果存在一個非負可積函數

p(x),

使對任意的實數x，均有x則稱X是連續型隨

量，稱p(x)是X的概率密度或密度函數，簡稱密度。顯然,在p(x)的連續點處有p(

x)

F

'

(

x)p(

y)

dyF

(

x)

四.連續型隨定義:

設隨量量X

的分布函數為F(x),如1-

10-

550

08xF

(

x

)分布函數F

(x

)與密度函數p

(x

)的幾何意義2y

p(

x)概率密度函數的性質這兩條性質是判定某函數p(x)是否為一個隨

量X

的密度函數的充要條件.xo面積為1(2)p(

x)

dx

1p(x)(1)

p(

x)

03bap(x)d

x

F(b)

F(a)bxp(x)-

10-

550

.

0

8a(3)

對連續型隨

量X,

有P(a

X

b)

P(a

X

b)

P(a

X

b)

P(a

X

b)4P(

X

b)

P(

X

b)

F

(b)xP(

X

a)

P(

X

a)

1

F

(a)f

(

x)-

10-

550

.

0

8a5(4)

連續型隨這是因量取任一常數的概率為零.的a,

x0P(

X

a)

lim

P(a

X

a

x)

x0

limf

(

x)dxa

xa

0注:

由上述性質可知，對于連續型隨

量，關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義,

所關心的是它在某一區間上取值的問題6(5)

密度函數

p

(x)

反映了隨

量X在

x

附近取值的概率的大小.即x

較小時,

有P(x

X

<

x+x)xp(

y)

dy

p(

x)xxx故X

取值于(x,x

x]的概率近似等于p(x)xp(x)x

在連續型隨

量理論中所起的作用與

P(

X

xk

)

pk

在離散型隨

量理論中所起的作用相類似.7例1

設X

是連續型隨量，其密度函數為c4x

2

x2

0

x

2f

x

02其它解:⑴．由密度函數的性質f

x

dx

1P

X

1求：⑴

常數

c;8例1（續）得

1

f

x

dx2023

2

02

x

3

c

4

x

2

x

dx

c

2

x

0

2239

8

c8c

3所以0

2

f

x

dx

f

x

dx

f

x

dx

2

321

84

x

2

x

dx例1（續）22

1

f

x

dx

f

x

dxP

X

1

f

x

dx2x3

1

3

2

x2

8

23

11021

2例2

設連續型隨量X

的分布函數為其中a>0,求(1)常數A

和B;(2)X

的密度函數f(x);(3)x

a;

a

x

a;x

a.0,F(x)

A

B

arcsin

x

,a12

2P

a

X

a.11量的分布函數處解:(1)由于連續型隨處連續,因此)

1.aa

A

B

arcsin(aA

B

arcsin(

a

)

0

,即

22

A

B

1.A

B

0

,12B

.

A

1

,12(2), |

x

|

a

;|

x

|

a.x

a;

a

x

ax

a.0

,10,0,

x2a

2

x

2

a2

1

f

(x)

F

'(x)

,2

313

(

1

1

arcsin2

)

(

1

1

arcsin

1)

1

.12

(3)

P

a

X

a

F

(

a

)

F

(

a

)2

2

22

2

幾種常見的連續型分布1.

均勻分布

若隨

量X

的概率密度為則稱X

在[a,b]上服從均勻分布,記為X～U[a,b].相應的分布函數為

1f

(

x)

b

a

0a

x

b其他

b

a1

0x

a

F

(

x)

x

a

a

x

bb

x14xf

(

x)abxF(

x)ba15(c,d)

(a,b)1

d

x

d

cc

b

aP(c

X

d)

db

a即X

的取值在(a,b)內任何長為d–c的小區間的概率與小區間的位置無關,只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.應用場合在進行大量數值計算時，如果在小數點后第k

位進行四舍五入，則產生的誤差可以看作服從

U16kk,

10210

1

12172.

指數分布若

X

的密度函數為ex

,

x

0f

(x)

0,

其他則稱X

服從參數為

的指數分布X

~

E()記作1

e0,

x

0,

x

0X

的分布函數為F

(x)

x

>0

為常數xF(

x)

10xf

(

x)018對于任意的0<a

<b,

F

(b)

F

(a)

ea

eb應用場合

用指數分布描述的實例有：隨機服務系統中的服務時間問題中的通話時間baxe

d

xP(a

X

b)

無線電元件的動物的指數分布常作為各種“

”分布的近似19性”指數分布的“無若X

~Ｅ(),則P(

X

s

t

X

s)

P(

X

t)事實上P(X

s

t X

s)

P(X

s

t,

X

s)

P(X

s

t)P(X

s)P(X

s)

et

P(X

t)1

P(X

s)

1

F(s)es

1

P(X

s

t)

1

F(s

t)

e(st

)所以，又把指數分布稱為“年輕”的分布20分布率,并求P(Y≥1).21例3

某設顧客在某銀行窗口等待服務的時間X(以分計)服從指數分布,其概率密度為某顧客在窗口等待服務,若超過10分鐘,他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數.寫出Y的x

00,

x

0f

(x)

51

e

x

/

5

,22解:設A

={一次排隊中未等到服務而離開}e

x

/

5dx

e2

.1510P(

A)

P{X

10}

10f

(x)dx排隊5次可以看作是做5重貝努里試驗,每次未等到服務而離開的概率為

e2

,

故5P(Y

k)

Ck

(e2

)k

(1

e2

)5k

,

0

k

5

.P(Y

1)

1

P(Y

0)

1

(1

e2

)5

.，

為常數,

>

0，則稱

X

服從參數為，

的正態分布記作

X

~

N

(

,

2

)3

正態分布若隨量X

的概率密度為(

x

)22

212f

(x)

e

x

dte(

t

)22

2xX

的分布函數為

F

(

x)

122324f

(x)的性質：25圖形關于直線x=

對稱：f

(

+x)=f

(

-x)在x=

時,f

(x)取得最大值12當x時f

(x)0，即曲線以x

軸為漸近線在x=±

時,曲線y

=f

(x)在對應的點處有拐點26f

(x)的兩個參數：

—位置參數即固定

,對于不同的

,對應的f

(x)的形狀不變化，只是位置不同

—形狀參數固定

，對于不同的

，f

(x)的形狀不同.若

1<

2平緩一些.則前者更陡峭一些,

而后者更應用場合若隨 量

X受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,

則

X

服從正態分布.可用正態變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差；工廠產品的尺寸；海洋波浪的高度；熱噪聲電流強度；人的生理特征；農作物的收獲量；金屬線的抗拉強度；學生們的考試成績；27一種重要的正態分布：N

(0,1)—標準正態分布

e

x

(x)

x2212

(x)是偶函數，其圖形關于縱軸對稱它的分布函數記為

(x)，其值有專門的表可查

t

2e

2

dt

x

28(x)

x12(0)

0.5

(x)

1

(x)P(|

X

|

a)

2(a)

1注意：(0)

0.5-3

-2

-11230.20.10.30.429-3

-2

-x

-1(x)

1

(x)P(|

X

|

a)

2(a)

11

x230.40.30.20.130對一般的正態分布：X

~

N

(

,

2)其分布函數

F

(x)

xe

dt122

2

(t

)2t

作變量代換

s

F

(x)

x

P(a

X

b)

F

(b)

F

(a)

b

a

31P(

X

a)

1

F

(a)

1

a

例4

設

X~

N(1,4)

,

求

P

(0

X

1.6)解

2

2P(0

X

1.6)

1.6

1

0

1

0.3

0.5

0.3

[1

0.5]

0.6179

[1

0.6915]

0.3094P384

附表332例5:已知

X

~

N

(2,

2

)

且

P(

2

<

X

<

4

)

=

0.3,求P

(X<0).解:

P(

X

0)

0

2

1

2

P(2

X

4)

4

2

2

2

2

(0)

0.3