第二章矩陣§2.2可逆矩陣

一.行列式的乘法定理

二.可逆矩陣

三.可逆矩陣性質

上一節介紹了矩陣的一些基本運算。其中矩陣加法和減法可以看作互逆運算；如何規定矩陣乘法的逆運算呢？逆矩陣就是我們尋找的。

一.行列式的乘法定理

定理2.1（乘法定理）：假設A、B都是n階矩陣，則|AB|=|A|·|B|

二.可逆矩陣

在數的運算中，當數a

0時，有其中為a的倒數，或稱為a的逆。分塊初行變列對換所以|A|·|B|=|AB|證:則矩陣A-1稱為A的可逆矩陣或逆陣。

在矩陣的運算中，單位陣E相當于數的乘法運算中的1。對于矩陣A，如果存在一個矩陣A-1，使得1.逆矩陣定義

定義：對于n階矩陣A，若存在n階矩陣B，使則稱矩陣A是可逆的，并稱滿足上式的矩陣B為A的逆矩陣。記作A-1（A-1=B）

說明(1).在定義中矩陣A與B地位相同，如果B是A的逆矩陣；則A也是B的逆矩陣；（互逆的）

說明(2).可逆矩陣A與的逆矩陣是唯一的；事實上，若AB=BA=E，AC=CA=E，則

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C。逆矩陣唯一例如

說明(3).不是所有的矩陣都有逆矩陣。

例如與任意的2階矩陣相乘，都不可能等于單位矩陣E例1.解:設A的逆矩陣為利用待定系數法求矩陣A的逆矩陣則又因為所以

問題：在什么條件下，n階矩陣A是可逆的；如果可逆，如何求出它的逆矩陣？

分析：

將行列式展開定理1.2和推論1.3結合，得行展開列展開該矩陣與逆矩陣有關系2.伴隨矩陣

定義：設n階矩陣在A中的代數余子式稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。

說明(1).伴隨矩陣的第i行元素是A的第i列元素的代數余子式；第j列元素是A的第j行元素的代數余子式。

說明(2).伴隨矩陣A*的第i行、第j列元素是Aji，注意兩點——代數余子式和轉置。

例2.計算下列矩陣的伴隨矩陣

解:(1)根據定義，有“主換位，負變號”(2)計算代數余子式

根據前面的分析和伴隨矩陣的定義，可得

引理2.1：設n

2，A*是矩陣A=(aij

)的伴隨矩陣，則

3、定理2.2：n階矩陣A可逆的充要條件是，且此時

證：(必要性)若可逆，(充分性)

說明(4).稱A是非奇異的、或非退化的稱A是奇異矩陣、或退化的

定理2.2等價形式：A可逆A是非奇異的

說明(3).定理不僅給出了矩陣可逆的充要條件，也給出了求逆矩陣的公式。4.推論2.3：矩陣A、B均是n階矩陣，且滿足：AB=E(或BA=E)，則A、B互為逆矩陣。

說明(5).推論表明，判別B是否為A的逆矩陣，只需驗證AB=E(或BA=E)即可。

解：

例3.

判別下列矩陣是否可逆，并求出逆矩陣。

例4.

n階矩陣A、B滿足A+B=AB。證明(A–E)可逆，并求逆矩陣。

解：由A+B=AB，得：AB–A–B+E=E

即(A–E)(B–E)=E

所以A–E

可逆，且(A–E)-1=B–E

說明(6).伴隨矩陣法最多求3階逆矩陣。

三、可逆矩陣的性質

說明(1).性質4可以推廣到有限個矩陣相乘求逆。

練習1：求下列行列式、伴隨矩陣或逆矩陣。

提示：利用關系式

練習2：設A是3階方陣，且|A|=3，計算：

例5.

n階矩陣A滿足A2-2A+3E=0。求(A+E)-1，(A-E)-1

例6.

n階矩陣A、B、C滿足ABC=E，問A、B、C是否可逆，求它們的逆矩陣。

例7.

矩陣A、B、A+B均可逆，則A-1+B-1也可逆，且(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A

說明(2).矩陣乘法的消去律，當A是可逆矩陣時成立，即

利用逆矩陣概念，Cramer法則簡單表示為：

如果n階矩陣A

可逆，則線性方程組Ax=b有唯一解x=A-1b

2.Cramer法則簡潔形式3.矩陣方程

如果線性方程組的