第19章矩形、菱形與正方形19.1矩形第1課時第19章矩形、菱形與正方形1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形ABCD四邊形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBDABCDAC平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等.角平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補.對角線平行四邊形的對角線互相平分.創設情景明確目標兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形ABCD四邊形ABCD如2平行四邊形的判定邊兩組對邊分別平行的四邊形兩組對邊分別相等的四邊形角兩組對角分別相等的四邊形對角線對角線互相平分的四邊形一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形的判定定理：平行四邊形的判定邊兩組對邊分別平行的四邊形兩組對邊分別相等的3一個角是直角兩組對邊分別平行平行四邊形矩形我們已經知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質外，還有它的特殊性質，同樣對于平行四邊形來說有特殊情況即特殊的平行四邊形，也就是這堂課我們就來研究一種特殊的平行四邊形——.矩形一個角是兩組對邊平行矩形我們已經知道平行四邊形是特殊的四邊形4有一個角是直角的平行四邊形是矩形平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形探究點一矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形平行四邊形矩形有一個角矩形是5具備平行四邊形所有的性質ABCDO角邊對角線對邊平行且相等對角相等對角線互相平分矩形的一般性質：探究點二矩形的性質具備平行四邊形所有的性質ABCDO角邊對角線對邊平行且相等對6

矩形是一個特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質外，還有哪些特殊的性質呢？猜想1：矩形的四個角都是直角．猜想2：矩形的對角線相等．ABCD矩形是一個特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質外7求證：矩形的四個角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形.求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.ABCD證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°.又∵

矩形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四個角都是直角求證：矩形的四個角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形8已知：如圖,四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.ABCD證明：在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.∴AC=BD，即矩形的對角線相等.求證:矩形的對角線相等已知：如圖,四邊形ABCD是矩形，ABCD證明：9矩形特殊的性質矩形的四個角都是直角．矩形的兩條對角線相等．從角上看：從對角線上看：矩形特殊的性質矩形的四個角都是直角．矩形的兩條對角線相等．從10矩形的

兩條對角線互相平分矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分別平行矩形的四個角都是直角矩形的兩條對角線相等邊對角線角數學語言∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，AD∥BC，CD∥AB.AC=BD，

ABCDO∴AO=CO，OD=OB，矩形的性質矩形的兩條對角線互矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分11觀察并思考下面這些物體是什么形狀,它們是軸對稱圖形嗎?是中心對稱圖形嗎？有幾條對稱軸?觀察并思考下面這些物體是什么形狀,它們是軸對稱圖形嗎?是中心12邊角對角線對稱性平行四邊形矩形對邊平行且相等對角相等，鄰角互補對角線互相平分中心對稱圖形對邊平行且相等四個角為直角對角線互相平分且相等中心對稱圖形，軸對稱圖形這是矩形所特有的性質邊角對角線對稱性平行四矩形對邊平行對角相等，對角線互中心對稱13ODCBA相等的線段：AB=CD，AD=BC，AC=BD，

OA=OC=OB=OD=AC=BD.相等的角：∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∠AOB=∠DOC，∠AOD=∠BOC，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD，

∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB.已知四邊形ABCD是矩形ODCBA相等的線段：AB=CD，AD=BC，AC=BD，14ODCBA等腰三角形有：△OAB△OBC△OCD△OAD直角三角形有：Rt△ABCRt△BCDRt△CDARt△DAB全等三角形有：Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌Rt△DAB

△OAB≌△OCD△OAD≌△OCB已知四邊形ABCD是矩形ODCBA等腰三角形有：△OAB△OBC△15例1:如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形對角線的長？∴AC與BD相等且互相平分，∴OA=OB.∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=4(㎝)，∴矩形的對角線長AC=BD=2OA=8(㎝).解：∵四邊形ABCD是矩形，DCBAo例1:如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=16已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中線.求證:BO=AC.OCBAD證明:延長BO至點D,使OD=BO,

連結AD、DC.∵AO=OC,BO=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵∠ABC=900，∴ABCD是矩形，∴AC=BD，1212∴BO=BD=AC.探究點三直角三角形的性質：斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中線17直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形是軸對稱圖形，連接對邊中點的直線是它的兩條對稱軸．矩形矩形的對邊平行且相等；矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等且互相平分．矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．總結梳理內化目標直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形矩形的對邊平181、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是(

)B.對邊相等

A.對角相等

C.對角線相等

D.對角線互相平分C達標檢測反思目標1、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是()19已知:四邊形ABCD是矩形1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，則AC＝____㎝，

OB=____㎝.2.若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，則AD=_____cm,AB=_____cm.ODCBA5104已知:四邊形ABCD是矩形ODCBA510420DCBA┓3.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=900，BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3㎝,則AC＝

㎝.(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，則AC＝

㎝，

BD＝

㎝.6510DCBA┓3.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=900，B21

四個學生正在做投圈游戲,他們分別站在一個矩形的四個頂點處，目標物放在對角線的交點處,這樣的隊形對每個人公平嗎?為什么？OABCD公平,因為OA=OC=OB=OD四個學生正在做投圈游戲,他們分別站在一個矩形22第19章矩形、菱形與正方形19.1矩形第2課時第19章矩形、菱形與正方形23小明利用周末的時間，為自己做了一個相框．問題1請你利用直尺和三角板幫他檢驗一下，相框是矩形嗎？除了矩形的定義外，有沒有其他判定矩形的方法呢？創設情景明確目標小明利用周末的時間，為自己做了一個相框．問題1請你利用24證明

逆命題（修正）問題2你還記得學習平行四邊形的判定時，我們是如何猜想并進行證明的嗎？性質猜想判定定理證明逆命題（修正）問題2你還記得學習251．掌握矩形的兩個判定定理，能根據不同的條件，選

取適當的定理進行推理計算；2．經歷矩形判定定理的猜想與證明過程，滲透類比思想，體會類比學習和圖形判定探究的一般思路．學習目標1．掌握矩形的兩個判定定理，能根據不同的條件，選學習目標26

同樣，我們能否通過研究矩形性質的逆命題，得到判定矩形的方法呢？

猜想1對角線相等的平行四邊形是矩形．

猜想2三個角是直角的四邊形是矩形．問題3如何證明這兩個猜想？合作探究達成目標同樣，我們能否通過研究矩形性質的逆命題，得到合作27證明猜想猜想1對角線相等的平行四邊形是矩形．在ABCD中，AC=BD．求證：四邊形ABCD是矩形．

B

C

D

A

證明猜想猜想1對角線相等的平行四邊形是矩形．在A28證明猜想猜想2有三個角是直角的四邊形是矩形．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求證：四邊形ABCD是矩形．

B

C

D

A

證明猜想猜想2有三個角是直角的四邊形是矩形．在四邊29方法1：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；方法2：對角線相等的平行四邊形是矩形；方法3：有三個角是直角的四邊形是矩形．理一理你能歸納矩形的判定方法嗎？方法1：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；理一理你能歸30×√×√√練習1現在你能幫小明解決問題了嗎？小明判定相框為矩形的下列方法中哪些正確？為什么？（1）有一個角是直角的四邊形是矩形；（）（2）四個角都相等的四邊形是矩形；（）（3）對角線相等的四邊形是矩形；（）（4）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（）（5）兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形．（）×√×√√練習1現在你能幫小明解決問題了嗎？小明判定相框為31探究點二矩形判定的運用例如圖，在

ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數．

A

B

C

D

O探究點二矩形判定的運用例如圖，在A32在“？”號處填上恰當的條件：四邊形平行四邊形矩形？？？總結梳理內化目標一種學習方法兩個猜想證明三種判定方法在“？”號處填上恰當的條件：四邊形平行四邊形矩形331.如圖，口ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△OAB是等邊三角形，且AB=4.求口ABCD的面積.解：∵△OAB是等邊三角形且四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4.∵∠AOB=，∴∠AOD=又∵AO=DO，∴∠ADC=，∴四邊形ABCD是矩形，AC=8，DC=4，AD=，∴平行四邊形ABCD面積為.達標檢測反思目標1.如圖，口ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△OAB是34

2、如圖AC，BD是矩形ABCD的兩條對角線，AE=CG=BF=DH.求證：四邊形EFGH是矩形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，OE=OA-AE，OG=OC-CG.

∵AE=CG，∴OE=OG，OF=OB-BF，OH=OD-DH.

∵BF=DH，∴OF=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，

EG=AC-AE-CG，

FH=BD-BF-DH，

∴EG=FH，∴平行四邊形EFGH是矩形.2、如圖AC，BD是矩形ABCD的兩條對角線，AE35第19章矩形、菱形與正方形19.2菱形第1課時第19章矩形、菱形與正方形36創設情景明確目標創設情景明確目標37華東師大版八年級數學下冊第19章矩形、菱形與正方形課件38華東師大版八年級數學下冊第19章矩形、菱形與正方形課件391．理解菱形的概念，會用菱形的性質解決簡單的問題；2．經歷類比矩形探究菱形性質的過程，通過觀察、類比、

猜想、證明等活動，體會幾何圖形研究的一般步驟和

方法．學習目標1．理解菱形的概念，會用菱形的性質解決簡單的問題；學習目標40四條相等的木條

∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）合作探究達成目標探究點一菱形的定義四條相等的木條∵AB＝CD，AD＝BC，（兩組對邊分別41有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；菱形的定義：AB=BC四邊形ABCD是菱形平行四邊形ABCDABCD有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；菱形的定義：AB=BC四42

請同學們拿出準備好的矩形紙片按照下圖對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可得到一個菱形。請同學們拿出準備好的矩形紙片按照下圖對折、再43已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、圖中有哪些相等的線段？2、圖中有哪些相等的角？3、圖中有哪些等腰三角形？4、圖中有哪些直角三角形？5、菱形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？分別是什么？對稱軸間有什么關系？探究點二菱形的性質已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、圖中有44已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、相等的線段：AB=CD=AD=BC

OA=OC，OB=OD已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、相等的45已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456782、相等的角：∠DAB=∠BCD，

∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°∠1=∠2=∠3=∠4∠5=∠6=∠7=∠8已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456782、相等的46已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456783、等腰三角形有：△ABC△DBC△ACD△ABD已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456783、等腰三47已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456784、直角三角形有：Rt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOA已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456784、直角三48已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456785、菱形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？分別是什么？對稱軸之間有什么位置關系？是兩條AC、BD所在的直線互相垂直已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456785、菱形是49

命題：菱形的四條邊都相等。ABCD命題：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.ABCDO命題：菱形的四條邊都相等。ABCD命題：菱形的對50命題：菱形的四條邊都相等。已知：如圖,四邊ABCD是菱形.求證：AB=BC=CD=AD.證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD=BC(平行四邊形的兩組對邊分別相等），AB=AD(菱形的定義），

∴AB=BC=CD=AD.ABCD命題：菱形的四條邊都相等。已知：如圖,四邊ABCD是菱形.51已知：菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，如下圖，證明：∵四邊形ABCD是菱形，ABCDO在△ABD中，又∵BO=DO，∴AB=AD（菱形的四條邊都相等）.∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，同理AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.求證：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC.命題：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.已知：菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，如下圖，證明52【菱形的面積公式】菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形的面積公式計算菱形的面積嗎?S菱形=BC×AE想一想:已知菱形的兩條對角線的長，能求出它的面積嗎?

=+=AC×BD菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半菱形ABCDOE【菱形的面積公式】菱形是特殊的平行四邊形,S菱形=BC×531、菱形的四條邊相等2、菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。3、菱形是軸對稱圖形，對角線所在的直線是對稱軸。菱形ABCDEO4、菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半菱形的性質：1、菱形的四條邊相等2、菱形的兩條對角線互相垂直，3、菱形是54探究點三

菱形性質的運用如圖，菱形花壇ABCD的周長為80m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（分別精確到0.01m和0.01m2

）探究點三菱形性質的運用如圖，菱形花壇ABCD的周長為55大顯身手解：∵花壇ABCD是菱形,∴AC⊥BD,

∠ABO=∠ABC=×60°=30°，AB=BC=CD=AD=×80=20(m).在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10(m)，BO=≈17.32（m），∴花壇的兩條小路長

AC=2AO=20(m)，

BD=2BO≈34.64(m).

花壇的面積S菱形ABCD

=AC·BD≈346.4(m2

)，大顯身手解：∵花壇ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠A56（1）什么樣的圖形叫做菱形？菱形與平行四邊形有什么關系？（2）菱形具有哪些性質？哪些是一般平行四邊形所具有的？哪些是一般平行四邊形不具有的？菱形的性質與矩形的性質有什么相同點和不同點？（3）結合本節課的學習，談談研究幾何圖形性質的體會．總結梳理內化目標（1）什么樣的圖形叫做菱形？菱形與平行四邊形有總結梳理57變式若E是BD上任意一點，那么AE與CE

有怎樣的數量關系？A

B

C

D

1.如圖，在菱形ABCD中，若∠ABC=2∠BAD，

則∠BAD=

，△ABD為

三角形．達標檢測反思目標變式若E是BD上任意一點，那么AE與CE有怎樣A582、已知四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，AB=5cm,AO=4cm,求兩條對角線AC和BD的長。3、菱形的兩條對角線的長分別是6cm和8cm，求菱形的周長和面積。2、已知四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，AB=594、把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？ACDB4、把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分ABCD60DCBADCBA61第19章矩形、菱形與正方形19.2菱形第2課時第19章矩形、菱形與正方形62我們學習了矩形的定義、性質和判定，如下表．你能發現矩形的三條判定定理分別是從哪個角度得到的嗎？矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的性質具有平行四邊形的所有性質對角線相等四個角都是直角有一個角是直角的平行四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形C

D

A

B

O

矩形的判定創設情景明確目標我們學習了矩形的定義、性質和判定，如下表．你矩形的有63菱形的定義與性質如下表．你認為可以從哪些角度思考菱形的判定條件？菱形的定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質具有平行四邊形的所有性質對角線互相垂直且平分每一組對角菱形的四條邊都相等菱形的判定C

D

A

B

O

？菱形的定義與性質如下表．你認為可以從哪些角度菱形的一組641．掌握菱形的三種判定方法，能根據不同的已知條

件，選擇適當的判定定理進行推理和計算；2．經歷菱形判定定理的探究過程，滲透類比思想，

體會研究圖形判定的一般思路．學習目標1．掌握菱形的三種判定方法，能根據不同的已知條學習目標65定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．探究點一菱形的判定求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．如圖，ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD．求證：ABCD是菱形．B

C

A

D

O

定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．探究點一菱形66求證：四邊都相等的四邊形是菱形．如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求證：四邊形ABCD是菱形．D

C

A

B

定理2：四邊都相等的四邊形是菱形．求證：四邊都相等的四邊形是菱形．如圖，四邊形ABCD67菱形的定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質具有平行四邊形的所有性質對角線互相垂直且平分每一組對角菱形的四條邊都相等菱形的判定C

D

A

B

O

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形菱形的一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的具有平行四邊68ABCDO菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=

.又∵AC⊥BD,∴AB=BC，(線段垂直平分線上的點_______________________)∴ABCD是菱形.（菱形的定義）⊥CO到線段兩個端點的距離相等已知：如圖，在

ABCD中，AC

BD,求證：

ABCD是

.

探究點二菱形的判定的運用ABCDO菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，⊥CO到線69

如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F．求證：四邊形AEDF是菱形．A

B

C

D

E

F

如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點E，DF∥A70三個角是直角四條邊都相等一個角是直角對角線相等一組鄰邊相等對角線互相垂直兩組對邊分別平行一組對邊平行且相等兩組對邊分別相等兩組對角分別相等對角線互相平分四邊形平行四邊形矩形菱形總結梳理內化目標三個角是直角四條邊都相等一個角是直角對角線相等一711、一邊長為5cm的平行四邊形，兩條對角線的長分別為6cm和8cm，那么平行四邊形的面積是.2、菱形的兩條對角線的長分別是3和4，則周長和面積分別是，.3、已知菱形的周長為80，其中一條對角線的長為20，則較小的角的度數為____,面積為_____．2410cm660°

c㎡

c㎡達標檢測反思目標1、一邊長為5cm的平行四邊形，兩條對角線的長分別為6cm72

4、如圖，用一長一短兩根木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可轉動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形．轉動木條，這個四邊形什么時候變成菱形？請說明理由．4、如圖，用一長一短兩根木條，在它們的中點處固73A

B

C

D

5、如圖，先畫兩條等長的線段AB，AD，然后分別以B，D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交點為C，連接BC，CD．得到的四邊形ABCD是菱形嗎？請說明理由．ABCD5、如圖，先畫兩條等長的線段AB，AD，74F

A

B

C

D

E

O

6.如圖，ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD，BC分別交于點E，F．求證：四邊形AFCE是菱形．FABCDEO6.如圖，ABCD的75第19章矩形、菱形與正方形19.3正方形第19章矩形、菱形與正方形76矩形的對角線相等。矩形的性質

矩形的四個角都是直角。矩形：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質

菱形的四條邊都相等。菱形的對角線互相垂直。矩形的對角線相等。矩形的性質矩形的四個角都是直角。77你能從這個變化過程中給正方形下定義嗎?有一個角是直角的菱形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。有一個角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。是直角有一個角邊相等有一組鄰邊相等有一組鄰是直角有一個角你能從這個變化過程中給正方形下定義嗎?有一個角是直角的菱形叫78(1)正方形是菱形嗎？正方形具有哪些性質?正方形是特殊的菱形，它具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。邊：對邊平行，四邊都相等。角：四個角都是直角對角線：對角線相等且互相垂直平分ABCDO想一想(1)正方形是菱形嗎？正方形具有哪些性質?正方形是特殊的菱形79(2)正方形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸.即兩條對角線，兩組對邊的中垂線.(2)正方形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?正方形是80ABCDO本題還有其他解法嗎?解:∵正方形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°.又∵正方形ABCD既是矩形又是菱形，∴∠BAD=90°, 且AC平分∠BAD，∴∠OAB=45°例1：如圖，四邊形ABCD是正方形，兩條對角線相交于點O，求∠AOB，∠OAB的度數。ABCDO本題還有其他解法嗎?解:∵正方形ABCD是菱形，81例2：已知如圖,在正方形ABCD中,點E在AC上.求證:BE=DE.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAC=∠DAC.

在△ABC和△ADC中

AB=AD，∠BAC=∠DAC，

AE=AE，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴BE=DE(全等三角形的對應邊相等）.ABCDE例2：已知如圖,在正方形ABCD中,點E在AC上.證明：∵82例3在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，且CE=AC,AE交DC于點F,試求∠E,∠AFC的度數.例3在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，且83解：∵四邊形ABCD為正方形，∵CE=AC，∴∠E=∠CAE.∵∠ACB是△ACE的一個外角，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，∵∠AFC是△CEF的一個外角，∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°,∠AFC=112.5°解：∵四邊形ABCD為正方形，∵CE=AC，∴∠E=∠CAE841.（1）邊長為2cm的正方形，對角線的長是______cm.（2）正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，則有____個等腰直角三角形.解:以正方形的四個頂點為直角頂點,共有4個等腰直角三角形,以正方形兩條對角線的交點為頂點的等腰直角三角形也有4個,因而共有8個等腰直角三角形.81.（1）邊長為2cm的正方形，對角線的長是______c853.如圖，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣才能剪出一個正方形？只要保證剪口線與折痕成45°即可

3.如圖，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣86正方形、矩形、菱形以及平行四邊形四者之間有什么關系？正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一個角是直角平行四邊形有一個角是直角有一組鄰邊相等正方形、矩形、菱形以及平行四邊形四者之間有什么關系？正方形87邊角對角線平行四邊形對邊平行且相等.對角相等對角線互相平分矩形對邊平行且相等四個角都是直角對角線互相平分且相等菱形對邊平行,四條邊相等對角相等對角線互相垂直、平分正方形對邊平行,四條邊相等四個角都是直角對角線互相垂直、平分且相等邊角對角線平行四邊形對邊平行且相等.對角相等對角線互相平分四88第19章矩形、菱形與正方形19.1矩形第1課時第19章矩形、菱形與正方形89兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形ABCD四邊形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBDABCDAC平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等.角平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補.對角線平行四邊形的對角線互相平分.創設情景明確目標兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形ABCD四邊形ABCD如90平行四邊形的判定邊兩組對邊分別平行的四邊形兩組對邊分別相等的四邊形角兩組對角分別相等的四邊形對角線對角線互相平分的四邊形一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形的判定定理：平行四邊形的判定邊兩組對邊分別平行的四邊形兩組對邊分別相等的91一個角是直角兩組對邊分別平行平行四邊形矩形我們已經知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質外，還有它的特殊性質，同樣對于平行四邊形來說有特殊情況即特殊的平行四邊形，也就是這堂課我們就來研究一種特殊的平行四邊形——.矩形一個角是兩組對邊平行矩形我們已經知道平行四邊形是特殊的四邊形92有一個角是直角的平行四邊形是矩形平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形探究點一矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形平行四邊形矩形有一個角矩形是93具備平行四邊形所有的性質ABCDO角邊對角線對邊平行且相等對角相等對角線互相平分矩形的一般性質：探究點二矩形的性質具備平行四邊形所有的性質ABCDO角邊對角線對邊平行且相等對94

矩形是一個特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質外，還有哪些特殊的性質呢？猜想1：矩形的四個角都是直角．猜想2：矩形的對角線相等．ABCD矩形是一個特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質外95求證：矩形的四個角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形.求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.ABCD證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°.又∵

矩形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四個角都是直角求證：矩形的四個角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形96已知：如圖,四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.ABCD證明：在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.∴AC=BD，即矩形的對角線相等.求證:矩形的對角線相等已知：如圖,四邊形ABCD是矩形，ABCD證明：97矩形特殊的性質矩形的四個角都是直角．矩形的兩條對角線相等．從角上看：從對角線上看：矩形特殊的性質矩形的四個角都是直角．矩形的兩條對角線相等．從98矩形的

兩條對角線互相平分矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分別平行矩形的四個角都是直角矩形的兩條對角線相等邊對角線角數學語言∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，AD∥BC，CD∥AB.AC=BD，

ABCDO∴AO=CO，OD=OB，矩形的性質矩形的兩條對角線互矩形的兩組對邊分別相等矩形的兩組對邊分99觀察并思考下面這些物體是什么形狀,它們是軸對稱圖形嗎?是中心對稱圖形嗎？有幾條對稱軸?觀察并思考下面這些物體是什么形狀,它們是軸對稱圖形嗎?是中心100邊角對角線對稱性平行四邊形矩形對邊平行且相等對角相等，鄰角互補對角線互相平分中心對稱圖形對邊平行且相等四個角為直角對角線互相平分且相等中心對稱圖形，軸對稱圖形這是矩形所特有的性質邊角對角線對稱性平行四矩形對邊平行對角相等，對角線互中心對稱101ODCBA相等的線段：AB=CD，AD=BC，AC=BD，

OA=OC=OB=OD=AC=BD.相等的角：∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∠AOB=∠DOC，∠AOD=∠BOC，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD，

∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB.已知四邊形ABCD是矩形ODCBA相等的線段：AB=CD，AD=BC，AC=BD，102ODCBA等腰三角形有：△OAB△OBC△OCD△OAD直角三角形有：Rt△ABCRt△BCDRt△CDARt△DAB全等三角形有：Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌Rt△DAB

△OAB≌△OCD△OAD≌△OCB已知四邊形ABCD是矩形ODCBA等腰三角形有：△OAB△OBC△103例1:如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形對角線的長？∴AC與BD相等且互相平分，∴OA=OB.∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=4(㎝)，∴矩形的對角線長AC=BD=2OA=8(㎝).解：∵四邊形ABCD是矩形，DCBAo例1:如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=104已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中線.求證:BO=AC.OCBAD證明:延長BO至點D,使OD=BO,

連結AD、DC.∵AO=OC,BO=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵∠ABC=900，∴ABCD是矩形，∴AC=BD，1212∴BO=BD=AC.探究點三直角三角形的性質：斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中線105直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形是軸對稱圖形，連接對邊中點的直線是它的兩條對稱軸．矩形矩形的對邊平行且相等；矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等且互相平分．矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．總結梳理內化目標直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．矩形矩形的對邊平1061、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是(

)B.對邊相等

A.對角相等

C.對角線相等

D.對角線互相平分C達標檢測反思目標1、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是()107已知:四邊形ABCD是矩形1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，則AC＝____㎝，

OB=____㎝.2.若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，則AD=_____cm,AB=_____cm.ODCBA5104已知:四邊形ABCD是矩形ODCBA5104108DCBA┓3.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=900，BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3㎝,則AC＝

㎝.(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，則AC＝

㎝，

BD＝

㎝.6510DCBA┓3.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=900，B109

四個學生正在做投圈游戲,他們分別站在一個矩形的四個頂點處，目標物放在對角線的交點處,這樣的隊形對每個人公平嗎?為什么？OABCD公平,因為OA=OC=OB=OD四個學生正在做投圈游戲,他們分別站在一個矩形110第19章矩形、菱形與正方形19.1矩形第2課時第19章矩形、菱形與正方形111小明利用周末的時間，為自己做了一個相框．問題1請你利用直尺和三角板幫他檢驗一下，相框是矩形嗎？除了矩形的定義外，有沒有其他判定矩形的方法呢？創設情景明確目標小明利用周末的時間，為自己做了一個相框．問題1請你利用112證明

逆命題（修正）問題2你還記得學習平行四邊形的判定時，我們是如何猜想并進行證明的嗎？性質猜想判定定理證明逆命題（修正）問題2你還記得學習1131．掌握矩形的兩個判定定理，能根據不同的條件，選

取適當的定理進行推理計算；2．經歷矩形判定定理的猜想與證明過程，滲透類比思想，體會類比學習和圖形判定探究的一般思路．學習目標1．掌握矩形的兩個判定定理，能根據不同的條件，選學習目標114

同樣，我們能否通過研究矩形性質的逆命題，得到判定矩形的方法呢？

猜想1對角線相等的平行四邊形是矩形．

猜想2三個角是直角的四邊形是矩形．問題3如何證明這兩個猜想？合作探究達成目標同樣，我們能否通過研究矩形性質的逆命題，得到合作115證明猜想猜想1對角線相等的平行四邊形是矩形．在ABCD中，AC=BD．求證：四邊形ABCD是矩形．

B

C

D

A

證明猜想猜想1對角線相等的平行四邊形是矩形．在A116證明猜想猜想2有三個角是直角的四邊形是矩形．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求證：四邊形ABCD是矩形．

B

C

D

A

證明猜想猜想2有三個角是直角的四邊形是矩形．在四邊117方法1：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；方法2：對角線相等的平行四邊形是矩形；方法3：有三個角是直角的四邊形是矩形．理一理你能歸納矩形的判定方法嗎？方法1：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；理一理你能歸118×√×√√練習1現在你能幫小明解決問題了嗎？小明判定相框為矩形的下列方法中哪些正確？為什么？（1）有一個角是直角的四邊形是矩形；（）（2）四個角都相等的四邊形是矩形；（）（3）對角線相等的四邊形是矩形；（）（4）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（）（5）兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形．（）×√×√√練習1現在你能幫小明解決問題了嗎？小明判定相框為119探究點二矩形判定的運用例如圖，在

ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數．

A

B

C

D

O探究點二矩形判定的運用例如圖，在A120在“？”號處填上恰當的條件：四邊形平行四邊形矩形？？？總結梳理內化目標一種學習方法兩個猜想證明三種判定方法在“？”號處填上恰當的條件：四邊形平行四邊形矩形1211.如圖，口ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△OAB是等邊三角形，且AB=4.求口ABCD的面積.解：∵△OAB是等邊三角形且四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4.∵∠AOB=，∴∠AOD=又∵AO=DO，∴∠ADC=，∴四邊形ABCD是矩形，AC=8，DC=4，AD=，∴平行四邊形ABCD面積為.達標檢測反思目標1.如圖，口ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△OAB是122

2、如圖AC，BD是矩形ABCD的兩條對角線，AE=CG=BF=DH.求證：四邊形EFGH是矩形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，OE=OA-AE，OG=OC-CG.

∵AE=CG，∴OE=OG，OF=OB-BF，OH=OD-DH.

∵BF=DH，∴OF=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，

EG=AC-AE-CG，

FH=BD-BF-DH，

∴EG=FH，∴平行四邊形EFGH是矩形.2、如圖AC，BD是矩形ABCD的兩條對角線，AE123第19章矩形、菱形與正方形19.2菱形第1課時第19章矩形、菱形與正方形124創設情景明確目標創設情景明確目標125華東師大版八年級數學下冊第19章矩形、菱形與正方形課件126華東師大版八年級數學下冊第19章矩形、菱形與正方形課件1271．理解菱形的概念，會用菱形的性質解決簡單的問題；2．經歷類比矩形探究菱形性質的過程，通過觀察、類比、

猜想、證明等活動，體會幾何圖形研究的一般步驟和

方法．學習目標1．理解菱形的概念，會用菱形的性質解決簡單的問題；學習目標128四條相等的木條

∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）合作探究達成目標探究點一菱形的定義四條相等的木條∵AB＝CD，AD＝BC，（兩組對邊分別129有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；菱形的定義：AB=BC四邊形ABCD是菱形平行四邊形ABCDABCD有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形；菱形的定義：AB=BC四130

請同學們拿出準備好的矩形紙片按照下圖對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可得到一個菱形。請同學們拿出準備好的矩形紙片按照下圖對折、再131已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、圖中有哪些相等的線段？2、圖中有哪些相等的角？3、圖中有哪些等腰三角形？4、圖中有哪些直角三角形？5、菱形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？分別是什么？對稱軸間有什么關系？探究點二菱形的性質已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、圖中有132已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、相等的線段：AB=CD=AD=BC

OA=OC，OB=OD已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456781、相等的133已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456782、相等的角：∠DAB=∠BCD，

∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°∠1=∠2=∠3=∠4∠5=∠6=∠7=∠8已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456782、相等的134已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456783、等腰三角形有：△ABC△DBC△ACD△ABD已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456783、等腰三135已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456784、直角三角形有：Rt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOA已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456784、直角三136已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456785、菱形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？分別是什么？對稱軸之間有什么位置關系？是兩條AC、BD所在的直線互相垂直已知四邊形ABCD是菱形ABCDO123456785、菱形是137

命題：菱形的四條邊都相等。ABCD命題：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.ABCDO命題：菱形的四條邊都相等。ABCD命題：菱形的對138命題：菱形的四條邊都相等。已知：如圖,四邊ABCD是菱形.求證：AB=BC=CD=AD.證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD=BC(平行四邊形的兩組對邊分別相等），AB=AD(菱形的定義），

∴AB=BC=CD=AD.ABCD命題：菱形的四條邊都相等。已知：如圖,四邊ABCD是菱形.139已知：菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，如下圖，證明：∵四邊形ABCD是菱形，ABCDO在△ABD中，又∵BO=DO，∴AB=AD（菱形的四條邊都相等）.∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，同理AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.求證：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC.命題：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.已知：菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，如下圖，證明140【菱形的面積公式】菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形的面積公式計算菱形的面積嗎?S菱形=BC×AE想一想:已知菱形的兩條對角線的長，能求出它的面積嗎?

=+=AC×BD菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半菱形ABCDOE【菱形的面積公式】菱形是特殊的平行四邊形,S菱形=BC×1411、菱形的四條邊相等2、菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。3、菱形是軸對稱圖形，對角線所在的直線是對稱軸。菱形ABCDEO4、菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半菱形的性質：1、菱形的四條邊相等2、菱形的兩條對角線互相垂直，3、菱形是142探究點三

菱形性質的運用如圖，菱形花壇ABCD的周長為80m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（分別精確到0.01m和0.01m2

）探究點三菱形性質的運用如圖，菱形花壇ABCD的周長為143大顯身手解：∵花壇ABCD是菱形,∴AC⊥BD,

∠ABO=∠ABC=×60°=30°，AB=BC=CD=AD=×80=20(m).在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10(m)，BO=≈17.32（m），∴花壇的兩條小路長

AC=2AO=20(m)，

BD=2BO≈34.64(m).

花壇的面積S菱形ABCD

=AC·BD≈346.4(m2

)，大顯身手解：∵花壇ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠A144（1）什么樣的圖形叫做菱形？菱形與平行四邊形有什么關系？（2）菱形具有哪些性質？哪些是一般平行四邊形所具有的？哪些是一般平行四邊形不具有的？菱形的性質與矩形的性質有什么相同點和不同點？（3）結合本節課的學習，談談研究幾何圖形性質的體會．總結梳理內化目標（1）什么樣的圖形叫做菱形？菱形與平行四邊形有總結梳理145變式若E是BD上任意一點，那么AE與CE

有怎樣的數量關系？A

B

C

D

1.如圖，在菱形ABCD中，若∠ABC=2∠BAD，

則∠BAD=

，△ABD為

三角形．達標檢測反思目標變式若E是BD上任意一點，那么AE與CE有怎樣A1462、已知四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，AB=5cm,AO=4cm,求兩條對角線AC和BD的長。3、菱形的兩條對角線的長分別是6cm和8cm，求菱形的周長和面積。2、已知四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，AB=1474、把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？ACDB4、把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分ABCD148DCBADCBA149第19章矩形、菱形與正方形19.2菱形第2課時第19章矩形、菱形與正方形150我們學習了矩形的定義、性質和判定，如下表．你能發現矩形的三條判定定理分別是從哪個角度得到的嗎？矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的性質具有平行四邊形的所有性質對角線相等四個角都是直角有一個角是直角的平行四邊形是矩形對角線相等的平行四邊形是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形C

D

A

B

O

矩形的判定創設情景明確目標我們學習了矩形的定義、性質和判定，如下表．你矩形的有151菱形的定義與性質如下表．你認為可以從哪些角度思考菱形的判定條件？菱形的定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質具有平行四邊形的所有性質對角線互相垂直且平分每一組對角菱形的四條邊都相等菱形的判定C

D

A

B

O

？菱形的定義與性質如下表．你認為可以從哪些角度菱形的一組1521．掌握菱形的三種判定方法，能根據不同的已知條

件，選擇適當的判定定理進行推理和計算；2．經歷菱形判定定理的探究過程，滲透類比思想，

體會研究圖形判定的一般思路．學習目標1．掌握菱形的三種判定方法，能根據不同的已知條學習目標153定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．探究點一菱形的判定求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．如圖，ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD．求證：ABCD是菱形．B

C

A

D

O

定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．探究點一菱形154求證：四邊都相等的四邊形是菱形．如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求證：四邊形ABCD是菱形．D

C

A

B

定理2：四邊都相等的四邊形是菱形．求證：四邊都相等的四邊形是菱形．如圖，四邊形ABCD155菱形的定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質具有平行四邊形的所有性質對角線互相垂直且平分每一組對角菱形的四條邊都相等菱形的判定C

D

A

B

O

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形菱形的一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的具有平行四邊156ABCDO菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=

.又∵AC⊥BD,∴AB=BC，(線段垂直平分線上的點_______________________)∴ABCD是菱形.（菱形的定義）⊥CO到線段兩個端點的距離相等已知：如圖，在

ABCD中，AC

BD,求證：

ABCD是

.

探究點二菱形的判定的運用ABCDO菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，⊥CO到線157

如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F．求證：四邊形AEDF是菱形．A

B

C

D

E

F

如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點E，DF∥A158三個角是直角四條邊都相等一個角是直角對角線相等一組鄰邊相等對角線互相垂直兩組對邊分別平行一組對邊平行且相等兩組對邊分別相等兩組對角分別相等