2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形2．下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加3．已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④4．已知函數(shù)．下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；②函數(shù)是周期函數(shù)；③當(dāng)時，函數(shù)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④5．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A． B．C． D．6．拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，使得是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)，處的切線重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．110．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．12．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____；最大值為____.14．在編號為1，2，3，4，5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機(jī)抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)的概率為________.15．展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_____.16．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓Г的上頂點(diǎn)，延長AF2交橢圓Г于點(diǎn)B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)（1）證明:當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).19．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，若，，，求的面積.21．（12分）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個數(shù)；（2）記函數(shù)在區(qū)間上的兩個極值點(diǎn)分別為、，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．2．D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時滿足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線的距離公式.4．A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯誤；函數(shù)定義域?yàn)?，最值點(diǎn)即為極值點(diǎn)，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點(diǎn)，知④正確.【詳解】由題意得：定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，①正確；為周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當(dāng)時，，，，此時與無交點(diǎn)；當(dāng)時，，，，此時與無交點(diǎn)；綜上所述：與無交點(diǎn)，④正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)問題的求解；本題綜合性較強(qiáng)，對于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.5．C【解析】

對選項(xiàng)逐個驗(yàn)證即得答案.【詳解】對于，，是偶函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤；對于，，定義域?yàn)?，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤；對于，當(dāng)時，；當(dāng)時，；又時，.綜上，對，都有，是奇函數(shù).又時，是開口向上的拋物線，對稱軸，在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對于，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，但，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7．A【解析】

根據(jù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個零點(diǎn)，即可對選項(xiàng)逐個驗(yàn)證即可得出．【詳解】首先對4個選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個選項(xiàng),對其在上的零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行判斷,在上無零點(diǎn),不符合題意，排除D；然后,對剩下的2個選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意，排除C.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．8．A【解析】

根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，從而得到在上單調(diào)遞增且；再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時，單調(diào)遞減時，單調(diào)遞增又且，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.9．B【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹，從而得出，令函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，，則;當(dāng)時，則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，當(dāng)或時，，不符合題意，故.則在處的切線方程為；在處的切線方程為.由兩切線重合可知，整理得.不妨設(shè)則，由可得則當(dāng)時，的最大值為.則在上單調(diào)遞減，則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點(diǎn)是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點(diǎn)是計(jì)算.10．B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．再把點(diǎn)代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.12．C【解析】

由題設(shè)條件，可得函數(shù)的周期是，再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，則函數(shù)的周期是，所以，，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性，由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(或?qū)懗?【解析】試題分析：設(shè)，取中點(diǎn)則,因此,所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是，最大值為考點(diǎn)：函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)區(qū)間14．【解析】

先求出所有的基本事件個數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張，所有基本事件為：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10個，其中“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”包含6個基本事件，因此“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”的概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.15．70【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為：70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理，屬基礎(chǔ)題。16．【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設(shè)∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)時，可知滿足題意；將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗(yàn)的符號，即可確定整數(shù)的最大值；當(dāng)時不滿足題意，因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時無需再討論.【詳解】（1）證明：當(dāng)時代入可得，令，，則，令解得，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時，當(dāng)時，，則在時單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時成立；所以此時需滿足的整數(shù)解即可，將不等式化簡可得，令則令解得，當(dāng)時，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得最小值，則，，，所以此時滿足的整數(shù)的最大值為；當(dāng)時，在時，此時，與題意矛盾，所以不成立.因?yàn)榍笳麛?shù)的最大值，所以時無需再討論，綜上所述，當(dāng)時，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法求最值，并判斷函數(shù)值法符號，綜合性強(qiáng)，屬于難題.18．（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】

（1）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案；（2）由（Ⅰ）知，，分時，，三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為；（3）分與兩類討論，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【詳解】（1），，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，則，又，曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：，即；（2）由（1）知，，故當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，；，，；的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；綜上所述，時，單調(diào)遞增為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；（3）當(dāng)時，恒成立，所以無零點(diǎn)；當(dāng)時，由，得：，只有一個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理先求得邊c，然后由余弦定理可求得邊b；（Ⅱ）結(jié)合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫郑?，所以根?jù)余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎(chǔ)題.20．（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求得，由得出或，分兩種情況討論，結(jié)合余弦定理解三角形，進(jìn)行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，得，或，或，，，又，，即.①當(dāng)時，即，則由，，得，則，此時，的面積為；②當(dāng)時，則，即，則由，解得，，.綜上，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積的計(jì)算，涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行