課題:合情推理掌握歸納推理的技巧，并能運用解決實際問題。歸納推理的開展過程觀察歸納推理的開展過程觀察猜測證明3.數學建構●把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).注:歸納推理的特點;簡言之,歸納推理是由局部到整體、由特殊到一般的推理。●歸納推理的一般步驟：4.師生活動例1前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物.結論：所有的爬行動物都是用肺呼吸的。例2前提：三角形的內角和是1800，凸四邊形的內角和是3600，凸五邊形的內角和是5400，……結論：凸n邊形的內角和是〔n—2〕×1800。例3探究：上述結論都成立嗎？強調：歸納推理的結果不一定成立！——“一切皆有可能！〞5.提高穩固6.課堂小結(1)歸納推理是由局部到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。(2)歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發現某些相同的性質從的相同性質中推出一個明確表述的一般命題〔猜測〕證明課題：類比推理●教學目標：通過對已學知識的回憶，認識類比推理這一種合情推理的根本方法，并把它用于對問題的發現中去。類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質，類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。一．問題情境從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班〔后人稱魯班，被認為是木匠業的祖師〕一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他創造了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？二．數學活動我們再看幾個類似的推理實例。例1、試根據等式的性質猜測不等式的性質。等式的性質：猜測不等式的性質：(1)a=ba+c=b+c;(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a=bac=bc;(2)a＞bac＞bc;(3)a=ba2=b2;等等。(3)a＞ba2＞b2;等等。問：這樣猜測出的結論是否一定正確？例2、試將平面上的圓與空間的球進行類比.圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓球弦←→截面圓直徑←→大圓周長←→外表積面積←→體積圓的性質球的性質圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過切點的半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點球的切面垂直于過切點的半徑；經過球心且垂直于切面的直線必經過切點經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心經過切點且垂直于切面的直線必經過球心☆上述兩個例子均是這種由兩個〔兩類〕對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理〔簡稱類比〕．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜測；⑶檢驗猜測。即觀察、比擬觀察、比擬聯想、類推猜測新結論例3.在平面上,設ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結論:試通過類比,寫出在空間中的類似結論.穩固提高1．(2001年上海)兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,那么由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．類比平面內直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質的猜測．直角三角形

3個面兩兩垂直的四面體∠C＝90°3個邊的長度a，b，c2條直角邊a，b和1條斜邊c

∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個面的面積S1，S2，S3和S3個“直角面〞S1，S2，S3和1個“斜面〞S3．〔2004，北京〕定義“等和數列〞：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。數列是等和數列，且，公和為5，那么的值為______________，這個數列的前n項和的計算公式為________________課堂小結1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題〔猜測〕課題：演繹推理復習:合情推理歸納推理從特殊到一般類比推理從特殊到特殊從具體問題出發――觀察、分析比擬、聯想――歸納。類比――提出猜測問題情境。觀察與思考1所有的金屬都能導電銅是金屬,所以，銅能夠導電2.一切奇數都不能被2整除,(2100+1)是奇數，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函數都是周期函數,tan是三角函數,所以，tan是周期函數。提出問題：像這樣的推理是合情推理嗎？二．學生活動：1.所有的金屬都能導電←————大前提銅是金屬,←-----小前提所以，銅能夠導電←――結論2.一切奇數都不能被2整除←————大前提(2100+1)是奇數，←――小前提所以，(2100+1)不能被2整除.←―――結論3.三角函數都是周期函數,←——大前提tan是三角函數,←――小前提所以，tan是周期函數。←――結論建構數學演繹推理的定義：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．１．演繹推理是由一般到特殊的推理；２．“三段論〞是演繹推理的一般模式；包括⑴大前提---的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情況；⑶結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷．三段論的根本格式M—P〔M是P〕〔大前提〕S—M〔S是M〕〔小前提〕S—P〔S是P〕〔結論〕3.三段論推理的依據,用集合的觀點來理解:假設集合M的所有元素都具有性質P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質P.四，數學運用解：二次函數的圖象是一條拋物線〔大前提〕例2.lg2=m,計算lg0.8解〔1〕lgan=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————結論lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10)——－小前提lg0.8=lg(8/10)——結論例3.如圖;在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求證AB的中點M到D,E的距離相等解：(1)因為有一個內角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提所以△ABD是直角三角形——結論(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,——大前提因為DM是直角三角形斜邊上的中線,——小前提所以DM=AB——結論同理EM=AB所以DM=EM.五回憶小結：演繹推理具有如下特點:課本第33頁。演繹推理錯誤的主要原因是1．大前提不成立；2,小前提不符合大前提的條件。作業：第35頁練習第5題。習題2。1第4題。課題：直接證明--綜合法與分析法2．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點3．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點教學過程:學生探究過程：證明的方法〔1〕、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后到達題設的條件。綜合法那么是從數學題的條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后到達待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種根本思考方法，應用十分廣泛。〔2〕、例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)要證a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。而由條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證例2、假設實數，求證：證明：采用差值比擬法：====∴∴例3、求證此題可以嘗試使用差值比擬和商值比擬兩種方法進行。證明：1)差值比擬法：注意到要證的不等式關于對稱，不妨設，從而原不等式得證。2〕商值比擬法：設故原不等式得證。注：比擬法是證明不等式的一種最根本、最重要的方法。用比擬法證明不等式的步驟是：作差〔或作商〕、變形、判斷符號。教學反思：本節課學習了分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形〞是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成假設干個平方和等是“變形〞的常用方法。課題：間接證明--反證法(1)、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否認相反的假設，到達肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。反設是反證法的根底，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否認的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否那么推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與條件矛盾；與的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。(2)、例子例1、求證：不是有理數例2、，求證：〔且〕例3、設，求證例4、設二次函數，求證：中至少有一個不小于.證明：假設都小于，那么〔1〕另一方面，由絕對值不等式的性質，有〔2〕〔1〕、〔2〕兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與公理、定義、定理或條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？例5、設0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1例6、a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0教學反思：反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否認相反的假設，到達肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。

反設是反證法的根底，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否認的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否那么推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與條件矛盾；與的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。課題:數學歸納法1．數學歸納法的本質：無窮的歸納→有限的演繹〔遞推關系〕2．數學歸納法公理：〔1〕〔遞推奠基〕：當n取第一個值n0結論正確；〔2〕〔遞推歸納〕：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確；〔歸納假設〕證明當n=k+1時結論也正確。〔歸納證明〕由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確。【例題評析】例1.用數學歸納法證明例2：用數學歸納法證明(n∈N,n≥2)說明：注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。EX:1.用數學歸納法證明:(1)當n=1時,左邊有_____項,右邊有_____項；(2)當n=k時,左邊有_____項,右邊有_____項；(3)當n=k+1時,左邊有_____項,右邊有_____項；(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時有什么不同?變題:用數學歸納法證明(n∈N+)例3：設f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n)(n∈N,n≥2)【課堂小結】1．數學歸納法公理：〔1〕〔遞推奠基〕：當n取第一個值n0結論正確；〔2〕〔遞推歸納〕：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確；〔歸納假設〕證明當n=k+1時結論也正確。〔歸納證明〕由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確。2.注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。利用歸納假設創造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關系.【反應練習】1．用數學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證()An=1Bn=2 Cn=32．用數學歸納法證明第二步證明從“k到k+1”，左端增加的項數是()A.BCD3．假設n為大于1的自然數，求證證明(1)當n=2時，(2)假設當n=k時成立，即4．用數學歸納法證明課題:復習課一、教學目標：1．了解本章知識結構。2．進