文檔來源為文檔來源為:從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.21文檔來源為:從網絡收集整理.word版本可編輯.例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD,例1.如圖，AC平分ZBAD,CE丄AB,且ZB+ZD=180°，求證：AE二AD+BE例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD,求證：ZADC+ZB=180°例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，ZA=108°,BD平分zABC。AD+ABnCEACEB例4如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°，AD是ZCAB的平分線，DM丄AB于M,且AM二MBAD+ABnCEACEB例4如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°，【夯實基礎】作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,證明二次全等輔助線同上，利用面積倍長中線作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,證明二次全等輔助線同上，利用面積倍長中線AD方法2方法3【方法精講】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中AD是BC邊中線ACBAC作CF丄AD于F,作BE丄AD的延長線于E連接BEB方式1：延長AD到E,使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長延長MD到N使DN=MD，B方式1：延長AD到E,使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長延長MD到N使DN=MD，連接CD【經典例題】例1：AABC中，AB=5,AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD,利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F,且DF=EF,求證：BD=CE方法1方法2方法3長BE交FEDC過E作EG〃AB交BC的延長線于G,證明AEFG^ADFB過D作DG丄BC于G,過E作EH丄BC的延長線于H證明ABDG9AECH例3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點AC于F,求證：AF=EF提示：倍長AD至G,連接BG,證明ABDG9ACDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在AABC中，AB豐AC,D、E在BC上，且D交AE于點F,DF=AC.求證：AE平分ZBAC提示：BA9文檔來源為:從網絡收集整理.word版本可編輯.DE第1題圖BA9文檔來源為:從網絡收集整理.word版本可編輯.DE第1題圖方法2：倍長FE至H,連結CH例5：已知CD=AB,ZBDA=ZBAD,AE是厶ABD的中線，求證：ZC=ZBAE提示：倍長AE至F,連結DF證明AABE9AFDE(SAS)進而證明AADF9AADC(SAS)【融會貫通】1、在四邊形ABCD中，AB〃DC,E為BC邊的中點，ZBAE=ZEAF,AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數量關系，并證明你的結論提示：延長AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC2、如圖，AD為AABC的中線，DE平分ZBDA交AB于E,DF平證：BE+CF>EF提示：方法1DD第14題圖在DA上截取DG=BD，連結EG、FG證明ABDE9AGDEADCF^ADGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊倍長ED至H,連結CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：3、已知：如圖，AABC中，ZC=90。DD第14題圖在DA上截取DG=BD，連結EG、FG證明ABDE9AGDEADCF^ADGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊倍長ED至H,連結CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：提示：過T作TN丄AB于N證明ABTN9AECD2.如圖，AABC中，ZBAC=90°,AB二AC,AED是過A的一條直線，且B,C在AE的異側,BD丄AE于D,CE丄AE于E2.如圖，AABC中，ZBAC=90°,AB二AC,AED是過A的一條直線，且B,C在AE的異側,BD丄AE于D,CE丄AE于E。求證：BD=DE+CE由中點想到的輔助線EBB口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形1即如圖1,AD是AABC的中線，則S=S二（因為AABD與AACDAABDAACDAABC是等底同高的）。例1.如圖2,AABC中，AD是中線，延長AD到E,使DE二AD,DF是ADCE的中線。已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因為AD是AABC的中線，所以S=^S=1x2=1,又因CD是AACAACD￡AABCgE的中線,故S=S=1,ACDEAACD因DF是ACDE的中線，所以S=^S二丄X1二丄。ACDF2ACDE22/.ACDF的面積為丄。Z（二）、由中點應想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：ZBGE二ZCHE。證明：連結BD,并取BD的中點為M,連結ME、MF,???ME是ABCD的中位線，AM^-CD,AZMEF=ZCHE,=2?MF是AABD的中位線,AM^-AB,AZMFE=ZBGE,=2VAB=CD,AME=MF,AZMEF=ZMFE,從而ZBGE=ZCHEO

三）、由中線應想到延長中線例3.圖4,已知△ABC中，AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E,使DE=AD，則AE=2AD=2X2=4。在AACD和AEBD中，VAD=ED,ZADC=ZEDB,CD=BD，???AACD竺AEBD，???AC二BE，從而BE=AC=3。在AABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故ZE=90°,?:BD=J刀浙十DE?=十2'二建3,故BC=2BD=2訴y。例4.如圖5,已知AABC中，AD是ZBAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：AABC是等腰三角形。證明：延長AD到E,使DE=ADO仿例3可證：ABED竺ACAD,故EB=AC,ZE=Z2,又Z1=Z2,AZ1=ZE,???AB二EB,從而AB=AC，即AABC是等腰三角形。四）、直角三角形斜邊中線的性質例5.如圖6,已知梯形ABCD中，AB//DC,AC丄BC,AD丄BD,求證：AC二BD。證明：取AB的中點E,連結DE、CE,則DE、CE分別為RtAABD,RtAABC斜邊AB上的中線，故DE二CE二丄AB，因此ZCDE=ZDCEO2TAB//DC,AZCDE=Z1,ZDCE=Z2,AZ1=Z2,在AADE和ABCE中,

VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,???△ADE竺△BCE’.'.AD二BC,從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC二BD。五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分ZABC交AC于點D,CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA,CE交于點F,在△BEF和ABEC中，VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°,?△BEF竺△BEC,???EF二EC，從而CF=2CE。又Z1+ZF=Z3+ZF=90。，故Z1=Z3O在厶ABD和厶ACF中，TZ1二Z3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°,?△ABD竺△ACF’.'.BD二CF,?BD=2CE。注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：ABC的中線，且Z1=Z2,Z3=Z4，求證：BE+CF>AEF。A證明：廷長ED至M,使DM=DE,連接CM,MF。在厶BDE和ACDM中，（BD=CD（中點定義）Z1=Z5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）???△BDE竺ACDM（SAS）又VZ1=Z2,Z3=Z4（已知）

Zl+Z2+Z3+Z4=180o（平角的定義）/.Z3+Z2=90°即：ZEDF=90°.\ZFDM=ZEDF=90o在厶EDF和AMDF中ED=MD（輔助線作法）ZEDF=ZFDM（已證）DF=DF（公共邊）/.AEDF^AMDF（SAS）???EF二MF（全等三角形對應邊相等）???在ACMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）?BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：ABC的中線，求證：AB+AO2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去圖51證明：延長AD至E,使DE二AD,連接BE,CE圖51?ADABC的中線（已知）???BD二CD（中線定義）在EBD中BD=CD（已證）Z1=Z2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）???△ACD竺AEBD（SAS）???BE二CA（全等三角形對應邊相等）???在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

???AB+AC>2AD。練習：1如圖，AB=6,AC=8,D為BC的中點，求AD的取值范圍。4，如圖，AB=CD,E為BC的中點，ZBAC二ZBCA，求證：AD=如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，ZBAC=ZBAE=AoAE。已知4，如圖，AB=CD,E為BC的中點，ZBAC二ZBCA，求證：AD=如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，ZBAC=ZBAE=AoAE。已知△ABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、A作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。BB5.已知：如圖ADABC的中線，AE=EF，求證D常見輔助線的作法有以下幾種：D1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線°D求證：AM丄CC。外DDCEDFC邊為直角邊”的性質解題，思C維模式是全等變換中的“對折”．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．文檔來源為文檔來源為:從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔來源為文檔來源為:從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.一）、倍長中線（線段）造全等1：“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_-A2：如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC上，DE丄DF,D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.//A\3：如圖，AABC中，BD=DC=AC,E是DC的中點，求證：AD平分ZBAEC中考應用%--\（09崇文二模）以AABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE,ZBAD"CAE=90。,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點?探究:AM與DE的位置關系及數量關系．（1）如圖①當AABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是線段AM與DE的數量關系是；（2）將圖①中的等腰RtAABD繞點A沿逆時針方向旋轉0°（0〈°〈90）后,如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由.二）、截長補短1?如圖，AABC中，AB=2AC,AD平分，BAC，且AD=BD,求證：CD丄AC2：如圖,AC〃BD,EA,EB分別平分ZCAB,ZDBA,CD過點E,求證;AB=AC+BDADAQ3：如圖，已知在ABC內，ZBAC=600,ZC=400,ZADAQ3：如圖，已知在ABC內，ZBAC=600,ZC=400,ZABC的角平分線。求證：BQ+AQ二AB+BP4如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分ZABC，求證：ZA+ZC=18005:如圖在△ABC中，AB>AC,Z1=Z2,P為AD上任意一點，求證;AB-AC>PB-PC中考應用08海淀一模)例題講解：一、利用轉化倍角，構造等腰三角形當一個三角形中出現一個角是另一個角的2倍時三角形?如圖①中，若ZABC=2ZC，如果作BD平分ZABC，貝仏DBC是等腰三角形；如圖②中，若ZABC=2ZC，如果延長線CB到D,使BD=BA,連結40,則厶ADC是等腰三角形；如圖③中，若ZB=2ZACB，如果以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作ZACD=ZACB，交BA的延長線于點。，則厶DBC是等腰三角形.-D1、如1圖，△ABC中，AB=AC,BD丄ACA交AC于D.求證：ZD^q^|^BAC.DC:ZA=90°.‘△ABD中，ZACB=2ZB?bC汽AC.求i，行線，構造等腰三角形當一個三角形中出現角平分線和平行線②，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖①中，若AD平分乙BAC,ADIIEC，貝仏ACE是等腰三角形；如圖②中，AD平分ZBAC,DE〃AC,貝仏ADE是等腰三角形；如圖③中，AD平分ZBAC,CE〃AB,貝仏ACE是等腰三角形；如圖④中，AD平分ZBAC,EF〃AD,貝仏AGE是等腰三角形=AC,在AC上取點P,過點P作癢丄BC,交BA的E=AP.2、如二、■利用角平分線+B3、E，G戔于點如圖，△ABC中,垂足為點F.求證:如圖，AD平分ZBA且E、\F分別求證：EF//AB.DCBDCD三、利用角平分線+垂線，構造等腰三角形E③④當一個三角形中出現角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形?如圖1中，若AD平分ZBAC,AD丄DC,貝AEC是等腰三角形.5、如圖2,已知等腰RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BF平分ZABC,CDBF的延長線于D。求證：BF=2CD.E4、ABC中ADEACCD圖1四：其他方法總結1．截長補短法6、如圖，已知：正方形ABCD中，ZBAC的平分線交BC于E,求證：AB+BE=AC．2.倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構造全等三角形,分散條件集中在一個三角形內。B7、如圖(7)AD是厶ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證：AC=BF8、已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等AB17文檔來源為:從網絡收集整理.word版本可編輯.E-BCAC腰直角三角形，如圖，求證EF=2AD。3.平行線法（或平移法）D若題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt△，有時可作出斜邊的中線.9、AABC中，ZBAC=60°,ZC=40°AP平分ZBAC交BC于P，BQ平分ZABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ.說明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ,連OD，構造全等三角形，即“截長補短法”⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：①ADB亠如圖（1）,過O作OD〃BC交AC于。，則4AdO^^ABO來解決.C圖（1）D"如圖（2）,過O作DE〃BC交AB于D,交AC于E,則厶ADO9AAQO,AABO9AAEO來解決.如圖（3）,過P作PD〃BQ交AB的延長線于。，則4APD^^APC來解決.OCCB作dM丄A且AB=AD,DCPOD.58°C．MC.3個D.4③52°B．48°④如圖（4）,過P作PD〃BQ交AC于。，則4ABP^^ADP來解決.10、已知：如圖，在△ABC中，ZA的平分線AD交BC于D,交AD的延長于M.1求證：AM=-（AB+AC）厶鞏固練習1、（2009年浙江省紹興市）如圖，DE分別為△ABC的AC,形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處.若ZCDE=48°A.42BBC邊的中點，抹

，則ZAPD等于（2（2009柳州）如圖所示，圖中三角形的個數共有（）A.1個B.2個3、（2009寧夏）如圖，AABC的周長為32,且AB二AC,AD丄BC于D,△ACD的周長為24,那么AD的長為.（09年達州）長度為2cm、3cm、4cm、5cm的四條線段，從中任取三條線段能組成三角形的概率是如圖，在△ABC中，AD丄BC于D,且ZABC=2ZC.求證：CD=AB+BD.如圖，在AABC中，ZBAC、ZBCA的平分線相交于點O,過點O作DE〃AC,分別交AB、BC于點D、E.試猜想線段AD、CE、DE的數量關系，并說明你的猜想理由.，，4、5、6、7、（2009年長沙）如圖，E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE￡D證：AF=