本資料分享自高中數學同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享PAGE聯系QQ309000116加入百度網盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，一勞永逸溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。六空間幾何體、表面積與體積一、單項選擇題1．(2021·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)【命題意圖】本題以正方體ABCD-A1B1C1D1為命題載體，考查異面直線所成角的求法．【解析】選D.如圖，∠PBC1為直線PB與AD1所成角的平面角．易知△A1BC1為正三角形，又P為A1C1的中點，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).2．(2021·濰坊一模)某中學開展勞動實習，學習加工制作食品包裝盒．現有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為eq\r(3)的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為()A．144B．72C．36D．24【解析】選B.如圖：已知正六邊形的每個內角均為eq\f(2π,3)，按虛線處折成高為eq\r(3)的正六棱柱，即BF＝eq\r(3)，所以BE＝eq\f(BF,tan60°)＝1，可得正六棱柱底面邊長AB＝6－2×1＝4，所以正六棱柱的體積：V＝6×eq\f(1,2)×4×4×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝72.3．(2021·德州一模)阿基米德是偉大的古希臘數學家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數學家，他一生最為滿意的一個數學發現就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊(即球與圓柱形容器的底面和側面都相切)，球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二．今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為12π，則該模型中球的體積為()A．8πB．4πC．eq\f(8,3)πD．eq\f(8\r(2),3)π【解析】選D.由題意球的表面積為12π×eq\f(2,3)＝8π，即4πr2＝8π，r＝eq\r(2)，所以體積為V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.4．為了方便向窄口容器中注入液體，某單位設計一種圓錐形的漏斗如圖，設計要求如下：該圓錐形漏斗的高為10cm，且當窄口容器的容器口是半徑為1cm的圓時，漏斗頂點處伸入容器部分的高為2cm，則制造該漏斗所需材料面積的大小約為(假設材料沒有浪費)()A．15eq\r(5)πcm2 B．20eq\r(5)πcm2C．25eq\r(5)πcm2 D．30eq\r(5)πcm2【解析】選C.如圖：由題意知CD＝10cm，CG＝2cm，EF＝2cm，因為△ABC∽△EFC，所以eq\f(AB,EF)＝eq\f(DC,GC)，即eq\f(AB,2)＝eq\f(10,2)，解得AB＝10cm，所以AD＝5cm，可得圓錐母線l＝AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(cm)，所以側面積S＝πrl＝25eq\r(5)πcm2.5．已知圓錐的表面積為3π，側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為()A．eq\f(\r(3)π,6)B．eq\f(\r(3)π,3)C．eq\f(\r(3)π,2)D．eq\r(3)π【解析】選B.如圖，設圓錐底面半徑為r，母線長為l，高為h，則πrl＋πr2＝3π且l＝2r，解得l＝2，r＝1，所以h＝eq\r(3)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3)π,3).6．已知一個正四棱錐的底面邊長為4，以該正四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則該正四棱錐的側面積為()A．4(eq\r(5)＋1) B．eq\r(5)－1C．4(eq\r(5)－1) D．8(eq\r(5)＋1)【解析】選D.正四棱錐如圖，設四棱錐的高OE＝h，由底面邊長為4，可知OF＝2，斜高EF＝eq\r(h2＋4)，故h2＝eq\f(1,2)×4×eq\r(h2＋4)，解得h2＝2＋2eq\r(5)，故側面積為4×eq\f(1,2)×4×eq\r(h2＋4)＝4h2＝8＋8eq\r(5)＝8(1＋eq\r(5)).7．(2021·承德二模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC.所有棱長都為1，E，F分別為棱BC和A1C1的中點，若經過點A，E，F的平面將三棱柱ABC-A1B1C1分割成兩部分，則這兩部分體積的比值為()A．eq\f(5,24)B．eq\f(9,17)C．eq\f(7,24)D．eq\f(7,17)【解析】選D.如圖，平面AEF與B1C1交于點G，且C1G＝eq\f(1,4)C1B1，故GC1F-ECA為三棱臺，因為S△ABC＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，所以S△AEC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),8)，S△FGC1＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),8)＝eq\f(\r(3),32)，所以棱臺GC1F-ECA的體積：V1＝eq\f(1,3)(S△GC1F＋eq\r(S△GC1F·S△ECA)＋S△ECA)·CC1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),32)＋\r(\f(\r(3),32)×\f(\r(3),8))＋\f(\r(3),8)))＝eq\f(7\r(3),96)，三棱柱ABC-A1B1C1的體積V＝S△ABC·CC1＝eq\f(\r(3),4)，所以eq\f(V1,V－V1)＝eq\f(\f(7\r(3),96),\f(\r(3),4)－\f(7\r(3),96))＝eq\f(7,17).8．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，上底面ABC與下底面A1B1C1的中心分別為O，O1，P是OO1上一動點，記三棱錐P-ABC與三棱錐P-A1B1C1的體積分別為V1，V2，則V1·V2的最大值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(2\r(3),3)【解析】選A.因為正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，所以S△ABC＝S△A1B1C1＝eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝eq\r(3)，且OO1＝2，所以V1＋V2＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＋eq\f(1,3)S△A1B1C1·O1P＝eq\f(1,3)S△ABC·(OP＋O1P)＝eq\f(1,3)S△ABC·OO1＝eq\f(2\r(3),3)，由2eq\r(V1·V2)≤V1＋V2＝eq\f(2\r(3),3)得：V1·V2≤eq\f(1,3)，當且僅當點P為OO1的中點時等號成立，所以V1·V2的最大值為eq\f(1,3).二、多項選擇題9．(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，下列各正方體中，O為下底的中點，M，N為頂點，P為所在棱的中點，則滿足MN⊥OP的是()【解析】選BC.設正方體的棱長為2.對于A，如圖(1)所示，連接AC，則MN∥AC，故∠POC(或其補角)為異面直線OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC＝eq\r(2)，CP＝1，故tan∠POC＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立，故A錯誤．對于B，如圖(2)所示，取NT的中點為Q，連接PQ，OQ，則OQ⊥NT，PQ⊥MN，在正方體SBCM—NADT中SN⊥平面ANTD，而OQ?平面ANTD，故SN⊥OQ，而SN∩MN＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN?平面SNTM，故OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而OP?平面OPQ，故MN⊥OP，故B正確．對于C，如圖(3)，連接BD，則BD∥MN，由B的判斷可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正確．對于D，如圖(4)，取AD的中點Q，AB的中點K，連接AC，PQ，OQ，PK，OK，則AC∥MN，因為DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其補角為異面直線PO，MN所成的角，因為正方體的棱長為2，故PQ＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，OQ＝eq\r(AO2＋AQ2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，PO＝eq\r(PK2＋OK2)＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，QO2＜PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D錯誤．10．(2021·益陽模擬)如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為A1B1的中點，則下列說法正確的是()A．DE與CC1為異面直線B．DE與平面BCC1B1所成角的正切值為eq\f(\r(2),4)C．過D，C，E三點的平面截正方體所得兩部分的體積相等D．線段DE在底面ABCD的射影長為eq\r(2)【解析】選ABC.由圖可知：DE與CC1為異面直線，所以A正確；因為平面BCC1B1∥平面ADD1A1，所以DE與平面BCC1B1所成角即DE與平面ADD1A1所成角，連接A1D，顯然，∠A1DE是DE與平面ADD1A1所成角．在直角三角形EA1D中：tan∠A1DE＝eq\f(A1E,A1D)＝eq\f(\f(1,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，所以B正確；過D，C，E三點的平面截正方體所得兩部分的體積關系即為平面A1B1CD截正方體所得兩部分的體積關系，由正方體的對稱性可知截得兩部分幾何體的體積相等，所以C正確；取AB中點F，連接EF，DF，因為EF∥B1B且B1B⊥底面ABCD，所以EF⊥底面ABCD，所以DF的長為線段DE在底面ABCD的射影長，在直角三角形DFE中：EF＝1，DE＝eq\f(3,2)，所以DF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)－12)＝eq\f(\r(5),2)，所以D錯．故選ABC.11．(2021·襄陽三模)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為3，D，E，F，G分別在棱A1B1，A1C1，AB，AC上，且A1D＝A1E＝BF＝CG，H是BC的中點，P是A1H的中點，則()A．DE∥平面PFGB．若M，N分別是平面A1ABB1和A1ACC1內的動點，則△MNP周長的最小值為eq\f(9,4)C．若BF＝eq\f(1,3)AB，過P，F，G三點的平面截三棱柱所得截面的面積為eq\f(3\r(39),4)D．過點A且與直線AA1和BC所成的角都為45°的直線有2條【解析】選BCD.選項A.因為A1D＝A1E＝BF＝CG，所以DE∥FG，連接EF，DG，可得EF，DG相交于點P，則DE在平面PFG內，故A錯誤．選項B，平面A1ABB1和A1ACC1所成的銳二面角為60°，點P到平面A1ABB1和A1ACC1的距離均為eq\f(3\r(3),8)，分別作點P關于平面A1ABB1和A1ACC1的對稱點M1，N1.易證當M，N分別取直線M1N1與平面A1ABB1和A1ACC1的交點時，△MNP的周長最短，且這個周長的最小值為eq\f(9,4)，故B正確．選項C，由A選項可知，D，E在過P，F，G三點的平面中，截面面積為eq\f(3\r(39),4)，故C正確．選項D，易知AA1⊥BC，所以過點A且與直線AA1所成的角都為45°的直線構成以A為頂點，以AA1為軸的圓錐，同理和BC所成的角都為45°的直線構成以A為頂點，以B′C′為軸的圓錐，所以兩個圓錐的公共母線即求，故D正確．12．(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點P滿足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，則()A．當λ＝1時，△AB1P的周長為定值B．當μ＝1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值C．當λ＝eq\f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BPD．當μ＝eq\f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P【解析】選BD.由點P滿足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μBB1，可知點P在正方形BCC1B1內．A選項，當λ＝1時，可知點P在線段CC1(包括端點)上運動．△AB1P中，AB1＝eq\r(2)，AP＝eq\r(1＋μ2)，B1P＝eq\r(1＋（1－μ）2)，因此周長L＝AB1＋AP＋B1P不為定值，所以A選項錯誤．B選項，當μ＝1時，可知點P在線段B1C1(包括端點)上運動．由圖可知，線段B1C1∥平面A1BC，即線段B1C1上各點到平面A1BC的距離均相等，△A1BC的面積是定值，所以三棱錐P-A1BC的體積為定值，所以選項B正確．C選項，當λ＝eq\f(1,2)時，分別取線段BC，B1C1中點為D，D1，可知點P在線段DD1(包括端點)上運動．很顯然，若點P與D或D1重合，均滿足題意，所以選項C錯誤．D選項，當μ＝eq\f(1,2)時，分別取線段BB1，CC1中點為M，N，可知點P在線段MN(包括端點)上運動．此時，有且只有點P與N點重合時，滿足題意，所以選項D正確．三、填空題13(2021·全國甲卷)已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側面積為__________.【命題意圖】本題考查圓錐的概念，圓錐的體積，側面積公式，考查考生的空間想象能力，運算求解能力等．【解析】依題設可知：30π＝eq\f(1,3)πr2h＝12πh，所以h＝eq\f(5,2)，母線l＝eq\f(13,2)，所以該圓錐的側面積為πrl＝6×eq\f(13,2)π＝39π.答案：39π14．如圖，點M為矩形ABCD的邊BC的中點，AB＝1，BC＝2，將矩形ABCD繞直線AD旋轉一周所得到的幾何體體積記為V1，將△MCD繞直線CD旋轉一周所得到的幾何體體積記為V2，則eq\f(V1,V2)的值為________．【解析】將矩形ABCD繞直線AD旋轉一周所得到的幾何體是以1為底面圓的半徑，母線長為2的圓柱，所以V1＝π×12×2＝2π，將△MCD繞直線CD旋轉一周所得到的幾何體是以1為底面圓的半徑，高為1的圓錐，所以V2＝eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(π,3).因此，eq\f(V1,V2)＝6.答案：615．(2021·承德二模)某中學開展勞動實習，學習加工制作模具，有一個模具的毛坯直觀圖如圖所示，是由一個圓柱體與兩個半球對接而成的組合體，其中圓柱體的底面半徑為1，高為2，半球的半徑為1.現要在該毛坯的內部挖出一個中空的圓柱形空間，該中空的圓柱形空間的上下底面與毛坯的圓柱體底面平行，挖出中空的圓柱形空間后模具制作完成，則該模具體積的最小值為________．【解析】設中空圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2＋h(0<h<2)，則r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2)＝1，r2＝1－eq\f(h2,4)，所以中空圓柱的體積V＝πr2(2＋h)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(h2,4)))(2＋h).V′＝－πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)h2＋