大綱正態分布性質、計算與應用樣本分布總體與樣本參數、樣本統計量與估計樣本分布及其觀察大綱正態分布1正態分布統計學中最常用、最重要的分布正態分布統計學中最常用、最重要的分布2正態分布發現的歷史對正態分布的認識始于對測量誤差的研究，因此最初被稱為“lawoferrors”幾個重要人物AbrahamDeMoivre1667-17541733年私下里出版了一本小冊子，DoctrineofChance。他第一次提到，獨立的離散隨機變量可以近似地用一個指數函數來描述MarquisdeLaplace1749-1827長期對測量誤差的性態進行研究，他證明了，幾乎所有獨立同分布的隨機變量都會隨著樣本的增加迅速收斂于一個指數分布，即正態分布正態分布發現的歷史對正態分布的認識始于對測量誤差的研究，因此3CarlFriedrichGauss1777-1855正態分布也被稱為“高斯分布”。高斯在1809年第一個建立了兩參數的指數函數，來描述天文觀測中的誤差分布1924年，英國統計學家KarlPearson偶然發現，DeMoivre在1733年就已經寫出了正態分布的概率密度的數學表達式CarlFriedrichGauss1777-1854形狀特點鐘型，對稱正態分布的曲線是鐘形，故有時又稱為“鐘形曲線”，它反映了這樣一種極普通的情況：天下形形色色的事物中，“兩頭小，中間大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中間者占多數均值=中位數=眾數隨機變量值域無限

形狀特點鐘型，對稱5正態分布與頤和園玉帶橋它們的形狀極其相像05級經濟學系劉振楠提供的擬合結果藍色的曲線為一條正態分布曲線正態分布與頤和園玉帶橋它們的形狀極其相像05級經濟學系劉振楠6正態分布的重要性正態分布在數理統計學中占有極重要的地位描述許多隨機的活動和連續現象

統計推斷基礎現今仍在常用的許多統計方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正態分布”這個假定的基礎上，而經驗和理論（概率論中“中心極限定理”）都表明這個假定的現實性現實世界許多現象看來是雜亂無章的，如不同的人有不同的身高、體重。大批生產的產品，其質量指標各有差異。看來毫無規則，但它們在總體上服從正態分布。這一點，顯示在紛亂中有一種秩序存在正態分布的重要性正態分布在數理統計學中占有極重要的地位7正態分布概率密度函數與概率密度函數p=3.14159;e=2.71828s=總體的標準差

m=總體均值x的定義域為(－∞,+∞)正態分布的概率：正態分布概率密度函數與概率密度函數8正態分布概率密度曲線正態分布概率密度曲線9概率密度曲線的性質圖形以直線x=

為對稱軸呈鐘形對稱曲線，并且f(x)在x

=

處達到最大值在x=±處有拐點當x

→

±∞時，曲線以x軸為漸進線參數m

和s變化對分布圖形的影響如果

固定，改變

的值，則f(x)的圖形沿著x軸平行移動，但不改變形狀如果

固定，

大時，曲線平緩，

小時，曲線陡峭f(x)圖形的形狀完全由

決定，而位置完全由

決定概率密度曲線的性質圖形以直線x=為對稱軸呈鐘形對稱曲線10正態分布的標準化一般正態分布：X~N(m

,s2)記它的密度函數和分布函數為f(x)和F(x)正態分布：Z~N(1

,0)記它的密度函數和分布函數為f(x)和F(x)一般正態分布與標準正態分布的關系：正態分布的標準化一般正態分布：X~N(m,s2)11示例示例12證明對于X~N(m

,s2)，有令，則有即證明對于X~N(m,s2)，有13運用Excel計算正態分布的概率正態分布函數NORMDIST用于計算給定均值和標準差的正態分布的累積函數語法結構為：NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)cumulative為

是否返回累積分布函數標準正態分布函數NORMSDIST用于計算標準正態分布的累積函數，該分布的均值為0，標準差為

1語法結構為：NORMSDIST(z)：

。其中：z為需要計算其分布的數值。

運用Excel計算正態分布的概率正態分布函數NORMDIST14續正態分布函數的反函數：NORMINV根據已知概率等參數確定正態分布隨機變量值。其語法結構為：NORMINV(probability,mean,standard_dev)標準正態分布函數的反函數NORMSINV根據概率確定標準正態分布隨機變量的取值。其語法結構為：NORMSINV(probability)續正態分布函數的反函數：NORMINV15練習設Z~N(1

,0)，求Pr(Z≥-0.09)Pr(|Z|≤1.96)Pr(2.15<Z<6.7)設X~N(1,4)，求P(0X1.6)已知X~N(2

,s2)，且P(2<X<4)=0.3，求P(X<0)自學查正態分布表練習設Z~N(1,0)，求16例：已知分布求概率

一種自動包裝機向袋中裝糖果，標準是每袋64g。但因隨機誤差，每袋的具體重量有波動，根據以往的資料顯示，一袋糖果的重量服從均值為64g，標準差為1.5g的正態分布。問隨機抽出一袋糖果，其重量超過65g的概率為多少?重量不足62g的概率為多少?例：已知分布求概率

一種自動包裝機向袋中裝糖果，標準是每袋617例：已知概率求x值某企業對生產中某關鍵工序調查后發現，工人們完成該工序的時間（以分鐘計）近似服從正態分布N(20,32)。問：從該工序生產工人中任選一人，其完成該工序時間少于17分鐘的概率是多少？要求以95%的概率保證該工序生產時間不多于25分鐘，這一要求能否滿足？為鼓勵先進，擬獎勵該工序生產時間用得最少的10%的工人，獎勵標準應定在什么時間范圍內？例：已知概率求x值某企業對生產中某關鍵工序調查后發現，工人們18例假設某種汽車電池的壽命服從正態分布，平均數為800天，標準差為100天。現隨機抽取一個汽車電池，其壽命小于500天的概率有多大？大于1000天的概率有多大？介于700天至900天的概率有多大？如果該公司想制定一個保質期，在保質期內可以免費更換電池，公司最多可以承擔1%的免費更換，保質期應該定在多長？例假設某種汽車電池的壽命服從正態分布，平均數為800天，標準19樣本分布總體與樣本參數、樣本統計量與估計樣本分布及其觀察樣本分布總體與樣本20什么是總體描述統計中的總體定義被觀察對象的全體，我們所感興趣的全體總體分布表征總體的分組變量的次數分布，與總體均值、方差聯系在一起例：某班學生按性別分組按性別分組人數（頻數）人數比重(頻率)%男生3060女生2040合計50100什么是總體描述統計中的總體定義按性別分組人數（頻數）人數比重21用隨機變量表示總體現在我們從班上任意抽取一名學生，令隨機變量X

表示該名學生的性別，有隨機變量X

的概率分布于是為：發現：隨機變量X

的概率分布與它所對應的總體的次數分布完全一致X12pi0.60.4用隨機變量表示總體現在我們從班上任意抽取一名學生，令隨機變量22概率分布與總體分布我們可以用一個隨機變量來表示一個總體，這個隨機變量的概率分布就是該總體分布總體分布表征總體的隨機變量X的概率分布分布頻率概率均值期望方差方差概率分布與總體分布我們可以用一個隨機變量來表示一個總體，這個23樣本從總體中按照隨機原則抽出的個體組成的小群體設X1,X2,···,Xn是一組相互獨立與X具有相同分布的隨機變量，稱(X1,X2,···,Xn)為來自總體X的簡單隨機樣本，簡稱樣本，n為樣本容量X1,X2,···,Xn為樣本單位或樣本點樣本觀察值或觀察結果(x1,x2,···,xn)稱為樣本值樣本從總體中按照隨機原則抽出的個體組成的小群體24總體與樣本我們可以用一個隨機變量X來描述一個總體因為它們具有相同的概率分布以及相同的數字特征，如期望和方差我們可以用一組相互獨立與總體X具有相同分布的隨機變量(X1,X2,···,Xn)來描述一個樣本按照隨機原則從總體X中抽取的每一個樣本點一定與總體X具有相同分布總體與樣本我們可以用一個隨機變量X來描述一個總體25參數、樣本統計量與估計參數：與總體有關的數字特征總體的均值m與方差s

總體原點距、中心距等樣本統計量：根據樣本值構造出的一些特定的量，是樣本的函數，用它對總體參數進行估計時，又稱作估計量樣本均值=，用來估計m；樣本方差=，用來估計s2樣本矩用于估計總體矩參數、樣本統計量與估計參數：與總體有關的數字特征26樣本分布樣本分布樣本統計量的概率分布樣本統計量是隨樣本不同而變化的量，是隨機變量，有一定的概率分布。例：已知一個盒子里放了8個球，每個球的重量分別為1g，2g，…，8g?，F從中簡單隨機（即放回重復抽取）抽取2個球，求樣本平均重量

的概率分布。樣本分布樣本分布27兩個球的平均重量第二個球的重量12345678第一個球的重量111.522.533.544.521.522.533.544.55322.533.544.555.542.533.544.555.56533.544.555.566.563.544.555.566.57744.555.566.577.584.555.566.577.58兩個球的平均重量第二個球的重量12345678第一個球的重量28Xbar的概率分布11.522.533.544.5p1/642/643/644/645/646/647/648/6455.566.577.58p7/646/645/644/643/642/641/64Xbar的概率分布11.522.533.544.5p1/6429總體與樣本均值分布圖n=2n=3總體與樣本均值分布圖n=2n=330樣本均值分布的性質樣本均值的期望等總體均值：因為來自總體的簡單隨機樣本X1,X2,…,Xn相互獨立，并與總體具有相同的分布，則所以有樣本均值的方差等于總體方差除以樣本容量

含義：樣本容量越大，樣本均值越穩定樣本均值分布的性質樣本均值的期望等總體均值：31正態總體樣本均值分布的性質如果總體服從正態分布X~N(m,s2)，則其樣本均值Xbar，服從參數為(m,s2/n)

的正態分布，即：并有正態總體樣本均值分布的性質如果總體服從正態分布X~N(m,s32樣本均值性質的Excel模擬

模擬工具：隨機數發生器從均值為3，標準差為5的正態總體中分別抽取樣本容量為4，10，40的樣本，每種樣本容量的抽取各重復2000次觀察不同樣本容量下的樣本均值的描述統計結果樣本均值樣本方差樣本均值性質的Excel模擬模擬工具：隨機數發生器33Xbar的描述統計結果樣本容量n41040均值2.9877333.038573標準誤差

這里的n為2550.0546720.035098中值3.0199523.075469模式#N/A#N/A標準偏差S2.4449861.569619方差5.9779572.463705峰值0.215253-0.08111偏斜度0.005460.000619區域19.9536910.13068最小值-6.21058-1.94074最大值13.743118.189938Xbar的描述統計結果樣本容量n41040均值2.9877334例股市中隨機選取16支股票。假定該日股市波動幅度服從以均值為1.5％，標準差為2％的正態分布。試問所選取的16支股票的平均價格上漲的概率是多少？令

為16支股票的平均波動幅度則=1-normdist(0,1.5%,0.5%,true)

=99.87%，所選取的16支股票的平均價格上漲的概率是99.87%例股市中隨機選取16支股票。假定該日股市波動幅度服從以均值為35Stata模擬從l=3的指數分布總體中分別抽取樣本容量為4，25，400的樣本，每種樣本容量的抽取各重復20000次progsimurndexp43//rnd用于生成各種分布中的隨機數quisumxe//rndexp產生的隨機數記作xeendsimulatesimum=r(mean),reps(20000)histm,normalStata模擬從l=3的指數分布總體中分別抽取樣本容量為4，36分布圖l=3的均勻分布總體n=4的樣本均值分布n=25的樣本均值分布n=100的樣本均值分布分布圖l=3的均勻分布總體n=4的樣本均值分布n=25的n=37作業15.125.13設由自動線加工的某種零件的內徑

X(mm)~N(,1)。已知銷售每個零件的利潤T(元)與銷售零件的內徑X有如下的關系：問平均直徑

為何值時,銷售一個零件的平均利潤最大？作業15.125.1338作業2請你運用散點圖工具分別作一下均值和標準差為(0,1)以及(-5,42)的正態分布的概率密度圖以及概率分布圖，并回答以下問題：在這兩個分布中，X落在以均值為中心，一個標準差為半徑的區間中的概率分別為多少？請寫出你所輸入的Excel函數形式。你從計算的結果中得到了什么啟示？請你在這兩個分布中，分別找到一個以均值為中心的對稱區間，保證X落在該區間的概率為99%。請寫出你所輸入的Excel函數形式。你從計算出的這兩個區間中發現了什么規律？作業2請你運用散點圖工具分別作一下均值和標準差為(0,139大綱正態分布性質、計算與應用樣本分布總體與樣本參數、樣本統計量與估計樣本分布及其觀察大綱正態分布40正態分布統計學中最常用、最重要的分布正態分布統計學中最常用、最重要的分布41正態分布發現的歷史對正態分布的認識始于對測量誤差的研究，因此最初被稱為“lawoferrors”幾個重要人物AbrahamDeMoivre1667-17541733年私下里出版了一本小冊子，DoctrineofChance。他第一次提到，獨立的離散隨機變量可以近似地用一個指數函數來描述MarquisdeLaplace1749-1827長期對測量誤差的性態進行研究，他證明了，幾乎所有獨立同分布的隨機變量都會隨著樣本的增加迅速收斂于一個指數分布，即正態分布正態分布發現的歷史對正態分布的認識始于對測量誤差的研究，因此42CarlFriedrichGauss1777-1855正態分布也被稱為“高斯分布”。高斯在1809年第一個建立了兩參數的指數函數，來描述天文觀測中的誤差分布1924年，英國統計學家KarlPearson偶然發現，DeMoivre在1733年就已經寫出了正態分布的概率密度的數學表達式CarlFriedrichGauss1777-18543形狀特點鐘型，對稱正態分布的曲線是鐘形，故有時又稱為“鐘形曲線”，它反映了這樣一種極普通的情況：天下形形色色的事物中，“兩頭小，中間大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中間者占多數均值=中位數=眾數隨機變量值域無限

形狀特點鐘型，對稱44正態分布與頤和園玉帶橋它們的形狀極其相像05級經濟學系劉振楠提供的擬合結果藍色的曲線為一條正態分布曲線正態分布與頤和園玉帶橋它們的形狀極其相像05級經濟學系劉振楠45正態分布的重要性正態分布在數理統計學中占有極重要的地位描述許多隨機的活動和連續現象

統計推斷基礎現今仍在常用的許多統計方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正態分布”這個假定的基礎上，而經驗和理論（概率論中“中心極限定理”）都表明這個假定的現實性現實世界許多現象看來是雜亂無章的，如不同的人有不同的身高、體重。大批生產的產品，其質量指標各有差異。看來毫無規則，但它們在總體上服從正態分布。這一點，顯示在紛亂中有一種秩序存在正態分布的重要性正態分布在數理統計學中占有極重要的地位46正態分布概率密度函數與概率密度函數p=3.14159;e=2.71828s=總體的標準差

m=總體均值x的定義域為(－∞,+∞)正態分布的概率：正態分布概率密度函數與概率密度函數47正態分布概率密度曲線正態分布概率密度曲線48概率密度曲線的性質圖形以直線x=

為對稱軸呈鐘形對稱曲線，并且f(x)在x

=

處達到最大值在x=±處有拐點當x

→

±∞時，曲線以x軸為漸進線參數m

和s變化對分布圖形的影響如果

固定，改變

的值，則f(x)的圖形沿著x軸平行移動，但不改變形狀如果

固定，

大時，曲線平緩，

小時，曲線陡峭f(x)圖形的形狀完全由

決定，而位置完全由

決定概率密度曲線的性質圖形以直線x=為對稱軸呈鐘形對稱曲線49正態分布的標準化一般正態分布：X~N(m

,s2)記它的密度函數和分布函數為f(x)和F(x)正態分布：Z~N(1

,0)記它的密度函數和分布函數為f(x)和F(x)一般正態分布與標準正態分布的關系：正態分布的標準化一般正態分布：X~N(m,s2)50示例示例51證明對于X~N(m

,s2)，有令，則有即證明對于X~N(m,s2)，有52運用Excel計算正態分布的概率正態分布函數NORMDIST用于計算給定均值和標準差的正態分布的累積函數語法結構為：NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative)cumulative為

是否返回累積分布函數標準正態分布函數NORMSDIST用于計算標準正態分布的累積函數，該分布的均值為0，標準差為

1語法結構為：NORMSDIST(z)：

。其中：z為需要計算其分布的數值。

運用Excel計算正態分布的概率正態分布函數NORMDIST53續正態分布函數的反函數：NORMINV根據已知概率等參數確定正態分布隨機變量值。其語法結構為：NORMINV(probability,mean,standard_dev)標準正態分布函數的反函數NORMSINV根據概率確定標準正態分布隨機變量的取值。其語法結構為：NORMSINV(probability)續正態分布函數的反函數：NORMINV54練習設Z~N(1

,0)，求Pr(Z≥-0.09)Pr(|Z|≤1.96)Pr(2.15<Z<6.7)設X~N(1,4)，求P(0X1.6)已知X~N(2

,s2)，且P(2<X<4)=0.3，求P(X<0)自學查正態分布表練習設Z~N(1,0)，求55例：已知分布求概率

一種自動包裝機向袋中裝糖果，標準是每袋64g。但因隨機誤差，每袋的具體重量有波動，根據以往的資料顯示，一袋糖果的重量服從均值為64g，標準差為1.5g的正態分布。問隨機抽出一袋糖果，其重量超過65g的概率為多少?重量不足62g的概率為多少?例：已知分布求概率

一種自動包裝機向袋中裝糖果，標準是每袋656例：已知概率求x值某企業對生產中某關鍵工序調查后發現，工人們完成該工序的時間（以分鐘計）近似服從正態分布N(20,32)。問：從該工序生產工人中任選一人，其完成該工序時間少于17分鐘的概率是多少？要求以95%的概率保證該工序生產時間不多于25分鐘，這一要求能否滿足？為鼓勵先進，擬獎勵該工序生產時間用得最少的10%的工人，獎勵標準應定在什么時間范圍內？例：已知概率求x值某企業對生產中某關鍵工序調查后發現，工人們57例假設某種汽車電池的壽命服從正態分布，平均數為800天，標準差為100天?，F隨機抽取一個汽車電池，其壽命小于500天的概率有多大？大于1000天的概率有多大？介于700天至900天的概率有多大？如果該公司想制定一個保質期，在保質期內可以免費更換電池，公司最多可以承擔1%的免費更換，保質期應該定在多長？例假設某種汽車電池的壽命服從正態分布，平均數為800天，標準58樣本分布總體與樣本參數、樣本統計量與估計樣本分布及其觀察樣本分布總體與樣本59什么是總體描述統計中的總體定義被觀察對象的全體，我們所感興趣的全體總體分布表征總體的分組變量的次數分布，與總體均值、方差聯系在一起例：某班學生按性別分組按性別分組人數（頻數）人數比重(頻率)%男生3060女生2040合計50100什么是總體描述統計中的總體定義按性別分組人數（頻數）人數比重60用隨機變量表示總體現在我們從班上任意抽取一名學生，令隨機變量X

表示該名學生的性別，有隨機變量X

的概率分布于是為：發現：隨機變量X

的概率分布與它所對應的總體的次數分布完全一致X12pi0.60.4用隨機變量表示總體現在我們從班上任意抽取一名學生，令隨機變量61概率分布與總體分布我們可以用一個隨機變量來表示一個總體，這個隨機變量的概率分布就是該總體分布總體分布表征總體的隨機變量X的概率分布分布頻率概率均值期望方差方差概率分布與總體分布我們可以用一個隨機變量來表示一個總體，這個62樣本從總體中按照隨機原則抽出的個體組成的小群體設X1,X2,···,Xn是一組相互獨立與X具有相同分布的隨機變量，稱(X1,X2,···,Xn)為來自總體X的簡單隨機樣本，簡稱樣本，n為樣本容量X1,X2,···,Xn為樣本單位或樣本點樣本觀察值或觀察結果(x1,x2,···,xn)稱為樣本值樣本從總體中按照隨機原則抽出的個體組成的小群體63總體與樣本我們可以用一個隨機變量X來描述一個總體因為它們具有相同的概率分布以及相同的數字特征，如期望和方差我們可以用一組相互獨立與總體X具有相同分布的隨機變量(X1,X2,···,Xn)來描述一個樣本按照隨機原則從總體X中抽取的每一個樣本點一定與總體X具有相同分布總體與樣本我們可以用一個隨機變量X來描述一個總體64參數、樣本統計量與估計參數：與總體有關的數字特征總體的均值m與方差s

總體原點距、中心距等樣本統計量：根據樣本值構造出的一些特定的量，是樣本的函數，用它對總體參數進行估計時，又稱作估計量樣本均值=，用來估計m；樣本方差=，用來估計s2樣本矩用于估計總體矩參數、樣本統計量與估計參數：與總體有關的數字特征65樣本分布樣本分布樣本統計量的概率分布樣本統計量是隨樣本不同而變化的量，是隨機變量，有一定的概率分布。例：已知一個盒子里放了8個球，每個球的重量分別為1g，2g，…，8g?，F從中簡單隨機（即放回重復抽?。┏槿?個球，求樣本平均重量

的概率分布。樣本分布樣本分布66兩個球的平均重量第二個球的重量12345678第一個球的重量111.522.533.544.521.522.533.544.55322.533.544.555.542.533.544.555.56533.544.555.566.563.544.555.566.57744.555.566.577.584.555.566.577.58兩個球的平均重量第二個球的重量12345678第一個球的重量67Xbar的概率分布11.522.533.544.5p1/642/643/644/645/646/647/648/6455.566.577.58p7/646/645/644/643/642/641/64Xbar的概率分布11.522.533.544.5p1/6468總體與樣本均值分布圖n=2n=3總體與樣本均值分布圖n=2n=369樣本均值分布的性質樣本均值的期望等總體均值：因為來自總體的簡單隨機樣本X1,X2,…,Xn相互獨立，并與總體具有相同的分布，則所以有樣本均值的方差等于總體方差除以樣本容量

含義：樣本容量越大，樣本均值越穩定樣本均值分布的性質樣本均值的期望等總體均值：70正態總體樣本均值分布的性質如果總體服從正態分布X~N(m,s2)，則其樣本均值Xbar，服從參數為(m,s2/n)

的正態分布，即：并有正態總體樣本均值分布的性質如果總體服從正態分布X~N(m,s71樣本均值性質的Excel模擬

模擬工具：隨機數發生器從均值為3，標準差為5的正態總體中分別抽取樣本容量為4，10，40的樣本，每種樣本容量的抽取各重復2000次觀察不同樣本容量下的樣本均值的描述統計結果樣本均值樣本方差樣本均值性質的Excel模擬模擬工具：隨機數發生