數值分析NumericalValueAnalysis數值分析研究的對象

數值分析是計算數學的范疇，有時也稱它為計算數學、計算方法、數值方法等，其研究對象是各種數學問題的數值方法的設計、分析及其有關的數學理論和具體實現的一門學科，它是一個數學分支。是科學與工程計算（科學計算）的理論支持。數值分析既有純數學高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用數學的廣泛性與實際試驗的高度技術性的特點。數值分析研究的對象它是一門與計算機使用密切結合的實用性很強的數學課程。許多科學與工程實際問題（核武器的研制、導彈的發射、氣象預報）的解決都離不開科學計算。目前，試驗、理論、計算已成為人類進行科學活動的三大方法。數值分析研究的對象

它與其他學科相結合也產生一些邊緣科學，如計算力學、計算物理、計算生物學及計算經濟學等。

計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數計算(即使是函數也是通過數值分析方法處理，轉化為四則運算而形成了的一個小型論軟件包)。

本門課程將著重紹進行科學計算所必須掌握的一些最基本、最常用的算法，并分析其誤差。

科學計算的過程，是從數學模型的提出到上機計算得出結果的完整過程。（下圖表明了其中的主要步驟和相互關系）數學化離散化程序化數學模型構造算法編制程序上機運行輸出結果實際問題數值分析研究的對象數值分析研究的任務①將計算機不能直接計算的運算，化成在計算機上可執行的運算。②針對數值問題研究可在計算機上執行且行之有效的新的計算公式。例：解線性方程組，已有Cram法則，但不可行。③誤差分析，即研究數值問題的性態和數值方法的穩定性。數值分析研究的目的①學習一些常用的數值方法，掌握數值方法的基本理論，為進一步研究新算法奠定基礎。初步掌握一種軟件包：Matlab,Mathematic等的使用方法。課程主要內容代數插值法；曲線擬合與函數逼近；數值積分與數值微分；

線性代數方程組數值求解的直接法；線性代數方程組數值求解的迭代法；非線性方程與方程組數值求解；常微分方程數值求解。第一章緒論主要內容：一些常用概念；數值計算中的誤差；運算誤差分析；算法的基本概念；數值型算法的特點；算法設計的基本方法；算法的復雜度；數值型算法的穩定性。1.計算方法中常用的一些概念

數值問題數值解算法計算量病態問題良態問題數值穩定算法數值問題、數值解、算法

由一組已知數據（輸入數據），求出一組結果數據（輸出數據），使得這兩組數據之間滿足預先制定的某種關系的問題，稱為數值問題。經過計算機的計算求出的解，或由數值計算公式得出的解稱為數值解。一般數值解是近似值。由給定的已知量，經過有限次的四則運算及規定的運算順序，求出所關心的未知量的數值解，這樣所構成的整個計算步驟，稱為算法。

計算量一個算法所需要的乘法和除法總次數稱為計算量。計算量的單位為flop，表示完成一次浮點數乘或除法所需要的時間。算法的計算量可以衡量算法的優劣，因為它體現著算法的計算效率，通常算法的計算量越小，則算法的計算效率越高，因而該算法也越好。由于計算機做加減法要比乘除法快得多，故算法的計算量可以不考慮加減法的時間。例:設A，Ｂ，Ｃ分別為10×20，20×50，50×10的矩陣，計算D=ABC就有如下不同的算法和計算量算法1：D=(AB)C計算量N1=15000flop;

算法2：D=A(BC)計算量N2=12000flop.

病態問題因初始數據的微小變化，導致計算結果的劇烈變化問題稱為病態問題。病態問題也稱為壞問題、不良問題，這類問題通常是問題本身固有的。求解病態問題應該特別注意，因為實際問題的數據都是近似的或經計算機計算要對輸入數據做舍入處理，這都引起原始數據的擾動，若所求解的正好是個病態問題，則采用通常算法計算就會出現很隱蔽的錯誤，導致不良的后果。病態問題在函數計算方程組求根及方程組求解中都是存在的，它的計算或求解應用專門的方法或將其轉化為非病態問題來求解。

數值穩定算法

在計算過程中產生的舍入誤差能被控制在一定的范圍內，且對最后的結果影響不大的算法稱為穩定算法。不是數值穩定的算法稱為數值不穩定算法。

數值不穩定算法會導致計算結果失真，對數值不穩定的算法常采用轉化成相應的數值穩定的算法來處理。

2.對算法所要考慮的問題計算速度。例如，求解一個20階線性方程組，用加減消元法需3000次乘法運算，而用克萊姆法則要進行次運算，如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。2.對算法所要考慮的問題2.存儲量。

大型問題有必要考慮。3.數值穩定性。

在大量計算中，舍入誤差是積累還是能控制，這與算法有關。3.數值計算中的誤差來源及種類

---模型誤差、參數誤差、截斷誤差、舍入誤差。1.模型誤差（也稱描述誤差）模型誤差是在建立數學模型時，由于忽略了一些次要因素而產生的誤差，它是數學建模階段要考慮的誤差，不是計算方法可以解決的。2.參數誤差（也稱觀測誤差）測量已知參數時，數據帶來的誤差，它也不是計算方法能解決的問題。觀測得到的物理量：如問題、長度、電壓等。

數值計算中的誤差3.截斷誤差（也稱方法誤差）截斷誤差是對參與計算的數學公式做簡化可行處理后所產生的誤差（用有限過程代替無限過程或用容易計算的方法代替不容易計算的方法），是計算方法關注的內容。4.舍入誤差（也稱計算誤差）舍入誤差是由于計算機只能表示有限位數字，因而只能取有限位數進行計算所得的誤差，它也是計算方法關注的內容。數值計算中的誤差舍入誤差不可避免，很難控制。求解過程中產生的誤差現實問題數學模型離散格式模型誤差建模離散舍入誤差觀測模型截斷誤差數值解計算

數值計算中的誤差誤差的基本概念

絕對誤差

---近似數x*

關于準確數x

的絕對誤差：

E(x)=x

－x*（或E(x*)=x

－x*)）

---近似數x*

關于準確數x

的絕對誤差限：

｜E(x)｜=｜x

－x*

｜

---工程上表示準確數x

的范圍：

x*

－

x

x*

+

或x=

x*

---函數值的絕對誤差：

E[f(x)]

f'(x)

E(x)

數值計算中的誤差相對誤差

---近似數x*

關于準確數x

的相對誤差：---函數值的相對誤差限：---近似數x*

關于準確數x

的相對誤差限（實際應用）：

數值計算中的誤差有效數字設x*是x的一個近似值，如果x*的絕對誤差限是它的某一位的半個單位，則說近似值準確到這一位，若該位到x*

的第一位非零數字攻有n位，則稱這n

位數字為有效數字。例題下列近似值的絕對誤差限都是0.005，試問各個近似值有幾位有效數字？（3，2，無）

數值計算中的誤差有效數字

---用x*

表示x

時準確到小數點后第k

位：---近似數x*

具有n(>0)位有效數字：

數值計算中的誤差一般地，一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個數精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是0的數字起，到精確的數位止，所有的數字，都叫做這個數的有效數字．例：10/3通過四舍五入得到的如下近似數，各精確到哪一位，各有哪幾個有效數字？（1）3.3

（2）3.33例：按四舍五入原則寫出下各數具有５位有效數字的近似數。

(1)187.9325(2)0.03785551(3)8.000033(4)2.7182818

數值計算中的誤差有效數字與相對誤差的關系

---n

位有效數字的近似數x*其相對誤差：---相對誤差為

的近似數x*至少具有n位有效數字。注：在未標明近似數的絕對誤差時默認該近似數準確到末位數字，從其最左邊的非零數字起直到最右邊的一位數字止均為有效數字。4.數值計算中應注意的幾個問題某些原則

---１．使用收斂穩定的計算方法；２．小心處理病態的數學問題；３．注意簡化計算步驟，減少算術運算的次數；４．避免兩個相近的數相減，避免絕對值太小的數作除數；５．防止大數“吃掉”小數．4.數值計算中應注意的幾個問題(1)需要1+2+3+…+n次乘法;(2)需要n次乘法.注意簡化計算步驟:4.數值計算中應注意的幾個問題避免兩個相近的數相減：4.數值計算中應注意的幾個問題避免絕對值太小的數作除數:計算機運算時，絕對值很小的數作除數會溢出停機，而且當絕對