跟馳理論與加速度干擾(4—1)(4—2)(4—3)(4—1)(4—2)(4—3)本章將主要討論單車道情況下的車輛跟馳現(xiàn)象，介紹跟馳理論，建立相應(yīng)的跟馳理論模型，最后簡要介紹一下加速度干擾問題。跟馳理論是運(yùn)用動力學(xué)方法研究在限制超車的單車道上，行駛車隊(duì)中前車速度的變化引起的后車反應(yīng)。車輛跟馳行駛是車隊(duì)行駛過程中一種很重要的現(xiàn)象，對其研究有助于理解交通流的特性。跟馳理論所研究的參數(shù)之一就是車輛在給定速度u下跟馳行駛時的平均車頭間距S，平均車頭間距則可以用來估計(jì)單車道的通行能力。在對速度一間距關(guān)系的研究中，單車道通行能力的估計(jì)基本上都是基于如下公式：C二1000-u/s式中：C 單車道通行能力（veh/h）；u——速度（km/h）；s——平均車頭間距（m）。研究表明，速度—間距的關(guān)系可以由下式表示：s=a+Bu+yu式中系數(shù)a、卩、Y可取不同的值，其物理意義如下：a——車輛長度，l；B——反應(yīng)時間，T；Y——跟馳車輛最大減速度的二倍之倒數(shù)。附加項(xiàng)Yu2保證了足夠的空間，使得頭車在緊急停車的情況下跟馳車輛不與之發(fā)生碰撞，Y的經(jīng)驗(yàn)值可近似取為0.023s"英尺。一般情況下Y是非線性的，對于車速恒定（或近似恒定）、車頭間距相等的交通流，Y的近似計(jì)算公式可取為：fl式中：af、ai——分別為跟車和頭車的最大減速度。跟馳理論除了用于計(jì)算平均車頭間距以外，還可用于從微觀角度對車輛跟馳現(xiàn)象進(jìn)行分析，近似得出單車道交通流的宏觀特性。總之，跟馳理論是連接車輛個體行為與車隊(duì)宏觀特性及相應(yīng)流量、穩(wěn)定性的橋梁。

第一節(jié)線性跟馳模型的建立單車道車輛跟馳理論認(rèn)為，車頭間距在100?125m以內(nèi)時車輛間存在相互影響。分析跟馳車輛駕駛員的反應(yīng)，可將反應(yīng)過程歸結(jié)為以下三個階段：感知階段：駕駛員通過視覺搜集相關(guān)信息，包括前車的速度及加速度、車間距離（前車車尾與后車車頭之間的距離，不同于車頭間距）、相對速度等；決策階段：駕駛員對所獲信息進(jìn)行分析，決定駕駛策略；控制階段：駕駛員根據(jù)自己的決策和頭車及道路的狀況，對車輛進(jìn)行操縱控制。線性跟馳模型是在對駕駛員反應(yīng)特性分析的基礎(chǔ)上，經(jīng)過簡化得到的。一、線性跟馳模型的建立跟馳模型實(shí)際上是關(guān)于反應(yīng)—刺激的關(guān)系式，用方程表示為：反應(yīng)=九?刺激 （4—4）式中九為駕駛員對刺激的反應(yīng)系數(shù)，稱為靈敏度或靈敏系數(shù)。駕駛員接受的刺激是指其前面引導(dǎo)車的加速或減速行為以及隨之產(chǎn)生的兩車之間的速度差或車間距離的變化；駕駛員對刺激的反應(yīng)是指根據(jù)前車所做的加速或減速運(yùn)動而對后車進(jìn)行的相應(yīng)操縱及其效果。線性跟馳模型相對較簡單，圖4—1為建立線性跟馳模型的示意圖。圖4—1 線性跟馳模型示意圖圖中各參數(shù)意義如下：s(t)二x(t)-x(t)——t時刻車輛間的車頭間距；n n+1d二T-u(t)——反應(yīng)時間T內(nèi)n+1車行駛的距離；1 n+1x(t)――t時刻n+1車的位置；n+1x(t)——t時刻n車的位置；nT——反應(yīng)時間或稱反應(yīng)遲滯時間；d2――n+1車的制動距離；d――n車的制動距離；3L――停車安全距離。從圖中可以得到：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"s(t)—x(t)—x(t)—d+d+L—d (4—5)n n+1 1 2 3d—u(t)?T—u(t+T)?T—x(t+T)?T (4——6)\o"CurrentDocument"1 n+1 n+1 n+1假設(shè)兩車的制動距離相等，即d—d，則有23\o"CurrentDocument"s(t)—x(t)—x(t)—d+L (4—7)n n+1 1由式(4—5)和式(4—6)可得\o"CurrentDocument"x(t)—x(t)—x(t+T)?T+L (4—8)n n+1 n+1兩邊對t求導(dǎo)，得到\o"CurrentDocument"x(t)—x(t)—x(t+T)?T (4—9)n n+1 n+1也即x(t+T)—九[x(t)—x(t)] n—1,2,3,… (4—10)\o"CurrentDocument"n+1 n n+1或?qū)懗蓌(t)—九[x(t—T)—x(t—T)]n—1,2,3,… (4—11)\o"CurrentDocument"n+1 n n+1其中九-T-1。與式(4—4)對比，可以看出式(4—11)是對刺激一反應(yīng)方程的近似表示：刺激為兩車的相對速度；反應(yīng)為跟馳車輛的加速度。式(4—9)是在前導(dǎo)車剎車、兩車的減速距離相等以及后車在反應(yīng)時間T內(nèi)速度不變等假定下推導(dǎo)出來的。實(shí)際的情況要比這些假定復(fù)雜得多，比如刺激可能是由前車加速引起的，而兩車在變速行駛過程中駛過的距離也可能不相等。為了考慮一般的情況，通常把式(4—10)或式(4—11)作為線性跟馳模型的形式，其中九不一定取值為T-1，也不再理解為靈敏度或靈敏系數(shù)，而看成與駕駛員動作強(qiáng)度相關(guān)的量，稱為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)，量綱為-1。二、車輛跟馳行駛過程的一般表示跟馳理論的一般形式可用傳統(tǒng)控制理論的框圖表示，見圖4—2a。式(4—11)所示的線性跟馳模型表示為圖4—2b，圖中駕駛員行為由反應(yīng)時間和反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)代替。完善的跟

馳理論應(yīng)包括一系列方程，以便建模描述車輛及道路的動態(tài)特性、駕駛員的生理心理特性以及車輛間的配合。圖4—2a 車輛跟馳框圖表示圖4—2b 線性跟馳模型框圖表示第二節(jié)穩(wěn)定性分析本節(jié)討論方程（4—10）所示線性跟馳模型的兩類波動穩(wěn)定性：局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性。局部穩(wěn)定性：關(guān)注跟馳車輛對它前面車輛運(yùn)行波動的反應(yīng)，即關(guān)注車輛間配合的局部行為。漸進(jìn)穩(wěn)定性：關(guān)注車隊(duì)中每一輛車的波動特性在車隊(duì)中的表現(xiàn)，即車隊(duì)的整體波動特性，如車隊(duì)頭車的波動在車隊(duì)中的傳播。一、局部穩(wěn)定性根據(jù)研究，針對C二九T(九、T參數(shù)的意義同前)取不同的值，跟馳行駛兩車的運(yùn)動情況可以分為以下四類：0<C<e-1(q0.368)時，車頭間距不發(fā)生波動；e-1<C<兀/2時，車頭間距發(fā)生波動，但振幅呈指數(shù)衰減；C二兀/2時，車頭間距發(fā)生波動，振幅不變；C>兀/2時，車頭間距發(fā)生波動，振幅增大。對于C=e-1的情況，利用計(jì)算機(jī)模擬的辦法給出了相關(guān)運(yùn)動參數(shù)的變化曲線(其中反應(yīng)時間T—1.5s，C=e-1q0.368)，如圖4—3。模擬過程中假定頭車的加速和減速性能是理想的，頭車采取恒定的加速度和減速度。圖中實(shí)線代表頭車運(yùn)動參數(shù)的變化，虛線代表跟馳車輛運(yùn)動參數(shù)的變化，其中的“速度變化”是指頭車和跟馳車輛分別相對于初始速度的變化值，即每一時刻的速度與初始速度之差。圖4—4中給出了另外四個不同C值的車頭間距變化圖，C分別取阻尼波動、恒幅波動和增幅波動幾種情況的值。圖4—3 頭車加速度波動方式及對兩車運(yùn)動的影響距間頭車時間距間頭車時間對于一般情況下的跟馳現(xiàn)象(不一定為車隊(duì)啟動過程或剎車過程)，如果跟馳車輛的初始速度和最終速度分別為u和u，那么有12J"x(t+T)dt=u-u (4—12)0f21式中：x(t+T)——跟馳車輛的加速度。f從方程(4—10)我們得到J"[x(t)-x(t)]dt=As0lf也即" u-uAs=J"[x(t)一x(t)]dt=2i (4—13)o1 f 九式中：x(t)、xf(t)——分別為頭車和跟馳車輛的速度；lfAs――車頭間距變化量。C?e-i時，車頭間距以非波動形式變化，從式(4—13)可知車速從件變?yōu)閡2時其變化量為As。如果頭車停車，則最終速度u=0，車頭間距的總變化量為」u/九，因此跟2i馳車輛為了不發(fā)生碰撞，車間距離最小值必須為u/九，相應(yīng)的車頭間距為u/九+1(l為ii車輛長度)。為了使車頭間距盡可能小，九應(yīng)取盡可能大的值，其理想值為(eT)-i。二、漸進(jìn)穩(wěn)定性在討論了方程(4—10)所示線性跟馳模型的局部穩(wěn)定性之后，下面通過分析一列運(yùn)行的車隊(duì)(頭車除外)來討論其漸進(jìn)穩(wěn)定性。描述一列長度為N的車隊(duì)的方程為(假設(shè)車隊(duì)中各駕駛員反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)九值相同)：x(t+T)=X[x(t)-x(t)] n=1,2,3, ，N (4—14)n+i n n+i無論車頭間距為何初始值，如果發(fā)生增幅波動，那么在車隊(duì)后部的某一位置必定發(fā)生碰撞，方程(4—14)的數(shù)值解可以確定碰撞發(fā)生的位置。下面我們分析判斷波動是增幅還是衰減的標(biāo)準(zhǔn)，也即漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)研究，一列行駛的車隊(duì)僅當(dāng)C二九T<0.5?0.52（—般取0.5）時才是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即車隊(duì)中車輛波動的振幅呈衰減趨勢。漸進(jìn)穩(wěn)定性的判定標(biāo)準(zhǔn)把兩個參數(shù)確定的區(qū)域分成了穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩部分，如圖4—5所示。由此可知，C=XT<e-1保證局部穩(wěn)定性的同時也確保了漸進(jìn)穩(wěn)定性。圖4—5 漸進(jìn)穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)榱苏f明車隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，下面我們通過圖示給出兩組利用計(jì)算機(jī)模擬得到的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。圖4—6給出了一列8輛車組成的車隊(duì)中相鄰車輛車頭間距與時間的關(guān)系，分別取C二0.368,0.5,0.75。頭車n二1的初始波動方式與圖4—3所示情況相同，即先緩慢減速再加速至初始速度（加速度絕對值相等），因此加速度對時間的積分為零。t=0時車頭間距均為21m。第一種情況C=0.368（沁1/e），為非波動狀態(tài)。第二種情況C二0.5（即漸進(jìn)穩(wěn)定性的限值），此時出現(xiàn)高阻尼波動，這說明即使是在漸近穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)的極限處，波動振幅也將隨著波動在車隊(duì)的傳播而衰減，即波動被阻尼。第三種情況C=0.75，圖中很好地說明了波動的不穩(wěn)定性。k鉅間頭車k鉅間頭車時間⑸圖4—圖4—7 9輛車車隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性(C=0.80)圖4—7中(C二0.80)給出了9輛車組成的車隊(duì)中每一輛車的運(yùn)動軌跡，采用的坐標(biāo)系是移動坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)的速度與車隊(duì)的初始速度u—致。t二0時，所有的車輛都以速度u行駛，車頭間距均為12m。頭車在t=0時開始以4km/h/sec的減速度減速2s,速度從u變成u-8km/h，之后又加速至原速度u。C二0.80，所以頭車的這種速度波動將在車隊(duì)中不穩(wěn)定地傳播。從圖中可以看到，在頭車發(fā)生第一次波動后大約24s時，第7輛與第8輛車之間的車間距離變?yōu)榱悖窜囶^間距等于車輛長度，此時即發(fā)生碰撞。)((間時三、次最近車輛的配合跟馳行駛的車輛除了受最近車輛(直接在其前面的車輛)的影響之外，還會受次最近車輛(在其前面的第二輛車)的影響，這種影響也可以列入模型中，那么跟馳模型可以寫成如下形式：x(t+T)二九[x(t)-x(t)]+九[x(t)-x(t)] (4—15)n+2 1n+1 n+2 2n n+2式中：九、九一一分別為跟馳車輛駕駛員對最近車輛和次最近車輛刺激的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)。12為了確定次最近車輛的影響程度，研究人員專門做了三車跟馳實(shí)驗(yàn)。通過對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，認(rèn)為在車輛跟馳行駛過程當(dāng)中，只有最近車輛對跟馳車輛有明顯的影響，次最近車輛的影響可以忽略不計(jì)。第三節(jié)穩(wěn)態(tài)流分析滿足局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性要求，即不發(fā)生恒幅和增幅波動的交通流為穩(wěn)態(tài)流。本節(jié)將利用單車道車輛跟馳模型討論穩(wěn)態(tài)流的特性，針對不同的交通流狀態(tài)對跟馳模型進(jìn)行必要的擴(kuò)充和修正，并由此推導(dǎo)相應(yīng)的速度—間距(或速度—密度)、流量—密度關(guān)系式。一、線性跟馳模型分析為了討論方便，重寫式(4—10)如下：X(t+T)=九[x(t)—x(t)] n=1,2,3,… (4一⑹n+1 n n+1運(yùn)動過程中車隊(duì)將從一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一種隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)，為了使兩種穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系起來，現(xiàn)假定在t=0時每一輛車的速度為u，車頭間距為s。頭車在t=0時速度開始11改變(加速或減速)，在一段時間t后其最終速度變?yōu)閡。取C=九T=0.47，交通流是穩(wěn)2定的，因此車隊(duì)中每一輛車的速度最終都將達(dá)到速度u。在速度由u向u轉(zhuǎn)變的同時，212車頭間距也從s變化到s,由式(4—13)得12s二s+X—i(u—u) (4—17)2121車頭間距是交通流密度k的倒數(shù)，于是由方程(4—17)得到速度一密度關(guān)系式：k—i二k—i+X—i(u—u) (4—18)2121由此可知，式(4—17)和(4—18)把一個穩(wěn)定狀態(tài)和另外一個隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系了起來，建立了包含車輛跟馳微觀參數(shù)X在內(nèi)的宏觀交通流變量之間的關(guān)系。對于停車流，u=0，相應(yīng)的車頭間距s由車輛長度和車輛間的相對距離構(gòu)成，通常20稱為車輛的有效長度(或稱為停車安全距離)，用L表示。對應(yīng)于s的密度k?被稱作阻塞0j密度。給定k?，對于任意交通狀態(tài)，速度為u，密度為k，式(4—18)可寫為：j(4—19)u=X(k—i一k—i)(4—19)j將此公式與單車道交通試驗(yàn)觀測結(jié)果對比，如圖4—8，可以得出X的估計(jì)值0.60S-1根據(jù)漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)：C=XT<0.5,可以得出T的上限約束為0.83s。從式(4—19)可以得到如下流量—密度關(guān)系式：q=kuq=ku=i-kj]4—20)由于模型是線性的，并不能很合理地描述交通流流量和密度這兩個基本參數(shù)的變化特征，圖4—9利用與圖4—8中相同的數(shù)據(jù)進(jìn)行了說明。為了使結(jié)果更具客觀性，圖中應(yīng)用的是標(biāo)準(zhǔn)化流量和標(biāo)準(zhǔn)化密度，直線為式（4—20）標(biāo)準(zhǔn)化后的圖示。所謂標(biāo)準(zhǔn)化，就是利用觀測或計(jì)算所得的絕對值與對應(yīng)的最佳值（最大值）相比，得到其相對值。標(biāo)準(zhǔn)化流量即是用實(shí)際流量與最佳流量（最大流量）之比，標(biāo)準(zhǔn)化密度即是實(shí)際密度與最大密度（阻塞密度）之比。式（4—20）對流量和密度所要求的定性關(guān)系無法進(jìn)行解釋，這引出了對線性跟馳模型的修改。線性跟馳模型假定駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度與車間距離無關(guān)，即對給定的相對速度，不管車間距離小（如5或10m）還是大（如幾百米）反應(yīng)強(qiáng)度都是相同的。實(shí)際上，對于給定的相對速度，駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該隨車間距離的減小而增大，這是因?yàn)轳{駛員在車輛間距較小的情況相對于車輛間距較大的情況更緊張，因而反應(yīng)的強(qiáng)度也會較大。為了考慮這一因素，我們可以認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)九并非常量，而是與車頭間距成反比的，由此得出如下的非線性跟馳模型。1．車頭間距倒數(shù)模型這種模型認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)九與車頭間距成反比，即：九=九/s(T)=九/[x(T)-x(t)] (4—21)1 1 N N+1這里九]是一個新參數(shù)，假定為常量。把式(4—21)帶入式(4—16)中，可得到如下的跟馳方程：九X(t+T)二一—[X(t)-x(t)] n二1,2,3,… (4—22)N+1 x(T)-x(T)N N+1N N+1同前，我們假定這些參數(shù)是來自穩(wěn)態(tài)流的。方程通過積分得到速度—密度的如下關(guān)系：u=Xln(k/k) (4—23)1j及流量—密度的關(guān)系：q=Xkln(k/k) (4—24)1j由此可知u二0時，車頭間距等于車輛的有效長度，即：L=k-1=k-1。利用圖4—8和4—9中的數(shù)據(jù)，結(jié)合交通流參數(shù)的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式(式(4—23)和式(4—24))我們可以得到圖4—10和4—11。用最小二乘法對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到九和k的值1j分別為27.7km/h和142veh/km。經(jīng)推導(dǎo)，密度為E-1k時流量最大，為Xe-1k，該最大流j1j圖4—11標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖(參數(shù)由圖4—10擬合)分析式(4—24),在k二0時正切值dq/dk趨于無窮大(從圖4—11也能看出)，這

是不合理的。實(shí)際上，低密度情況下的車頭間距很大，車輛間的跟馳現(xiàn)象已變得很微弱。除了上述對模型的修改形式以外，我們還可以做另一種修改。分析駕駛員的反應(yīng)過程，其反應(yīng)強(qiáng)度除和車頭間距有關(guān)外，還應(yīng)與車輛速度有關(guān)，高速時的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該比低速時大，這同樣是由于速度高時駕駛員的緊張程度也高，反應(yīng)強(qiáng)度自然也大，由此得到如下的跟馳模型。正比于速度的間距平方倒數(shù)模型對反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)作如下修改：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"九=九X(t+T)/[x(t)一x (t)]22n+1 n n+1九2為新參數(shù)’假定為常量。于是跟馳模型變?yōu)槿缦滦问?九X(t+T)(4—25)X(t+T)=—^n+1—— [X(t)—x(t)]n=1,2,3,…(4—25)\o"CurrentDocument"n+1 [x(t)一x(t)]2n n+1n n+1利用車頭間距和密度的倒數(shù)關(guān)系對此式積分，如果最大流量時的速度(最佳速度)取為e_iu，則系數(shù)九為k-1，相應(yīng)地我們可以得到如下的穩(wěn)態(tài)方程：f2m(4—26)u=ue一k/k(4—26)mfmq=uke_k/km (4—27)f式中u是自由流速度，即密度趨于零時的速度，k是最大流量時的密度(最佳密度)。fm為了更完整地說明交通流速度在低密度下與車輛密度大小無關(guān)，速度—密度關(guān)系可以寫成如下形式：(4—28)u=u=uexp_其中k是車輛間剛要產(chǎn)生影響時的密度，超過此值交通流速度將隨著密度的增加而減小。f如果假定影響剛發(fā)生時的間距為120m，那么k的值近似為8veh/km。描述速度一密度關(guān)系f

的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停焊窳窒栔尉€性模型，就可以近似地表示這種關(guān)系。格林希爾治模型格林希爾治線性模型為：u=uf(1-k/k) (4—30)式中：u——自由流車速；fk——阻塞密度。式(4—30)可以寫成如下形式：u=u(1-L/S) (4—31)f對兩邊求導(dǎo)可得：(4—32)u=(uL/S2)S(4—32)f對第(n+1)輛車引入反應(yīng)時間之后：x(t+x(t+T)=-―—_f ———[x(t)x(t)] n1,2,3,…(4—33)n+1[x(t)-x (t)]2 n n+1n n+1反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)為：uLX= f(4—34)[x(t)-x (t)]2uLn n+14.模型的統(tǒng)一表示總結(jié)上述的各種跟馳理論方程(包括線性模型)，可以得到如下的通式：x(t+T)=X[x(t)一x(t)] (4—35)n+1 n n+1其中的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)X取以下幾種形式：常數(shù)，X=X；0反比于車頭間距，X=X]/S；正比于車速、反比于車頭間距的平方，X=Xu/S2；2反比于車頭間距的平方，X=uL/S2。反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)可以看作下述一般形式的具體化：X=axm(t+T)/[x(t)-x(t)]i (4—36)l,mn+1 n n+1這里的a是常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，l、m為指數(shù)且/>0、m>0。就穩(wěn)態(tài)流而言，式(4—35)l,m和式(4—36)給出了跟馳模型的基本形式。三、交通流基本參數(shù)關(guān)系式的一般表示將方程(4—35)對時間積分，X取式(4—36)的形式，可以得到：fm(u)=a?f(S)+b1(4—37)式中：，b 積分常數(shù)；u——交通流的穩(wěn)態(tài)速度；——穩(wěn)態(tài)車頭間距。f(x)可由下式確定(p=1或m)：pp豐1時，f(x)=x1-pp(4—38)p=1時，f(x)=Inxp(4—39)積分常數(shù)的確定依賴于具體的m和l值(l>0,m>0),而且與兩個邊界條件:(1)S-a時，u-口屮；(2)S二L時，u二0的滿足情況有關(guān)(各參數(shù)含義同前)，下面分幾種情況進(jìn)行討論。)>1,0<m<1的情況，兩邊界條件均滿足，積分常數(shù)、b的值可由下式求得:fa=-f(u)/f(L)< mf 1 (4—40)b=f(u) ()mf1>1，m>1的情況，僅滿足第一個邊界條件，可得到積分常數(shù)b的值如下：b二/(u) (4—41)mf積分常數(shù)a的值可以通過具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。1<1，0<m<1的情況，僅滿足第二個邊界條件，可以得到積分常數(shù)、b具有如下關(guān)系:b=-af(L) (4—42)1同樣、b的值可以利用具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過擬合求得。1<1，m>1的情況，兩邊界條件均不滿足，積分常數(shù)、b的值只能通過具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。利用式(4—37)、(4—38)、(4—39)、(4—40)、(4—41)、(4—42)以及穩(wěn)態(tài)流的特性，可以得到速度、密度和流量之間的關(guān)系。圖4—12、4—13包含了一些不同1、m值對應(yīng)的流量一密度關(guān)系曲線，其中的參數(shù)通過q二q/q和k二k/k進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化。nmaxnj圖4—13 標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖(利用式(4—34)和(4—35),m=1)從圖中可以看到，這些模型大部分與穩(wěn)態(tài)流的定性描述相一致，只要模型參數(shù)選擇適當(dāng)，基本上可以用來擬合圖4—8的數(shù)據(jù)。式(4—35)和(4—36)所給的跟馳模型的一般形式中，l、m不一定必須取整數(shù)值，也可以取非整數(shù)值，例如曾經(jīng)有人提出過m二0.8、l二2.8的模型。實(shí)際上在早期的對穩(wěn)態(tài)流和車輛跟馳現(xiàn)象的研究中，各種各樣的l和m值都得到過。四、跟馳理論的不足以及相應(yīng)的新研究方向在先前所有的討論中，我們都假定駕駛員對于同一刺激采取相同的比率加速和減速，即加速度的絕對值相等。但是，這一假設(shè)是不符合實(shí)際的，大多數(shù)車輛的減速性能要比加速性能強(qiáng)，而且在交通比較擁擠時，跟馳車輛的駕駛員對前車減速的反應(yīng)強(qiáng)度要比加速的反應(yīng)強(qiáng)度大一些，這是出于行車安全的考慮。因此，對應(yīng)于前面車輛的加速或減速刺激，即相對速度是正還是負(fù)或者車頭間距是增大還是減小，跟馳車輛的反應(yīng)具有不對稱性。為了在跟馳模型中反映出這種不對稱性，我們可以把跟馳理論的基礎(chǔ)模型改寫成如下形式：x(t+T)二九[x(t)-x(t)] (4—43)n+1 in n+1其中九二九或九，取決于相對速度是正還是負(fù)或者車頭間距是增大還是減小。i+-經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，九的平均值要比九高大約10%,這使得在利用跟馳理論解釋跟馳現(xiàn)象時-+產(chǎn)生了一個特殊的困難，即在頭車加速至較高速度再減速至初始速度的循環(huán)過程中，不對稱性將阻止車輛減速至原來的速度。N次循環(huán)后，車頭間距將增大到一定值以至于一部分車輛從車隊(duì)中漂移。為了解決這一困難，可以在模型中加一項(xiàng)松弛項(xiàng)，以考慮這種不對稱性。遺憾的是，到目前為止還沒有這方面的成型理論，對此尚需進(jìn)一步的研究和探討。除此之外，跟馳理論還有一些不足。我們上面通過對穩(wěn)態(tài)流分析，對跟馳理論的模型不斷進(jìn)行修正和擴(kuò)充，以使模型適合于各種不同的交通狀況。但是經(jīng)過近幾年的實(shí)驗(yàn)和進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，流量—密度曲線在接近最大流的地方有明顯的間斷，流量突然下降。這說明流量—密度曲線具有不連續(xù)性，而以前的研究認(rèn)為該曲線是連續(xù)的，并沒有發(fā)現(xiàn)這一問題。針對這一情況，現(xiàn)在有人提出了一種全新理論：突變理論。這種理論與傳統(tǒng)跟馳理論的建模方法完全不同，該理論中第一次提出可以用“交點(diǎn)突變”的思想來解釋和描述交通流參數(shù)的上述不連續(xù)性，有望解決傳統(tǒng)跟馳理論的不足。初步的研究表明，這一理論應(yīng)用于交通流分析具備可行性。隨著科技的發(fā)展，道路和車輛技術(shù)水平也在不斷提高。為了進(jìn)一步提高道路的利用率和通行能力，現(xiàn)在又提出了智能化公路和車輛自動駕駛的設(shè)想方案，并在做一些試驗(yàn)性的研究和探索。所謂智能化公路和車輛自動駕駛，就是在道路上開設(shè)裝有導(dǎo)向設(shè)備(如導(dǎo)向槽)的專門車道，車輛在配有特殊裝置的情況下可以進(jìn)入該車道進(jìn)行自動行駛，無需駕駛員手工操縱。車輛也可以隨意離開該車道進(jìn)入普通車道，由駕駛員手工駕駛車輛行駛。傳統(tǒng)的跟馳理論都是基于駕駛員手工操縱車輛進(jìn)行的研究，如果智能化公路和車輛自動駕駛技術(shù)在實(shí)用領(lǐng)域取得突破性進(jìn)展，那么必將導(dǎo)致跟馳理論新的研究領(lǐng)域和發(fā)展方向。目前，智能化公路與車輛自動駕駛技術(shù)的研究還處于實(shí)驗(yàn)室階段，但也取得了一些可喜成果，其應(yīng)用前景是十分樂觀的。第四節(jié)加速度干擾本節(jié)簡單介紹一下關(guān)于加速度干擾的問題。分析駕駛員在路上的行車過程，任何人都不會始終維持某一速度恒定不變，而是在一定速度范圍內(nèi)變化或擺動。交通量較小時駕駛員也會出現(xiàn)這種現(xiàn)象；交通量較大時雖然跟馳現(xiàn)象十分明顯，但是由于受交通控制信號的影響，車輛速度更會出現(xiàn)擺動。加速度干擾就是對車輛速度擺動的描述，車速擺動還涉及到乘車舒適性的問題，加速度干擾可以作為一個定量評價指標(biāo)。一、加速度干擾的計(jì)算車輛速度擺動的大小可用加速度對平均加速度的標(biāo)準(zhǔn)差◎來表示，我們稱◎?yàn)榧铀俣雀蓴_，單位與加速度的單位一致，其公式如下：j丄n的一lT01/24—44)式中：T——觀測總時間；a(t)——t時刻加速度；a——平均加速度。如果假定平均加速度為0，那么加速度干擾的公式變成如下形式4—45)。=|1J：沏甲4—45)式中參數(shù)含義同上。如果加速度的觀測以連續(xù)的時間間隔At來取樣，那么相應(yīng)的計(jì)算公式如下:c=|1工L（t）-a]Atj1/2各參數(shù)含義同上。相應(yīng)地如果平均加速度為0，則變?yōu)槿缦滦问絚=|1Ela（t）1Atj1/24—46)4—47)參數(shù)含義同上。下面來推導(dǎo)加速度干擾計(jì)算的實(shí)用公式，實(shí)際應(yīng)用中一般采用如下公式形式：-a》At41/2ii4—48)式中：aiAt――第i觀測時間段長。i其余參數(shù)含義同上，將此式進(jìn)行如下變換：第i觀測時間段的加速度（認(rèn)為各小時間段內(nèi)加速度值相等）;c=—a》Atr2ii(Au )21一匸—aAt>3Jii1/24—49)這里Au為第i觀測時間段的速度，相應(yīng)地:i=Z\Aul.{At.i=ZA~i--2aZAu+a2ZAtAt i ii一2aAu+a2Atii丿4—50)所以有Au aAtAu= .At=aAt=T—.i At iiiTiZau=T工竺=aTi T將式（4—51）代入式（4—50）,并且利用T=zAt.，有：i4—51)（AuJ2人——t-—aAt<At.丿i將此式代入式（4—49）得到：EAu2 Au2.-2a2T+a2T=z