1-白）小格，由追及問題計算方法，得出第一次垂直的時1.乙間。分針超前時針15小格，就是分針比時針多走20+15=35小格，再根據追及問題的計算方法，求出第二次垂直的時間。解答：5X4=20（小格）

TOC\o"1-5"\h\zi 5（20-15）4-（1--）=5—（分鐘）J.乙 ￡X1 2（20+15）-r（l--）=38—（分鐘）?L4 JL1.R 9答：在4點與5點之間，4點5五分和4點38—分時分針與時針垂直。【跟蹤練習2】深夜12：00到中午12：00之間，鐘表上的分針和時針幾次成直角？例34小時15分時，鐘面上時針與分鐘的夾角是多少度？思路點撥：4時15分，分針指著3,但時針的位置很難確定，所以我們從4時整考慮。4時時，時針指著4,過15分，分針走了15小格，時針從4開始順1R R時針方向旋轉了15X^=2（個）小格，即6X?=7.5（度），時針位置確定后不可求解。解答：6X5+6X（15X^）=37.5（度）。答：4時15分鐘面上時針與分針的夾角是37.5%【跟蹤練習3】在7點與8點之間（包含7點與8點）的什么時刻，兩針之間的夾角為12（??例4小明做作業用了不到了1小時的時間，當他做「 士

完作業看表時，發現分針與時針正好和開始做作業時交換位置。問小時做作業用了多少時間？思路點撥：根據題意，小明做作業不到1小時，所以開始做作業時，時針在分針后后面，到做完作業，時針就旋轉到開始時分針的位置，而分針旋轉到原來時針的位置，如圖6-1所示，時針與分針總共旋轉了一周。根據路程+速度和=時間即可求出本題的解。1 5解答：604-（1+&）=55—（分鐘）答：小時做作業用了55名分鐘。1.0例5小朋家的掛鐘走起來每小時慢1.5mino早上8點小朋把鐘對準了標準時間，那么，這只鐘走到中午12點的時候，標準時間是幾點幾分？【思路解析】這里慢1.5分實際上是指：小朋家掛鐘與準確的鐘相比較，準確的鐘1小時走60小格，而小朋家掛鐘只有58.5個小格。當準確鐘走到12點時，小朋家掛鐘離12點還有1.5X4=6個小格，但是小朋家的掛鐘再走這6小格，準確的鐘則要走的比6小格多（準確鐘的速度較快）。這需要求出小朋的掛鐘走6小格時，準確的鐘要走多少小格。解答：解：設小朋的掛鐘走6小格時，準確的鐘走x小格。258.5：60=6：xx=6-9答：標準時間是12點6—分。【跟蹤練習51小明晚上9點整將手表對準，可早晨8點到校時卻遲到了lOmin,那么，小明的手表每小時慢幾分鐘?

例6小明家有兩舊掛鐘，一個每天快20min,一個每天慢30min。現在將這兩個舊掛鐘同時調到標準時間，它們至少要經過多少天才能再次同時顯示標準時間？【思想解析】由時鐘的特點知道，每隔12h,時針與分針的位置重復出現,所以快鐘和慢鐘分別快或慢12h的整數倍時，將重新顯示標準時間。解答：快鐘快12h,需經過（60X12）4-20=36（天）即快鐘每經過36天顯示一次標準時間。慢鐘慢12h,需經過（60X12）4-30=24（天）即慢鐘每經過24天顯示一次標準時間，24與36的最小公倍數是72,所以兩個鐘同時再次顯示標準時間，至少要經過72天。【跟蹤練習6］甲表每小時比標準時間快Imin,乙表每小時比標準時間慢2mino若將兩表同時調到標準時間，結果在24h內，甲表顯示9點整時，乙表恰好顯示8點整。將兩表同時調準的時刻是多少？例7一只鐘的時鐘與分針均指在4和6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時針與分針的正中央，問這時是什么時刻？思路點撥：因為當時的時刻可以是4點多，也可以是5點多，如果此時是5點多：TOC\o"1-5"\h\z5點整時，時針指5,分針指12。從5點整 '一/10 2\到現在的“5在時針與分針的正中央”，分針走 / \的格數多于20格少于25格，時針走的格數不足 \o'：5格，由于5到分針的格數等于5到時針的格數,所以時針與分針在這段時間內共走25格。因此,從5點整到圖6-3鐘面上這種狀態共用了25+（1嶗）=23話（分鐘）。圖6-3如果此時是4點多：4點整，時針指4,分針指12。從4點整到現在，“5在時針與分針的

正中央”，分針走的格數多于25,少于30,時針圖6-3走不足5格。由于5到分針的格數等于5到時針的格數，所以時針與分針在這段時間內共走30格。又由于時針的速度是分針的白,所以從4點整到圖6-4鐘面上這種狀態共用了：30+（1+*）=27卷（分鐘），所以這時9是4點27逅分。解答：如果是5點多，用25+（喘）=23表（分鐘）1Q如果是4點多，用30+（1-h^）=27-（分鐘）9 1答：這時可能是4點27運分，也可能是5點23逼（分鐘）。【跟蹤練習7］現在是3點整，再過多少時間，時針和分針恰好在“3”字兩邊，并且與“3”字距離相等？例8一只舊鐘的分針和時針每65分鐘重合一次。問這只舊鐘一天（標準時間24小時）慢或快幾分？思路點撥：因為分針與時針每重合一次，分針比時針比多60小格,每分鐘分針比時針多走系格，則604-H=652（分），即標準鐘J.4JL/ J.乙 J.J.每65。分時針、分針重全一次，舊鐘每65分重合一次，顯然舊鐘快。本題難點在于從舊鐘兩針的旋轉速度（每標準分旋轉多少個小格），進面推算出舊鐘的分針24標準小時旋轉多少個小格，它與標準鐘的分針用24標準時所走的格數的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標準鐘快的時間讀書。解答：設舊鐘分針每標準分走x小格。那么，每1個小格用工標準分。舊X鐘分針走60個小格，時針走5個小格，時針速度總是分針的白,所以舊鐘時針速度為上X（格/標準分鐘）。每次重合耗用65標準分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了時針60小格，列方程:604-(x-r^x)=65JL4TOC\o"1-5"\h\z1、 60(1 ) x=—127 6512X12X=13XII標準時鐘一天分針走60X24=1440（格），一天內舊鐘分針走的格數為12X12百方7X60X24o但是我們只需求出舊鐘分針比標準鐘多分針多走了多少個小LoAll格即可，所以有:X60X24-60X2412X12(12X12(13X11-1)X60X24144X14313X11144X14313X11X60X2460X24"13X11（格）。答：這只舊鐘在一天內比標準時間快1瑞分（按舊鐘上的時間）。【跟蹤練習8］爺爺的老式掛鐘的時針與分針每隔66min重合一次，如果早晨8點將鐘對準，到第二天早晨時鐘再次指示8點時，實際時間是多少？專題6濃度問題例1現在有濃度為20%的糖水300g,要把它變成濃度為40%的糖水，需要加糖多少克？思路點撥：濃度為20%的糖水300g,則里面有糖300X20%=60(g),有水300-60=240(g)0現在要往里面加糖，增加后糖占40%,水占60%。而注意到水在這里面是不變的，均為240g,故后來溶液的總質量為240+60%=400(g)。所以需加糖400-300=100(g)o【解答】300X(1-20%)4-(1-40%)-300=2404-60%-300=400-300=100(g)答：需加糖100g。【跟蹤練習1］在一桶含鹽量10%的鹽水中加入100克食鹽，溶解后，桶中鹽水的濃度增加到20%,桶中原有多少克鹽水？例2有含鹽20%的鹽水36千克要制出含鹽45%的鹽水,需蒸發掉水多少千克？思路點撥：首先尋找不變量，顯然，蒸發前含鹽量=警蒸發后含鹽量，以此國依據列方程。解答:設需蒸發水x千克，則有36X20%=(36-x)X45%x=20答:需蒸發掉20千克水。【跟蹤練習2】有濃度為2.5%的鹽水200g,為了制成濃度為5%的鹽水，從中要蒸發掉多少克水？例3現有濃度為10%的鹽水20kg,再加入多少千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水？思路點撥：這是一個溶液混合問題，混合前后溶液的濃度改變了，但是總體上溶質及溶液的總質量沒有改變，混合前兩種溶液中溶質的和等于混合后溶液中溶質的量。20kg濃度為10%的鹽水中含鹽的量為：20X10%=2(kg)；混合后溶液的濃度為22%,此時20kg溶液中含鹽的量為：20X22%=4.4(kg)0解答：方法一：用原溶液中增加溶質的質量除以加入溶液降低的濃度。所以需要加入濃度為30%的鹽水溶液的質量為：(20X22%-20X10%)4-(30%-22%)=(4.4-2)4-8%=2.4+8=30(kg)答需加入30kg濃度為30%的鹽水才能得到濃度為22%的鹽水。方法二：這個問題可以用方程來解：設需加入濃度國30%的鹽水xkg,依據混合前后溶質的質量不變，列方程得：20X10%+xX30%=(20+x)X22%X=30答：需加入濃度為30%的鹽水30kg。【跟蹤練習3】在濃度為40%的酒精溶液中加入5kg水，濃度變為30%,再加入多少千克酒精，濃度變為50%?例4一容器內有濃度為15%的鹽水，若再加入20kg的水，則鹽水的濃度變為10%,問這個容器內原來含有鹽多少千克？思路點撥：由于加水前、后容器中所含有的鹽的質量沒有改變，所以只要將加水前、后容器中所含鹽的質量用等量關系式表示出來，就可求得結果。解答：假設容器中原有鹽水xkg,那么加水前后容器中所含鹽的質量相等,即：x?15%=(x+20)?10%解得：x=40???容器中鹽水含有鹽的質量為40X15%=6(kg)答：容器中原來含鹽6kg。【跟蹤練習4］向濃度為10%,質量為300g的食鹽水中加入多少克水，就可以得到濃度為8%的食鹽水？例5甲容器中有10%的酒精溶液600g,乙容器中有15%的酒精溶液200g。往甲、乙兩個容器分別倒入等量的水，使兩個容器中酒精溶液的濃度相同。每個容器中應倒入水多少克？思路點撥：先分別求出兩個容器中純酒精的質量，再分別用兩個容器中純酒精的質量除以兩個容器中加入等量的水后酒精溶液的質量，就可以求出兩個容器中現在酒精溶液的濃度。根據濃度一樣，列方程解答。先求出兩個容器中純酒精的質量分別是：甲容器中酒精質量：600X10%=60(g)乙容器中酒精質量：200X15%=30(g)解答：設每個容器中應倒入xg水，則有：60_30600+x 200+x60X(200+x)=30X(600+x)解得：x=200答：每個容器中應加水200g。【跟蹤練習5］容器中有鹽水。老師讓小強再倒入濃度為5%的鹽水800g,以配成濃度為20%的鹽水，但小強卻錯誤的倒入800g水。老師發現后，說：不要緊，你再將400g第三種濃度的鹽水倒入容器內，就可得到濃度為20%的鹽水了。第三種鹽水的濃度是百分之多少？例6有含鹽25%的鹽水400克，要使鹽水的濃度變為20%,應加入5%的鹽水多少克?思路點撥：設應加入5%的鹽水x克。混合后鹽的含量等于混合前兩種溶液中鹽的和，列方程求解。解答：400X25%+xX5%=(400+x)X20%x=133：【跟蹤練習6］在濃度為20%的10千克食鹽水中加入5%的食鹽水和白開水各若干千克，加入的食鹽水是白開水質量的2倍，得到濃度為10%的食鹽水，求加入白開水多少千克。例7甲、乙兩種酒精濃度分別為70%和55%,現要配制濃度為65%的酒精3000g,應當從這兩種酒精中各取多少克？思路點撥：根據配制溶液的過程中，前、后溶液中的溶質沒有改變，可利用這個關系列出方程求解。解答：設甲種酒精取了xg,則乙種酒精取了(3000-x)go根據純酒精的質量不變，可以列出方程：x?70%+(3000-x)?55%=3000?65%解得：x=2000(g)從而甲種酒精取2000g,乙種酒精取了1000g。【跟蹤練習7］含糖70%的糖水2000g和含糖60%的糖水3000g混合后的濃度是多少？例8把濃度為20%、30%和45%的三種酒精溶液混合在一起，得到濃度為35%的酒精溶液45kg。已知濃度為20%的酒精用量是濃度為30%的酒精用量的3。原來每種濃度的酒精溶液各用了多少千克？思路點撥：從“濃度為20%的酒精用量是濃度為30%的酒精溶液用量的3倍”這個條件可以知道，這兩種酒精混合后得到一種新的酒精溶液，其濃度為：(3X2O%+1X3O%)4-(3+1)=22.5%,這樣原題就變為把濃度為22.5%和45%的兩種酒精溶液混合在一起，得到濃度為35%的酒精溶液45%kg。求每種濃度的酒精溶液各用了多少千克就顯得容易多了。解答：濃度為20%與30%的兩種酒精按3：1的比例混合后所得到酒精溶液的濃度為(3X2O%+1X3O%)4-(3+1)=22.5%濃度為45%的酒精用量為：(45X35245X22.5%)4-(35%-22.5%)=25(kg)濃度為30%的酒精用量為(45-25)4-(3+1)=5(kg)濃度為20%的酒精用量為5X3=15(kg)答：濃度為20%、30%、45%三種酒精溶液分別用了15kg、5kg、25kg0【跟蹤練習81A種酒精中純酒精的含量為40%,B種酒精中純酒精含量為36%,C種酒精中純酒精的含量為35%,它們混合在一起得到了純酒精的含量為38.5%的酒精14，B種酒精比C種酒精多3L,那么其中的A種酒精有多少升？例9有甲、乙、丙三個容器。甲容器有濃度為40%的鹽水400克，乙容器中有清水400克，丙容器中有濃度為20%的鹽水400克。先把甲、丙兩容器中的鹽水各一半倒入乙容器攪勻后，再把乙容器中的鹽水200克倒入甲容器，200克倒入丙容器。這時甲、乙、丙三個容器中鹽水的濃度各是多少？思路點撥：此題用列表法求解比較直觀方便。【解答】甲容器乙容器丙容器開始40%的鹽水400克水400克20%的鹽水400克第40%的鹽水200克錯誤!15%的鹽水800克20%的鹽水200克次第次錯誤！27.5的鹽水400克15%的鹽水400克錯誤！17.5%的鹽水400克答：最后甲容器中鹽水的濃度是27.5%,乙容器中鹽水的濃度為15%,丙容器中鹽水的濃度是17.5%o【跟蹤練習9】有甲、乙兩個容器，其中甲裝了960克純酒精，乙裝了640克水。第一次將甲的一半倒給乙，混合后再把乙的一半倒給甲，這樣連續三次后，甲中的溶液有多少克？其中含純酒精多少克？例10兩個杯中分別裝有40%與10%的食鹽水,倒在一起后混合食鹽水濃度為30%,若再加入300g、20%的食鹽水，則濃度變成25%,那么原有40%的食鹽水多少克？思路點撥：濃度為30%的食鹽水的質量設為xg,那么再加入300g、20%的食鹽水得到濃度為25%的食鹽水共(300+x)g,xg、30%的食鹽水含鹽xX30%g,300g,20%的食鹽水含鹽300X20%g,(300+x)g、25%的食鹽水含鹽(300+x)X25%g,列方程：xX30%+300X20%=(300+x)X25%解出x=300,問題就變成為“把濃度40%與10%的食鹽水倒在一起，得到濃度為30%的食鹽水300g,求原有濃度40%的食鹽水多少克？”，設原有濃度40%的食鹽水yg,貝U10%的食鹽水有(300-y)g,同樣可列出方程解：解答：第一步：設濃度30%的食鹽水的質量為xg,依題意得：xX30%+300X20%=(300+x)X25%解得：x=300第二步：設濃度40%的鹽水yg,10%的鹽水(300-y)goyX40%+(300-y)X10%=300X30%解得：y=200答:原有40%的鹽水200g。【跟蹤練習10】容器里裝有濃度為15%的酒精1000g,現在又分別倒入100g和400g的甲、乙兩種酒精，容器里的酒精濃度變為14%,已知甲種酒精的濃度是乙種酒精的2倍，求甲種酒精的濃度。例11(第五屆“希望杯”邀請寒試題)一杯鹽水第一次加入一定量的水后，鹽水的含鹽百分之變為15%；第二次又加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比變為12%；第三次加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比將變為%0思路點撥：這道題中沒有給溶液是多少克這個條件，也沒有給出加水前的濃度，但是我們看到每次加水都是一樣多的，在稀釋的過程中，溶質沒有發生變化在。解答：設原有鹽水a克，每次加水b克，第三次加入同樣多的水后鹽水的濃度為X%o[15%(a+b)=12%(a+2b),>12%(a+2b)=(a+3b)Xx%。化簡得r15(a+b)=12(a+2b),①112(a+2b)=(a+3b)x。②由①得15a+l5b=12a+24b3a=9ba=3b把③代入②得12(3b+2b)=(3b+3b)x60b=6bxX=10因此，第三次再加入同樣多的水b克，鹽水的含量為10%。【跟蹤練習11】從裝滿100克80%的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復三次后，杯中鹽水的濃度是多少？

專題7 比和比例例2光明小學將六年級的140名學生，分成三個小組進行植樹活動。已知第一小組和第二小組人數的比是2：3,第二小組和第三小組人數的比是4：5o這三個小組各有多少人？思路點撥：先把兩兩的比轉化為三個小組人數的連比，再按求出的連比進行分配。這是兩個比組成連比的常用方法。一、二兩組人數的比為2：3=8：12,二、三兩組人數的比為4：5=12：15,這樣一、二、三組人數的比為8：12：15o解答：總份數為8+12+15=35,O第一組有1：140X—=32（人）,第二組有：140X在=48（人）,第三組有：140X嬴=60（人）。答：第一小組有32人，第二小組有48人，第三小組有60人。例3如圖8-2所示，一塊長方形地被兩條公路分成四個長方形，其中三個的面積分別是20畝、25畝和30畝。問另一塊（圖中的陰影部分）長方形地的面積是多少畝？圖8-2例3如圖8-2所示，一塊長方形地被兩條公路分成四個長方形，其中三個的面積分別是20畝、25畝和30畝。問另一塊（圖中的陰影部分）長方形地的面積是多少畝？圖8-2思路點撥：圖中面積是20畝與30畝的兩個長方形的長相等，其面積比為20：30=2：3,所以它們寬的比為2：3,而面積為25畝和陰影部分兩個長方形的長相等，寬的比也是2：3,所以它們的面積比是2：3o解答：20：30=2：3325X-=37.5（畝）乙也可以列比例解：設另一個長方形的面積是X畝。20：25=30：xx=37.5答：另一個長方形的面積是37.5畝。【跟蹤練習3】一個長方形長與寬的比是14：5,如果長減少13cm,寬增加13cm,則面積增加182cm2,那么原長方形面積是多少平方厘米？例4兩個服裝廠，一個月內生產的西服數量是6：5,兩廠西服價格價格的比是11：10。已知這個月兩廠的總產值為6960萬元。兩廠的產值各是多少萬元？思路點撥：產值=價格X數量甲產值：乙產值=（甲產量X甲價格）：（乙產量X乙價格）解答：兩廠的產值比為（6X11）：（5X10）=66：5566甲廠產值：6960X77777=3960（萬元）66+50乙廠產值：6960-3960=3000（萬元）答：兩廠的產值分別是3960萬元和3000萬元。【跟蹤練習4】有一筐大蘋果和一筐小蘋果，大蘋果與小蘋果的單價比是5：4,其質量比是2：3,把兩筐蘋果混在一起成100千克的混合蘋果，單價為每千克4.4元，兩筐蘋果原單價各是多少元？

例5甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，出發時他們的速度比是3：2,他們第一次相遇后，甲的速度提高了20%,乙的速度提高了30%,這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有14km,那么A、B兩地的距離是多少千米？3份 23份 2份?T?A B相遇后，甲、乙兩人的速度比為[3X(1+20%)]：[2X(1+30%)]=3.6：2.6=18：13。當甲到達B地時，甲又走了2份的路TOC\o"1-5"\h\z13 4程，這時乙的路為2Xg=1￡(份)。而乙從相遇后到達A還要走3份的路程,ioy45 R還剩下3-玲王(份)，正好還剩下14km,所以1份這樣的路程是14+噂=9yy y(km)oA、B兩地有這樣的.3+2=5(份)，因此，A、B兩地的總路程可求出。解答：[3X(1+20%)]：[2X(1+30%)]=18：13144-(3-2x||)=144-=9(km)9X(3+2)=45(km)答：A、B兩地的總路程為45km。例6師徒兩人共加工零件168個，師傅加工一個零件用5min,徒弟加工一個零件用9min,完成任務時，兩人各加工零件多少個？思路點撥：師傅加工一個零件用5min,每分鐘可加工看個零件，徒弟加工□一個零件用9min,每分鐘可加工零件:個，師徒兩人效率的比是：：:=9：5,y &y由于兩人的工作時間是一定的，根據或募=工作時間(一定)，工作量與工作效率成正比例。解答：設師傅加工X個，徒弟加人(168-X)個。x9168-x=55x=168X9-9x解得：x=108168-x=168-108=60(個)答：師傅加工108個，徒弟加工60個。【跟蹤練習6】加工一個零件，甲需3min,乙需3.5min,丙需4min,現在有1825個零件需要加工。如果規定三人同樣的時間完成任務，分別應該各做多少個？例7李師傅原定若干小時內加工一批零件。他又估算了一下，如果按照原定計劃加工120個零件后，工作效率提高25%,可提前40min完成，如果一開始工作效率就提高20%的話，就可提前lh完成。他原計劃每小時加工多少個零件？思路點撥：如果按計劃加工120個零件后，加工余下的零件時工效提高了25%,即工效與原來的工效比為(1+25%)：1=5：4,加工余下零件所用的時間與原來的比為何：5,則原來加工余下零件所用的4 1時間是：404-(1--)=200(min)=3-(h)o假設一開始工作效率0 6就提高20%,則提高后的工效與原來的工效比為(1+20%)：1=6：5,這樣所需時間與原來所需時間比為5：6,原來加工這批零件所用的時間就是1+(1-焉)=6(h)0則原來加工120個零件所用的時間就是6-3|=2|(h),原來每小時加工零件個數可知。解答：(1+25%)；1=5:4404-(1-1)=200(min)=3-(h)(1+20%)；1=6:5514-(1-t)=6(h)61204-(6-3g)=1204-2|=45(個)答：他原計劃每小時加工45個零件。例8甲容器中有純酒精的11L,乙容器中有水9LO第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精和水混合；第二次將乙容器中的一部分混合液例入甲容器。這樣，甲容器中酒精含量為62.5%,乙容器中酒精含量25%,那么，第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？思路點撥：關鍵在乙容器。第二次將乙容器中一部分混合液倒入甲容器中，并沒有改變乙容器中酒精濃度。這是問題解決的突破口。由“乙容器中酒精含量為25%”，這說明倒混合液之前，乙容器中酒精的含量為25%。所以第一次將甲容器中一部分酒精倒入乙容器，乙容器中酒精與水的比國25%：(1-25%)=1：3o原來乙容器有水9L,可知第一次甲容器倒入乙容器的酒精為9X1+3=3(L),因此甲容器剩下的酒精為11-3=8(Do第二次操作后，甲容器中酒精與水的比為62.5%：(1-62.5%)=5：3。這時把甲容器的液體看成兩部分：一部分是原來的8L純酒精，另一部分是從乙容器倒過來的混合液。由乙容器中酒精與水的比為1:3,便可以求出混合液的體積。所以，甲容器中的純酒精與溶液質量的比是5：8。解答：設第二次從乙容器中倒入甲容器中的混合液是xL,依題意更方程：xX25%+⑴-3)x+(11-3) 一62.5%解得：x=8答：第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是8L。【跟蹤練習8】甲桶油比乙桶油多3.6千克，從兩桶中各取出1千克油后,1 2乙桶里剩下油的5相當于甲桶里剩下的荷，那么甲桶中現有多少千克？例9某工地用三種型號的卡車運送土方，已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10：7：6,速度之比為6：8：9,運送土方的路程之比是15：14：14,三種土方的重量比是10：5：7?工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入。直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了25天完成任務。那么，甲種車完成的工作量與總的工作量之比是多少？思路點撥：先求出甲、乙、丙三種車工作時間的比，再求出三種車完成的工作量之比，問題可解。解答：甲種車的一半干25天，另一半干15天，相當于所有甲種車都干20天，所以甲、乙、丙三種車工作時間之比為：20：25：25=4：5：5相同時間內，三種車各一輛完成的工程量之比為：

10X6157X8~\A10X6157X8~\A-TT-=4：4：—=28：28：27■L4 i甲、乙、丙三種車完成的工作量之比為：(28X10X4)：(28X5X5)：(27X7X5)=32：20：27甲種車完成的工程量與總工作量之比為：32：(32+20+27)=32：79答：甲種車完成的工作量與總工作量之比為32：790【跟蹤練習9】甲、乙兩桶中都盛有酒精的水溶液，甲桶中有14千克，乙桶中有10千克。甲桶中純酒精與水之比為3：4,乙桶中純酒精與水之比為2：3o現將兩桶的溶液混合，求所得溶液中純酒精與水之比是多少？例10獵犬發現在離它10m元的前方有一只奔跑著的野兔，立刻追趕。獵犬的步子大，它跑2步的路程，野兔要跑3步；但是野兔的動作快，獵犬跑3步的時間，野兔能跑4步。問獵犬至少要跑多少米才能追上野兔？思路點撥：從獵犬開始追趕野兔到追上野兔，獵犬和野兔所用的時間相等,即時間一定，因此他們跑的速度與距離成正比例。要求出獵犬跑的距離，關鍵是求出獵犬與野兔的速度之比。野兔速度=2距離單位3時間單位解答：因為野兔3步距離等于獵犬2步距離，不妨設野兔一步為2距離單位，則獵犬一步為3距離單位；又因為野兔4步的時間等于獵犬3步的時間，所以可設野兔每跑一步需3時間單位，獵犬每跑一步需4野兔速度=2距離單位3時間單位9而距離單位/時間單位港犬辣南一3距離單位獵犬速度一4時間單位距離單位/時間單位所以野兔與獵犬的速度比為設獵犬至少要跑過xm才能追上野兔，則此時野兔跑過(x-10)m,根據時間一定，速度和距離成正比：8：9=(x-10)：x8x=9(x-10),8x=9x-90,x=90答：獵犬至少要跑過90m才能追上野兔。【跟蹤練習10】一段路全長30千米，分成上坡、平路、下坡三段路，各段路程長的比是1：2：3,某人走各段路程所用的時間之比是4：5：6,已知他上坡的速度是每小時3千米。問此人走完全程共用了多長時間？專題8 大小的比較例1比較下面幾個分數的大小：1g1史1處23、17、19°思想點撥：三個帶分數的整數部分相同，因而只要比較分數部分即可。三個分母兩兩互質且較大，通分較繁瑣。三個分子的最