1

大量的隨機現象中平均結果的穩定性

一、大數定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現頻率字母使用頻率生產過程中的廢品率……

第1頁/共38頁1大量的隨機現象中平均結果的穩定性一、大數定2二、幾個常見的大數定律切比雪夫Th1:切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況第2頁/共38頁2二、幾個常見的大數定律切比雪夫Th1:切比雪夫(Cheb3說明

（2）在所給的條件下，當n充分大時，n個隨機變量的算術平均值與它們的數學期望有較小的偏差的可能性比較大。可以考慮用算術平均值作為所研究指標值的近似值。（1）此定理也稱為切比雪夫大數定理第3頁/共38頁3說明（2）在所給的條件下，當4

證明切比雪夫大數定律主要的數學工具是切比雪夫不等式.注意切比雪夫不等式第4頁/共38頁4證明切比雪夫大數定律主要的數學工具是切比雪5證當X為連續型隨機變量時,設X的概率密度為f(x),則第5頁/共38頁5證當X為連續型隨機變量時,設X的概率密度為f(x),則第6說明例=3,P{|X-|<}=P{|X-|<3}0.8889=4,P{|X-|<}=P{|X-|<4}0.9375第6頁/共38頁6說明例=3,P{|X-|<}=P{|X-7例擲一顆骰子1620次，估計“六點”出現的次數X在250～290之間的概率？解由切比雪夫(Chebyshev)不等式估計第7頁/共38頁7例擲一顆骰子1620次，估計“六點”出現的次數X在28切比雪夫(Chebyshev)定理證明第8頁/共38頁8切比雪夫(Chebyshev)定理證明第8頁/共38頁9第9頁/共38頁9第9頁/共38頁10定義由此得到定理1的另一種敘述：第10頁/共38頁10定義由此得到定理1的另一種敘述：第10頁/共38頁11Th1′第11頁/共38頁11Th1′第11頁/共38頁12

定理表明事件發生的頻率依概率收斂于事件的概率。由實際推斷原理,在實際應用中,當試驗次數很大時,可以用事件發生的頻率來代替事件的概率。Th2：(伯努利大數定理)說明第12頁/共38頁12定理表明事件發生的頻率依概率收斂13Th3:(辛欽定理)說明

伯努利大數定理是辛欽定理的特殊情況。n個隨機變量的算術平均值以概率收斂于算術平均值的數學期望。第13頁/共38頁13Th3:(辛欽定理)說明14三小結1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況2.伯努利定理3.辛欽定理用算術平均值作為所研究指標值的近似值。事件發生的頻率依概率收斂于事件的概率n個隨機變量的算術平均值以概率收斂于算術平均值的數學期望。第14頁/共38頁14三小結1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情15

中心極限定理一、中心極限定理的客觀背景二、中心極限定理三、小結第15頁/共38頁15中心極限定理一、中心極限定理的客觀背景二、中心極限定理16

一、中心極限定理的客觀背景

在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.第16頁/共38頁16一、中心極限定理的客觀背景在實際問題中17空氣阻力所產生的誤差，重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.研究獨立隨機變量之和所特有的規律性問題當n無限增大時，這個和的分布是什么？本節內容第17頁/共38頁17空氣阻力所產生的誤差，重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄18

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態分布之后，人們發現，正態分布在自然界中極為常見.第18頁/共38頁18觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨19

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量的分布函數的極限.

在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態分布這一類定理都叫做中心極限定理.第19頁/共38頁19由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故不研201、獨立同分布的中心極限定理二、中心極限定理第20頁/共38頁201、獨立同分布的中心極限定理二、中心極限定理第20頁/共211.在所給的條件下，當n無窮大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和Yn的分布函數近似服從標準正態分布為極限分布。說明2.獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列維—林德伯格（Levy－Lindberg）定理.第21頁/共38頁211.在所給的條件下，當n無窮大時，n個具有期望和222.李雅普諾夫定理第22頁/共38頁222.李雅普諾夫定理第22頁/共38頁23第23頁/共38頁23第23頁/共38頁243.棣莫佛－拉普拉斯定理說明第24頁/共38頁243.棣莫佛－拉普拉斯定理說明第24頁/共38頁25例1擲一顆骰子1620次，求“六點”出現的次數X

在250～290之間的概率？4.例題解CDF.BINOM(290,1620,1/6)-CDF.BINOM(250,1620,1/6)=0.8173第25頁/共38頁25例1擲一顆骰子1620次，求“六點”出現的次數X26例2一加法器同時收到20個噪聲電器Vk(k=1,2,…,20),設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區間(0,10)上服從均勻分布。記求P{V>105}的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,…,20).近似服從正態分布N(0,1),第26頁/共38頁26例2一加法器同時收到20個噪聲電器Vk(k=1,2,…,271-CDF.NORMAL(105,20*5,SQRT(20*100/12))=0.3493第27頁/共38頁271-CDF.NORMAL(105,20*5,SQRT(228例3.對敵人的防御地段進行100次炮擊,在每次炮擊中,炮彈命中顆數的數學期望為2,均方差為1.5,求在100次炮擊中,有180顆到220顆炮彈命中目標的概率.解:設Xk為第k次炮擊炮彈命中的顆數(k=1,2,…,100),在100次炮擊中炮彈命中的總顆數相互獨立地服從同一分布，E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,…,100)第28頁/共38頁28例3.對敵人的防御地段進行100次炮擊,在每次解29隨機變量由中心極限定理得CDF.NORMAL(220,200,15)-CDF.NORMAL(180,200,15)=0.8176第29頁/共38頁29隨機變量由中心極限定理得CDF.NORMAL(220,230例4對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數相互獨立,且服從同一分布.求參加會議的家長數X超過450的概率.(2)求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率.第30頁/共38頁30例4對于一個學生而言，來參加家長會的家長人第31解(1)以Xk(k=1,2,…,400)記第k個學生來參加會議的家長數,其分布律為pk0.050120.80.15XkXk相互獨立地服從同一分布第31頁/共38頁31解(1)以Xk(k=1,2,…,400)記第k個學生32由中心極限定理得1-CDF.NORMAL(450,400*1.1,SQRT(400*0.19))=0.1257第32頁/共38頁32由中心極限定理得1-CDF.NORMAL(450,40033(2)以Y表示有一名家長來參加會議的學生人數,則Y~B(400,0.8)所以CDF.NORMAL(340,400*0.8,SQRT(400*0.8*0.2))=0.9938第33頁/共38頁33(2)以Y表示有一名家長來參加會議的學生人數,則Y34三小結1.獨立同分布的中心極限定理2.李雅普諾夫定理3.棣莫佛－拉普拉斯定理近似服從標準正態分布N(0,1)。第34頁/共38頁34三小結1.獨立同分布的中心極限定理2.李雅普諾夫35一船舶在某海區航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3的概率為p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500～30500次縱搖角度大于3的概率是多少？解將船舶每遭受一次沖擊看作是一次試驗，假定各次試驗是獨立的90000次波浪沖擊中縱搖角大于3的次數記為X，X~B(90000,1/3),思考題第35頁/共38頁35一船舶在某海區航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于36所求概率為計算太麻煩！！！分布律為采用棣莫佛－拉普拉斯定理第36頁/共38頁36所求概率為計算太麻煩！！！分布律為采用棣莫佛－拉普拉斯定37CDF.NORMAL(30500,30000,SQRT(20000))-CDF.NORMAL(29500,30000,SQRT(20000))=0.99959第37頁/共38頁37CDF.NORMAL(30500,30000,SQRT(38感謝您的欣賞第38頁/共38頁38感謝您的欣賞第38頁/共38頁39

大量的隨機現象中平均結果的穩定性

一、大數定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現頻率字母使用頻率生產過程中的廢品率……

第1頁/共38頁1大量的隨機現象中平均結果的穩定性一、大數定40二、幾個常見的大數定律切比雪夫Th1:切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況第2頁/共38頁2二、幾個常見的大數定律切比雪夫Th1:切比雪夫(Cheb41說明

（2）在所給的條件下，當n充分大時，n個隨機變量的算術平均值與它們的數學期望有較小的偏差的可能性比較大。可以考慮用算術平均值作為所研究指標值的近似值。（1）此定理也稱為切比雪夫大數定理第3頁/共38頁3說明（2）在所給的條件下，當42

證明切比雪夫大數定律主要的數學工具是切比雪夫不等式.注意切比雪夫不等式第4頁/共38頁4證明切比雪夫大數定律主要的數學工具是切比雪43證當X為連續型隨機變量時,設X的概率密度為f(x),則第5頁/共38頁5證當X為連續型隨機變量時,設X的概率密度為f(x),則第44說明例=3,P{|X-|<}=P{|X-|<3}0.8889=4,P{|X-|<}=P{|X-|<4}0.9375第6頁/共38頁6說明例=3,P{|X-|<}=P{|X-45例擲一顆骰子1620次，估計“六點”出現的次數X在250～290之間的概率？解由切比雪夫(Chebyshev)不等式估計第7頁/共38頁7例擲一顆骰子1620次，估計“六點”出現的次數X在246切比雪夫(Chebyshev)定理證明第8頁/共38頁8切比雪夫(Chebyshev)定理證明第8頁/共38頁47第9頁/共38頁9第9頁/共38頁48定義由此得到定理1的另一種敘述：第10頁/共38頁10定義由此得到定理1的另一種敘述：第10頁/共38頁49Th1′第11頁/共38頁11Th1′第11頁/共38頁50

定理表明事件發生的頻率依概率收斂于事件的概率。由實際推斷原理,在實際應用中,當試驗次數很大時,可以用事件發生的頻率來代替事件的概率。Th2：(伯努利大數定理)說明第12頁/共38頁12定理表明事件發生的頻率依概率收斂51Th3:(辛欽定理)說明

伯努利大數定理是辛欽定理的特殊情況。n個隨機變量的算術平均值以概率收斂于算術平均值的數學期望。第13頁/共38頁13Th3:(辛欽定理)說明52三小結1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況2.伯努利定理3.辛欽定理用算術平均值作為所研究指標值的近似值。事件發生的頻率依概率收斂于事件的概率n個隨機變量的算術平均值以概率收斂于算術平均值的數學期望。第14頁/共38頁14三小結1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情53

中心極限定理一、中心極限定理的客觀背景二、中心極限定理三、小結第15頁/共38頁15中心極限定理一、中心極限定理的客觀背景二、中心極限定理54

一、中心極限定理的客觀背景

在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.第16頁/共38頁16一、中心極限定理的客觀背景在實際問題中55空氣阻力所產生的誤差，重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.研究獨立隨機變量之和所特有的規律性問題當n無限增大時，這個和的分布是什么？本節內容第17頁/共38頁17空氣阻力所產生的誤差，重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄56

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態分布之后，人們發現，正態分布在自然界中極為常見.第18頁/共38頁18觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨57

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量的分布函數的極限.

在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態分布這一類定理都叫做中心極限定理.第19頁/共38頁19由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故不研581、獨立同分布的中心極限定理二、中心極限定理第20頁/共38頁201、獨立同分布的中心極限定理二、中心極限定理第20頁/共591.在所給的條件下，當n無窮大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和Yn的分布函數近似服從標準正態分布為極限分布。說明2.獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理，也稱列維—林德伯格（Levy－Lindberg）定理.第21頁/共38頁211.在所給的條件下，當n無窮大時，n個具有期望和602.李雅普諾夫定理第22頁/共38頁222.李雅普諾夫定理第22頁/共38頁61第23頁/共38頁23第23頁/共38頁623.棣莫佛－拉普拉斯定理說明第24頁/共38頁243.棣莫佛－拉普拉斯定理說明第24頁/共38頁63例1擲一顆骰子1620次，求“六點”出現的次數X

在250～290之間的概率？4.例題解CDF.BINOM(290,1620,1/6)-CDF.BINOM(250,1620,1/6)=0.8173第25頁/共38頁25例1擲一顆骰子1620次，求“六點”出現的次數X64例2一加法器同時收到20個噪聲電器Vk(k=1,2,…,20),設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區間(0,10)上服從均勻分布。記求P{V>105}的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,…,20).近似服從正態分布N(0,1),第26頁/共38頁26例2一加法器同時收到20個噪聲電器Vk(k=1,2,…,651-CDF.NORMAL(105,20*5,SQRT(20*100/12))=0.3493第27頁/共38頁271-CDF.NORMAL(105,20*5,SQRT(266例3.對敵人的防御地段進行100次炮擊,在每次炮擊中,炮彈命中顆數的數學期望為2,均方差為1.5,求在100次炮擊中,有180顆到220顆炮彈命中目標的概率.解:設Xk為第k次炮擊炮彈命中的顆數(k=1,2,…,100),在100次炮擊中炮彈命中的總顆數相互獨立地服從同一分布，E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,…,100)第28頁/共38頁28例3.對敵人的防御地段進行100次炮擊,在每次解67隨機變量由中心極限定理得CDF.NORMAL(220,200,15)-CDF.NORMAL(180,200,15)=0.8176第29頁/共38頁29隨機變量由中心極限定理得CDF.NORMAL(220,268例4對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數相互獨立,且服從同一分布.求參加會議的家長數X超過450的概率.(2)求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率.第30頁/共38頁30例4對于一個學生而言，來參加家長會的家長人第69解(1)以Xk(k=1,2,…,400)記第k個學生來參加會議的家長數,其分布律為pk0.0