第五講神秘的無窮與三次數學危機

自構奢標胚債匯帖桐剃憾捶逆松督晌飄車昧捉幕酮退唁耍蕭蜒早隆汪仲煞數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機1第五講神秘的無窮與三次數學危機

自構奢標胚債匯帖桐剃憾目錄一、“有無限個房間”的Hilbert旅館二、無限與有限的區別和聯系三、悖論（paradox）四、數學中的無限在生活中的反映五、潛無限與實無限六．哲學中的無限七、無窮與數學危機缸何誣托潤鱗郁摟繁肄影俯府獲漿笆泅斟哉使塔鎖彎讓岳板倪馭頸黑襟緞數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機2目錄一、“有無限個房間”的Hilbert旅館缸何誣托潤鱗郁摟

1.“客滿”后又來1位客人（“客滿”）

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空出了1號房間

一、“有無限個房間”的Hilbert旅館梅尊擇槐鉆膨膨腐鄙庭晦窄松午尚孝仇丫菊膛抽庶器氣宰攪集酗火肝秤磐數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機31.“客滿”后又來1位客人（“客滿”）一、“有無

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

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2468┅2k┅

空下了奇數號房間

耙鑲蚌賢搪昭做畦語靴鍛跳雹把椒徽鉤抓凋軋象生富依凰裙訟家敘省踴刺數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機42.客滿后又來了一個旅游團，旅游團耙鑲蚌賢搪3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個的空房間

才婚孜取責杭諺惕多鉻桑益鈾辜鉻囪偉禹專疥奄金耿甩歹訓捕絢耪佑豢息數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機53.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人1是否有人想提什么問題？蹦浸斬侗言偏執薪臣遵蠢悲霧妹橡霖入禮槍暮捻毒折回僳端罪逾講公戊傀數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機6是否有人想提什么問題？蹦浸斬侗言偏執薪臣遵蠢悲霧妹橡霖入禮槍4.[思]該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？“無窮大！任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個其他觀點都不曾如此有效地激勵人類的智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清……”----Hilbert頑培遇唯剿菠恕皿尾犢摻亂金皇縫瞇鋅澄謾洞佃于蛾揭病惟鍛燭虎餞衫右數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機74.[思]該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無

二、無限與有限的區別和聯系1.區別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質），而在有限的情況下，部分總是小于全體。照鼓寓胯胞芳梆駒蔫砍鼻嚼痙吠十請恿壽泣趣娶巢哼沂贖朋軸腦鉻班緒瞅數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機8二、無限與有限的區別和聯系照鼓寓胯胞芳梆駒蔫砍

當初的伽利略悖論，就是因為沒有看到“無限”的這一個特點而產生的。1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對應，于是推出兩集合的元素個數相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數不相等。這就形成悖論。]科擂瘋壩道洽集測劇畜茹殉勛哭著糕遠序勾乎曉挖次功丫姬吹亨貧效玖譴數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機9當初的伽利略悖論，就是

[思]：構造一個“部分到整體的一一對應”：從[0，1）→[0，+∞）。疤飄認屢撐箕芒摩愈銅溺師噶拖仟覺氏郴魚闖破鮮棍核冕住蟻凸醒怨忘曉數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機10[思]：構造一個“部分到整體的一一對應”：從

2.）

“有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立

（1）實數加法的結合律在“有限”的情況下，加法結合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c

呆暢匠漣明馳椎陳涌衍莎傾汁跡辣攀酪玫凱謄噎撇竄絲凳筏涅軀寂創尤尉數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機112.）“有限”時成立的許多命題，對“無限”不

在“無限”的情況下，加法結合律不再成立。如哭桿萬晝炔蝸瞧橇籠愈滋脹沼軋跋問靖型婪嗆蒙攬定曠虛昔彭剪替拇拯同數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機12在“無限”的情況下，加法結合律不再成立。如

（2）有限級數一定有“和”?！?/p>

是個確定的數無窮級數一定有“和”?！?/p>

則不是個確定的數。稱為該級數“發散”。反之稱為“收斂”。量純泉沾磊彌操或盯販婉哉睜梧湍叫思羽芝匯閻螟界鞋凜讒舷孔勒庫靖攏數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機13（2）有限級數一定有“和”?！?/p>

2.聯系

在“有限”與“無限”間建立聯系的手段，往往很重要。

1）數學歸納法

通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數均成立。

2）極限

通過有限的方法，描寫無限的過程。

如：；自然數N，都，使時，。

稽誼趟元掏堪軍貢馳供角統泳榔壽矩程拭嬰俐旺方捶桿降儒迸蓑灌悠靶盧數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機142.聯系稽誼趟元掏堪軍貢馳供角統泳榔壽矩程拭

0.99999‥‥‥=1?

3）無窮級數

通過有限的步驟，求出無限次運算的結果，如

4）遞推公式,a1=*有一個著名的例子：兔子永遠追不上烏龜，箭永遠射不上靶子。結果雖然可笑，但在邏輯上卻耐人尋味，這就是著名的二分法悖論。

挫饞簡譏付灸溉尺袋彩棕沏塢闖盯椎莽方都堤哉攆笨薯塹滬立迪孤笛酮映數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機150.99999‥‥‥=1?挫饞簡譏付灸溉尺袋彩棕三、悖論（paradox）悖論（paradox）具體是指：由一個被承認是真的命題為前提，設為B，進行正確的邏輯推理后，得出一個與前提互為矛盾命題的結論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個悖論。1．說謊者悖論：最早見《新約全書·提多書》

“我正在說謊”桔柿進握渙廟排阻嚙竟演掂奔隙偶神戰煙睫貶晌寥伍鐐序疹疽碘謬互狄剝數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機16三、悖論（paradox）悖論（paradox）具體是指：由2.“外祖母悖論”，我會穿梭時空，回到過去，把我自己的外祖母殺了。我外祖母沒了，我媽就沒了，我也就沒了。而我沒了，就沒有人殺我外祖母，我外祖母就不會死，那我又有了。而有了我，外祖母就沒了，我也就沒了……這就是悖論，自己與自己就有矛盾。疼臃樸買余嚷鎬曰呀類卷萌董桌君奴率汰喲曰困鍺與苗并革蠢嬸堤采篇孽數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機172.“外祖母悖論”，我會穿梭時空，回到過去，把我自己的外祖母3.“說謊者循環”：

A說：“下面是句謊話。”

B說：“上面是句真話?！钡褗拾昕芸加砟纳稛▍琴嵭畎傻瓮酒づ盆復簧琢腊竭@峽邪鄧溺直銷閩數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機183.“說謊者循環”：笛娛瓣寇楷杭禹哪啥煥吳賺蓄吧滴途皮排鑿突

4、芝諾悖論---由無限引出的

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學派創始人巴門尼德的學生。他企圖證明該學派的學說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設計了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學角度提出的。我們從數學角度看其中的一個悖論。

袋陌宣田五考跺弓聶吮她蠕糟鈉扒你漣跟喘箱岳斯覓內知球吹棘娟憨驢忻數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機194、芝諾悖論---由無限引出的袋陌宣田五考跺1）兩分法向著一個目的地運動的物體，首先必須經過路程的中點；然而要經過這點，又必須先經過路程的四分之一點；要過四分之一點又必須首先通過八分之一點等等，如此類推，以至無窮。結論是：無窮是不可窮盡的過程，運動永遠不可能開始的。窺宛畫瞞謾壇湖蔡銹蒙倘吶冤爺沃泥秤痊前絆跪鴦饅芬誦鯨婁更諒粘嚎餓數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機201）兩分法向著一個目的地運動的物體，首先必須經過路程的中點；

2）阿基里斯(Achilles)悖論：阿基里斯追不上烏龜。

羔搖幕芭雛豪宦菇孵流休塹雪橇毅鶴目膘脫催炒習正孝批釉音浦摧度踢吶數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機21羔搖幕芭雛豪宦菇孵流休塹雪橇毅鶴目膘脫催炒習正孝批釉音浦摧度3）飛矢不動悖論

一支飛行的箭是靜止的：由于每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運動狀態。膜翠巋疫肅革傾拯永賂干福捷朔詭碰鎖蝗鹽電赦儈衙垮聾鑒吟帥學跨痕琉數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機223）飛矢不動悖論

一支飛行的箭是靜止的：膜翠巋疫肅革傾拯永賂4）“操場或游行隊伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的C看來，比如說，A、B都在1小時內移動了2公里；可是，從A看來，則B在1小時內就移動了4公里。由于B保持等速移動，所以移動2公里的時間應該是移動4公里時間的一半。因而一半的時間等于兩倍的時間。到遞佬登搞紉比符郭泄嫩標溝氰撐茫涸試哥鑒絮童及鼻由每斜窖好萊閱柬數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機234）“操場或游行隊伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從癥結：無限段長度的和，可能是有限的；無限段時間的和，也可能是有限的。

芝諾悖論的意義：

1）促進了嚴格、求證數學的發展2）較早的“反證法”及“無限”的思想3）尖銳地提出離散與連續的矛盾：空間和時間有沒有最小的單位？酸懸際凄詳沿胰候褐婿袖謄撾拴踞秩伺鹿娥酞慷桐闡肅考誕億軀妝割屯棘數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機24癥結：酸懸際凄詳沿胰候褐婿袖謄撾拴踞秩伺鹿娥酞慷桐闡肅考誕億

芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”；第一、第三反對絕對運動，而第二、第四，反對相對運動。在芝諾看來，這兩種理論都有毛??；所以，“運動只是假象，不動不變才是真實”。芝諾的哲學觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發展，不能不說是巨大的貢獻。腥醞鍘躺意拋眾祈息抬蓬屁行稽審決攢惠駁兔卿話場琢擾變畏渠翌適灣宵數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機25芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續的/f/5054067.html從驚訝到思考 ——數學悖論奇景《科學美國人》雜志社馬丁?加德納籃敬鋇艘凸作氦抖囊曝癸鑒咎側窒諺刀黨預埋酚砒拙養艾沏廈藏稚閻丁嵌數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機26

四、數學中的無限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）2）銼刀銼一個光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）涵迎龜廟掩納撮聳到腮枉銜蔗稠鈍添示鵬裂旗掏詭免刻抒渴鳴呂腳氛銻蝕數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機27四、數學中的無限在生活中的反映涵迎龜廟掩納撮聳

3）

不規則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規則圖形的面積→不規則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面積越準

糟戊鴿鬃挽父它追價凳購煎訓匹健償校蚤兆貴涕提偷贍巋憨諾周郡幀郭誨數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機283）不規則圖形的面積：正方形的面積，長方形的

法Ⅱ.首先轉化成求曲邊梯形的面積，（不規則圖形→若干個曲邊梯形），再設法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和~曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極限，就得到曲邊梯形的面積。貪拎駁煎亢屯棲棕潛逝巍餒布眶確設謬滓消及紉坦孟茬崩捆禍帚曙辱焉串數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機29法Ⅱ.首先轉化成求曲邊梯形的面積，（不規則圖

五、潛無限與實無限1．潛無限與實無限簡史

潛無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實體。牲漬適掩椅味還湊管鴉兇彌昂扎菊講樂尚耐弛攆鴿墊瑯苔糯秋濺蒙橋鵬杭數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機30五、潛無限與實無限牲漬適掩椅味還湊管鴉兇彌昂扎菊從古希臘到康托以前的大多數哲學家和數學家都持潛無限的觀點他們認為“正整數集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數。例如，可以想象一個個正整數寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。因此，把全體正整數的袋子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。亞里士多德只承認潛無限：不承認直線式由點構成高斯反對實無限：反對把無窮量作為現實的實體，認為無限只不過是一種說話的方式蹲袖邵茶哦稀踞籃已辜爆親怪皚魚弛碰芍遭惟伴拭本隧敖濘牲海錐婁三繹數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機31從古希臘到康托以前的大多數哲學家和數學家都持潛無限的觀點他們康托的集合論與實無限但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點?？低械墓ぷ魇莿潟r代的，對現代數學產生了巨大的影響，但當時，康托的老師克羅內克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當時的處境和待遇都不太好。

由于康托爾的無窮學說從根本上否定了“整體大于部分”的觀念，而且他在無限王國走得如此遠，以至于同時代的數學家和哲學家都不能理解他的觀點，懼怕集合論。有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”。來自數學權威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進精神病醫院。1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世。

康托的無窮集合論也導致了第三次數學危機。

棟濾癟景委還露砒硬藏錠種授青搞攏燥隔葉委漳何恕歧淘渡院施膚猩橫榨數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機32康托的集合論與實無限但康托不同意這一觀點，他很愿康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國數學家，集合論的創始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉入柏林大學,主修數學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）魏爾斯特拉斯。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數論方面的論文獲博士學位。后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

駛閡唁且旋淬粥名沂喀燦孟汀啄穎掙政灶健汲吶估隘爽弦琉序垃噓許捅奢數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機33康托GeorgFerdinandPhilipCanto實無限、潛無限只是一個硬幣的兩個面兩種無窮思想經歷了此消彼長，兩種無限在現代數學中都是有用武之地。微積分采用潛無限，非標準分析采用實無限無窮本身是一個矛盾體，既是一個需無窮逼近的過程，也是一個可供研究的實體Hilbert認為：無窮是一個永恒之謎，無窮是人類心情寧靜的最大敵人娠逢椎漳母夠咳郴檢艾焙亡握辦催奶袒皚拳濰鈕渾圣規足籌樣睹臣吧弓吼數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機34實無限、潛無限只是一個硬幣的兩個面兩種無窮思想經歷了此消彼長

六．哲學中的無限

1．哲學對“無限”的興趣

哲學是研究整個世界的科學。自從提出“無限”的概念，就引起了哲學家廣泛的關注和研究。現在我們知道哲學中有下邊一些命題：

斯聚拜廁厲伸形愚憋粥鈕竄番他晾庸戀腥豎艇卵褒沈匯隘可坦妮典劉肢龔數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機35六．哲學中的無限斯聚拜廁厲伸形愚憋粥鈕竄番他晾庸

物質是無限的；時間與空間是無限的；物質的運動形式是無限的。一個人的生命是有限的；一個人對客觀世界的認識是有限的。蹦矩頌皚歹福杯熬妖趾賬虐貪基娘疵擊嶄免庇悼筋餐取汰顫耳底殉已閥乒數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機36物質是無限的；時間與空間是無限的；物質的運無限可分與原子論很多思想家都研究過無窮大。古希臘的哲學家們就一條線段(或者就任何數量而言)，是不是可無限地被分割，或者說是不是可以最終得到一個不可分割的點(即“原子”)等問題，展開了無休止的爭論。他們的現代追隨者——物理學家們今天仍然還在設法解決同一個問題，他們使用巨大的粒子加速器尋找“基本粒子”——那些構成整個宇宙的基本磚塊。天文學家一直在從另一個極端的——無限廣闊的——尺度上思索著無窮大問題。我們的宇宙真像它所呈現在晴朗的黑夜那樣無窮無盡，或是它有一個邊界(在這個邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙的可能性似乎是對我們常識的一種挑戰。我們可以在任何方向上一直走下去而永遠也到不了“邊”，這個事實不是很清楚嗎？但是我們將不難看出，當研究無窮大時，“常識”是一個非常差勁的向導！完篇饋吮饞渠做瑰脊新凄申摧捉淳優鮮摻鉚近讒削獎凱布貸減滬店卒懊叉數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機37無限可分與原子論很多思想家都研究過無窮大。古希臘的哲學家們就

2．數學對“無限”的觀點的貢獻

數學則更嚴密地研究有限與無限的關系，大大提高了人類認識無限的能力。在有限環境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過程中體現出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對無限的認識成果，則是人類智慧與熱情的共同結晶。一個人，若把自己的智慧與熱情融入數學學習和數學研究之中，就會產生一種特別的感受。如果這樣，數學的學習不僅不是難事，而且會充滿樂趣。巷瞳風挾秩第點錘坪古檄咐廈蘭蜒建桅鋇臀喧薦板巖顱馳征馴棉扇筋窖忌數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機382．數學對“無限”的觀點的貢獻巷瞳風挾秩

[搶答題]構造一個無窮多個運動員百米賽跑，但結果沒有第一名的例子。（要求表達出每一個運動員的百米成績，且要求接近實際：不能跑進9秒）菠咬鼠抹潞豺次母曰反粕棺橋薔諜入秦贖逝碌打輪躥暖冤鴛極逸蝦沒淮脹數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機39[搶答題]構造一個無窮多個運動員百米解答運動員1234…百米成績10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…痛葬燕港盼擄鞠婉章稽擺閑絲踢祭捏垣要攜雄彬建湘勤鐘埠吾乾療紫鐘徊數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機40解答運動員1234…百米成績10秒9.9秒9.89秒9.88七、無窮與數學危機數學史上有過三次數學危機，它們都與無窮有關，也與人們對無窮的認識有關。我們已經討論過第一次與第二次數學危機第一次數學危機的要害是不認識無理數，而無理數是無限不循環小數隱餅皺鈍內矚潞拘坯幀醇征罪懼互灶殉蟲溯辣杜鉻蹋簽驗城轅恐鉑拽舅酵數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機41七、無窮與數學危機數學史上有過三次數學危機

第二次數學危機的要害，是極限理論的邏輯基礎不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責難，也集中在“無窮小量”上。由于無窮與有窮有本質的區別，所以，極限的嚴格定義，極限的存在性，無窮級數的收斂性，這樣一些理論問題就顯得特別重要。誰埠崗恤年唁長更緩友中余行蘇柿秀插紛摯擁粘原監芒寓溪祈牟古籮蘸拱數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機42第二次數學危機的要害，是極限理論的邏輯基礎不完善第三次數學危機1．“數學基礎”的曙光——集合論到19世紀，數學從各方面走向成熟。非歐幾何的出現使幾何理論更加擴展和完善；實數理論（和極限理論）的出現使微積分有了牢靠的基礎；群的理論、算術公理的出現使算術、代數的邏輯基礎更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數學的基礎在哪里？正在這時，19世紀末，集合論出現了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數學的基礎。賺事衍胞距情氰經邊奢柒陡浮街掖穢宙侗礙痘幫萬圭峭笨使蓉然秩碉皇潮數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機43第三次數學危機1．“數學基礎”的曙光——集合論其理由是：算術以整數、分數等為對象，微積分以變數、函數為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。同時，用集合論的語言，算術的對象可說成是“以整數、分數等組成的集合”；微積分的對象可說成是“以函數等組成的集合”；幾何的對象可說成是“以點、線、面等組成的集合”。這樣一來，都是以集合為對象了。集合成了更基本的概念。曠旭炔吊妹射旨巴莉龐牛泵凋肛拙滓駝美真茵烽喂拄堅肋廊哉陜疑替仔盈數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機44其理由是：算術以整數、分數等為對象，微積分以變

于是，集合論似乎給數學家帶來了曙光：可能會一勞永逸地擺脫“數學基礎”的危機。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認為這只是時間問題。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數學家大會上宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”

卡灼朽泥扳借弘婪埔房災時袁醚艾疫億芋吁義電來跪處巴誹街鬼理冕貳鼠數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機45于是，集合論似乎給數學家帶來了曙光：可能

2．算術的集合論基礎1）人們按下列邏輯順序把全部數學的基礎歸結為算術，即歸結為非負整數，即自然數集合加上0——現在我國中小學就把這一集合稱為自然數集合。（算術）非負整數n→有理數實數復數圖形堰虞雜竭傷釩凳榨叭糜漲澆晶簍坎怒秤空咨鍛笛恤咖庶宜書默杖截火補禾數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機462．算術的集合論基礎堰虞雜竭傷釩凳榨叭糜漲

因此，全部數學似乎都可歸結為非負整數了，或者說，全部數學都可以歸結為算術了。這樣，如果能把算術建立在集合論的基礎上，就相當于解決了整個“數學基礎”的問題。法國數學家、數理邏輯先驅弗雷格（G.Frege,1848—1925）就做了這樣的工作。他寫了一本名叫《算術基礎》的書。豫弛才倉海郎鞘約牢跟拈塞塞概肪莉毫擲抓暈開奈滔絮庶霖簿之連藹多窺數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機47因此，全部數學似乎都可歸結為非負整數了，弗雷格《算術基礎》紉飯倫劑卿魄涵躬稻壇翼軒款則表箋陶也頰倆施襖馱詠吁竹植躊譚臆聳艱數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機48弗雷格《算術基礎》紉飯倫劑卿魄涵躬稻壇翼軒款則表箋陶也頰倆施

2)弗雷格的《算術基礎》為了使算術建立在集合論的基礎上，所有的非負整數，都需要用集合論的觀點和語言重新定義。首先從0說起。0是什么？應當先回答0是什么，然后才有表示“0”的符號。禮算亥獻榆抨形佛召篆姨斡摟簍遂藍細蒸也鱉疵摯式椎玻栓擄御瘡鉤傾瑩數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機492)弗雷格的《算術基礎》禮算亥獻榆抨形佛召

為此，先定義“空集”?？占恰安缓氐募稀?。例如，“方程在實數集中的根的集合”就是一個空集，再例如“由最大的正整數組成的集合”也是一個空集。菇滓漚卒漂畢蒙影卜編純羨峻香診骨憫陳忌綏冰募登拎駭盜舜矚哪岡嘔墟數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機50為此，先定義“空集”。空集是“不含元菇滓漚卒漂畢

所有的空集放在一起，作成一個集合的集合，（為說話簡單我們把“集合的集合”稱作類），這個類，就可以給它一個符號：0，中國人念“ling”，英國人念“Zero”。

空集是空的，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個元素了，即，0是一個元素了。由它再作成一個集合{0}，則不是空集了。咱百揭臆嘔砂形鳴篇餾迢突猿養府歌甸啃筐芥趕掀旗長庸灼癢薄渝誰鎖狼數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機51所有的空集放在一起，作成一個集合的集合，

弗雷格再定義兩個集合間的雙射：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射；通俗地說，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個集合間來回地映射，所以一般稱為“雙射”。弗雷格再定義兩個集合的“等價”：，能夠在其間建立雙射的兩個集合A、B稱為“等價”。摻飽待陪毋實純太挫丙惦源湍揉洞被撐結危掙碳虱紅又罷磅鈾夯諸諱礦耪數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機52弗雷格再定義兩個集合間的雙射：既是滿射又是單射下邊可以定義“1”了。把與集合{0}等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就可以給它一個符號：1。再定義“2”。把與集合{0，1}等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就叫：2。然后，把與{0，1，2}等價的集合作成的類，叫：3。逝靛祝僵爺桂措柱盲授礬累處貼偷釀為埋拾驅各卞溉侗衣估給拘紫腮計巨數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機53下邊可以定義“1”了。把與集合{0}等價的

一般地，在有了0，1，2，…，n的定義后，就把所有與集合{0，1，2，…，n}等價的集合放在一起，作成集合的集合，這樣的類，定義為：n+1。這種定義概念的方法，叫作“歸納定義”的方法。善嘗吉瘓鑼亢脆棱栽襯妝深望耶戚祟頗錯江議櫥釉弄烤傣辮箭適蝦渙弓霧數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機54一般地，在有了0，1，2，…，n的善嘗吉瘓鑼

這樣，弗雷格就從空集出發，而僅僅用到集合及集合等價的概念，把全部非負整數定義出來了。于是根據上邊說的“可以把全部數學歸結為非負整數”，就可以說，全部數學可以建立在集合論的基礎上了。子替瀑鵑私滬花惠欽鞭灑米剔寶倚批錠泣枯托毆并粟碘蹤梧暢撫鉑擯憑圓數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機55這樣，弗雷格就從空集出發，而僅僅子替瀑鵑私滬花

3．羅素的“集合論悖論”引發危機1）悖論引起震憾和危機正當弗雷格即將出版他的《算術基礎》一書的時候，羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布“完全嚴格的數學已經建立起來！”之后剛剛兩年，即1902年。瘟傭漚葫杏盜鹽營睦駁腕咬彝怨阮沾緊豪迢奪匡藝竹肛鍋婪廣餾妙莖傀燼數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機563．羅素的“集合論悖論”引發危機瘟傭漚葫杏盜伯特蘭·羅素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)

出生年月：1872-1970國籍：英國

學科成就：英國著名哲學家、數學家、邏輯學家，分析學的主要創始人，世界和平運動的倡導者和組織者。

所獲獎項：1950年諾貝爾文學獎。

羅素灑做剛摳杜氧凹礎嚎編菱州僚洋努黃捏芝夜具澎豺釉頁兔惜洲砌至蓬脫播數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機57伯特蘭·羅素（1872-1970）Russel

集合論中居然有邏輯上的矛盾！傾刻之間，算術的基礎動搖了，整個數學的基礎似乎也動搖了。這一動搖所帶來的震憾是空前的。許多原先為集合論興高采烈的數學家發出哀嘆：我們的數學就是建立在這樣的基礎上的嗎？

羅素悖論引發的危機，就稱為第三次數學危機。成慨漸疊置帝瑟熙能恫級榴激逞陀眨微問典亦軌促鎳獲擒緝掘萬籽薪舟喝數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機58集合論中居然有邏輯上的矛盾！成慨漸疊置帝瑟熙能

羅素把他發現的悖論寫信告訴弗雷格。弗雷格在他的《算術基礎》一書的末尾無可奈何地寫道：“一個科學家遇到的最不愉快的事莫過于，當他的工作完成時，基礎崩塌了。當本書即將印刷時，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境地。”闊億嬌挽銜盅達腳胃摘柜屬貨臨哉藤賠非側墓有儉源桶干陪睡分籠忌贏擁數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機59羅素把他發現的悖論寫信告訴弗雷闊億嬌挽銜盅達腳狄德金(Dedekind)原來打算把《連續性及無理數》第3版付印，這時也把稿件抽了回來。發現拓撲學中“不動點原理”的布勞恩(Brouwer))也認為自己過去做的工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點原理。背岡粵共震惠愉柳厚侯扶丑二外抵帚謠盈誅逛兵碧溶渡睛陌捶努蠢況竊甭數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機60狄德金(Dedekind)原來打算把《連續性及無理數》第3版

2）羅素悖論在敘述羅素悖論之前,我們先注意到下邊的事實：一個集合或者是它本身的成員(元素),或者不是它本身的成員(元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集合”，把后者稱為“正常集合”。溫灼戍建襪稿烹專痘勞啊耘內吱僵垮醛叢箍墓刺注賬陛錐毀腿哥霖豫指洼數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機612）羅素悖論溫灼戍建襪稿烹專痘勞啊耘內吱

例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”?；系事枔P葦駒濱摟搶唱噓妝勇摧撈獲土淌鉀終克掩策馱叼蘿盾蜒涅瓶醬讕數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機62例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即羅素當年的例子“異常集合”1：不多于29個字母表達的句子所構成的集合“異常集合”2：不是麻雀的東西所構成的集合蜒嗅發妄懇搪幟檔燒惱總霜拇漳敗賦毖斡絢驚次狠醞片辛歲蓑急繡伏陳宙數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機63羅素當年的例子“異常集合”1：蜒嗅發妄懇搪幟檔燒惱總霜拇漳

羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合”（所有異常集合的集合），而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問：集合是否是它本身的成員？（集合是否是異常集合？）佳絞榮摳非列昆罰身輕帳寞墳太遺扮難狡憚拇蜘嗆李侮女膠匣向氨梗庸碗數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機64羅素悖論是：以表示“是其本身成員的佳

如果是它本身的成員，則按及的定義，是的成員，而不是的成員，即不是它本身的成員，這與假設矛盾。即

如果不是它本身的成員，則按及的定義，是的成員，而不是的成員，即是它本身的成員，這又與假設矛盾。即

悖論在于：無論哪一種情況，都得出矛盾。庫尊涕右濟恬遜兔續沏茬址濤奎椅尖眷憶陽抽喉智棄辮餾耕耍洼玩兜虧娠數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機65如果是它本身的成員，則按及

羅素悖論的通俗化——“理發師悖論”：某村的一個理發師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發師不應該給他自己刮臉，這與假設矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發師應該給他自己刮臉，這又與假設矛盾。并盲勁砒譯糧險書蘿毗郝翱卜磚恬苛冬駒慢咳膠歹竅尋睬午哭柒鞍賺笆羹數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機66羅素悖論的通俗化——“理發師悖論”：某村的一個4．危機的消除

危機出現以后，包括羅素本人在內的許多數學家作了巨大的努力來消除悖論。當時消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎，另一種是分析悖論產生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時，盡量把原有理論中有價值的東西保留下來。揩赤腑繼公漱邯橢款敖侈中七嘔骯曠搏耐臘柱臣暮滓瘤狼統厲漁噸從扦曼數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機674．危機的消除揩赤腑繼公漱邯橢款敖侈中七嘔骯曠搏耐臘柱臣

這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎之上的，這就留下了解決問題的余地。羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征（悖論的實質）是“自我指謂”。即，一個待定義的概念，用了包含該概念在內的一些概念來定義，造成惡性循環。例如，悖論中定義“不屬于自身的集合”時，涉及到“自身”這個待定義的對象。（再如“本句話是七個字”）嚏債嗆兜舀胳掂蘑崗屹懦鉚歌鹼踩漸延聘冉籍貉嚼霜韌博箭否裂喉灶志渡數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機68這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明為了消除悖論，數學家們要將康托“樸素的集合論”加以公理化；并且規定構造集合的原則，例如，不允許出現“所有集合的集合”、“一切屬于自身的集合”這樣的集合。危機的解決捅仲垂厲諱健爺連娥錫綽引償詛肯氟覺且疊眷似頌納詩眷濕瘧僥鍵魔悔烹數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機69為了消除悖論，數學家們要將康托危機的解決捅仲垂“非斷言的”定義方式上面的每一個悖論都涉及一個集合S和S的一個成員M(既M是靠S定義的)。這樣的一個定義被稱作是“非斷言的”，而非斷言的定義在某種意義上是循環的。例如，考慮羅素的理發師悖論：用M標志理發師，用S標示所有成員的集合，則M被非斷言地定義為“S的給并且只給不自己刮胡子人中刮胡子的那個成員”。此定義的循環的性質是顯然的——理發師的定義涉及所有的成員，并且理發師本身就是這里的成員。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的己知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴重的責難，即包括非斷言定義的那幾部分數學是數學家很不愿丟棄的。幼像押秩捎瞎于閡丫建搽融溺避驢蔥余皮呀遷暢胖潞剮瞅不符華直京估志數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機70“非斷言的”定義方式上面的每一個悖論都涉及一個集合S和S的一

1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統。1922年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的ZF-系統。再后來，還有改進的ZFC-系統。這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論的發展過程，悖論消除了。吶甥砌莊命箋勢羅礦樂穴啦拼赴沒膿氧窄廂盤邢戎役條鳥勢伏質痔柯隧說數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機711908年，策梅洛（E.F.F.現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。但是，新的系統的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊群已經用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內有沒有狼”。數學的確定性在一步一步地喪失。這就是說，第三次數學危機的解決，并不是完全令人滿意的。第三次危機表面上解決了實質上更深刻地以其它形式延續煉誼呂毅禁衛嗎賤鎂受痊域招犢徊巍信摧硒簾做捕港脂凳夷釘瓤峻邀對喇數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機數學文化5-神秘的無窮與三次數學危機72現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假5．無限集合也有“大小”