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3.2.1函數的單調性3.2.1函數的單調性24681012141618202224
108642-20θ/oCt/h某市一天24小時的氣溫變化圖y=f(x),x∈[0,24]請問氣溫在哪段時間內是逐漸升高的或下降的?一、探究概念——直觀感知“形”24681012141618問題探究:(1)對于函數y=f(x),如果在區間D上,當x=1時,y=1,當x=2時,y=3,
那么y是否隨著x的增大而增大?xy21013一、探究概念——具體感知“數”高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:xy21013一、探究概念——具體感知“數”高中數問題探究:(2)對于函數y=f(x),如果在區間D上,當x=1,2,3,4時,對應地y=1,2,3,5,
那么y是否隨著x的增大而增大?xy134201235高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:xy134201235高中數學人教A版必修第一冊第問題探究:(3)對于函數y=f(x),如果在區間D上,當x1<x2<x3<……<xn時,對應地y1<y2<y3<……<yn,
那么y是否隨著x的增大而增大?若x取無數個值呢?x應該取區間D內的任意實數xy0xny1y2y3ynx2x1x3任意性高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:若x取無數個值呢?x應該取區間D內的任意實數xy0文字語言:當x≥0時,y隨x的增大而增大;x增大y增大x0123………f(x)=x2………圖形語言:圖象從左到右是逐漸f(x1)<f(x2).x1,x2∈[0,+∞),當x1<x2時,都有符號語言:x1x2f(x1)f(x2)上升的;有序性同區間性任意性二、深度學習——精確刻畫“性質”0149高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)文字語言:x增大yx0123………f(x)=x2………圖形語
一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D?I:
如果那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增.
特別地,當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時,我們就稱它是增函數.x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),
如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減,那么就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間.
如果x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減.
特別地,當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時,我們就稱它是減函數.f(x1)f(x2)x10x2xyf(x1)f(x2)x10x2xy同區間性有序性任意性高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D?I:問題探究:函數f(x)=
在定義域上的單調性?單調區間為(-∞,0),(0,+∞)注意:單調區間一般不能取并集,應該用“和”或“,”連接f(x)在(-∞,0)上單調遞減f(x)在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上單調遞減f(x)在(0,+∞)上單調遞減√×高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:單調區間為(-∞,0),(0,+∞)f(x)在(-函數f(x)在區間D上單調遞增(1)定義:
x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),
作差法即x1-x2<0(2)等價結論:
x1,x2∈D,當x1≠x2時,
等價于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]>0
等價于三、深化應用——思路靈感
f(x1)-f(x2)<0x1-x2與
f(x1)-f(x2)同號高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)函數f(x)在區間D上單調遞增作差法即x1-x2<0(2)等函數f(x)在區間D上單調遞減(1)定義:
x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),
作差法即x1-x2<0
f(x1)-f(x2)>0(2)等價結論:
x1,x2∈D,當x1≠x2時,x1-x2與
f(x1)-f(x2)異號
等價于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0
等價于高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)函數f(x)在區間D上單調遞減作差法即x1-x2<0證明:x1,x2∈R且x1<x2又k>0,∵x1<x2
,例1.根據定義證明函數f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函數.∴函數f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函數.取值作差變形定號結論∴x1-x2<0∴k(x1-x2)<0,(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2)∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).f(x1)-f(x2)=∴當k>0時,f(x)=kx+b是R上的增函數;當k<0時,f(x)=kx+b是R上的減函數.作差法三、深化應用——嚴謹規范為了定號,所以因式分解高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)證明:x1,x2∈R且x1<x2又k>0,∵x1<x2,證明:定義域為(0,+∞),V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2取值作差變形定號結論∴V2-V1>0,∴p1-p2>0,即p1>p2.
例2.物理學中的玻意耳定律(k為正常數)告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減小時,壓強p將增大.試對此用函數的單調性證明.∵V1<V2
,又k>0,∵V1,V2∈(0,+∞),∴V1V2>0,∴函數
是(0,+∞)上的減函數.即當體積V減小時,壓強
p將增大.徹底因式分解數學建模數學抽象數學運算高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)證明:定義域為(0,+∞),V1,V2∈(0,+∞)且V1∵x1,x2∈(1,+∞),證明:x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2∴x1>1,x2>1,∴x1x2>1,x1x2-1>0又x1<x2
,取值例3.根據定義證明函數在區間(1,+∞)上單調遞增.∴,即y1<y2∴函數在區間(1,+∞)上單調遞增.作差變形定號結論∴x1-x2<0,高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)∵x1,x2∈(1,+∞),證明:x1,x2∈(1,+∞)常用的變形技巧:
(1)因式分解:當原函數是多項式函數時,通常作差變形后進行因式分解;(2)通分:當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解;(3)配方:當原函數是二次函數時,作差后可以考慮配方,便于判斷符號;(4)分子有理化:當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化;(5)分離常數法:當原函數是分式函數時,可以考慮分離常數后再作差,例如.因式分解出x1-x2或x2-x1高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)常用的變形技巧:
(1)因式分解:因式分解出x1-x2或x2變式訓練:一題多解、一題多變、多題一解、多題歸一(3)函數f(x)在區間[2,6]上單調,則實數a的取值范圍為
;已知函數f(x)=x2-2(a+1)x+3.(1)函數f(x)的單調遞增區間是[3,+∞),則實數a的值為
;(2)函數f(x)在區間[3,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍為
;{a|a≤1或a≥5}(4)函數f(x)在區間[2,6]上不單調,則實數a的取值范圍為
.a=2注意體會兩者的細微差別:f(x)的單調遞增區間是[3,+∞);f(x)在區間[3,+∞)上單調遞增.{a|a≤2}{a|1<a<5}a+1a+1a+1a+1對稱軸x=a+1四、拓展延伸——步步生漣漪高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)變式訓練:一題多解、一題多變、多題一解、多題歸一(3)函數f1.如圖是定義在區間[-5,5]上的函數y=f(x)的圖象,則函數y=f(x)的單調遞增區間是
,單調遞減區間是
.[-5,-2],(1,3](-2,1],(3,5]五、鞏固提升——優化思維高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)1.如圖是定義在區間[-5,5]上的函數y=f(x)的圖象,2.若x1,x2∈(1,2)且x1≠x2時,則以下式子可以說明函數f(x)在(1,2)上單調遞減的是()
A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)-f(x2)>0
C.
[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0
D.C高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)2.若x1,x2∈(1,2)且x1≠x2時,則以下式子可本節課主要學習了哪些內容?1.知識層面:①單調性的定義②利用定義法證明單調性利用圖象法觀察單調性2.數學思想:3.學科核心素養:數學抽象、邏輯推理、數學建模直觀想象、數學運算、數據分析轉化化歸、數形結合、分類討論類比思想、函數與方程(不等式)思想六、課堂小結——回眸百媚生高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)本節課主要學習了哪些內容?1.知識層面:①單調性的定義2.數學·科·網
作業布置:1.課本第79頁練習的第2、3題;2.探究對勾函數的圖象與性質.高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)學·科·網作業布置:高中數學人教A版必修第一利用幾何畫板探究對勾函數的單調性.探究結論:對勾函數在(-∞,)上單調遞增在(,0)上單調遞減在(0,)上單調遞減在(,+∞)上單調遞增拓展延伸——優化思維高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)利用幾何畫板探究對勾函數謝謝高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)謝高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》3.2.1函數的單調性3.2.1函數的單調性24681012141618202224
108642-20θ/oCt/h某市一天24小時的氣溫變化圖y=f(x),x∈[0,24]請問氣溫在哪段時間內是逐漸升高的或下降的?一、探究概念——直觀感知“形”24681012141618問題探究:(1)對于函數y=f(x),如果在區間D上,當x=1時,y=1,當x=2時,y=3,
那么y是否隨著x的增大而增大?xy21013一、探究概念——具體感知“數”高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:xy21013一、探究概念——具體感知“數”高中數問題探究:(2)對于函數y=f(x),如果在區間D上,當x=1,2,3,4時,對應地y=1,2,3,5,
那么y是否隨著x的增大而增大?xy134201235高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:xy134201235高中數學人教A版必修第一冊第問題探究:(3)對于函數y=f(x),如果在區間D上,當x1<x2<x3<……<xn時,對應地y1<y2<y3<……<yn,
那么y是否隨著x的增大而增大?若x取無數個值呢?x應該取區間D內的任意實數xy0xny1y2y3ynx2x1x3任意性高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:若x取無數個值呢?x應該取區間D內的任意實數xy0文字語言:當x≥0時,y隨x的增大而增大;x增大y增大x0123………f(x)=x2………圖形語言:圖象從左到右是逐漸f(x1)<f(x2).x1,x2∈[0,+∞),當x1<x2時,都有符號語言:x1x2f(x1)f(x2)上升的;有序性同區間性任意性二、深度學習——精確刻畫“性質”0149高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)文字語言:x增大yx0123………f(x)=x2………圖形語
一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D?I:
如果那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增.
特別地,當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時,我們就稱它是增函數.x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),
如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減,那么就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間.
如果x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減.
特別地,當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時,我們就稱它是減函數.f(x1)f(x2)x10x2xyf(x1)f(x2)x10x2xy同區間性有序性任意性高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D?I:問題探究:函數f(x)=
在定義域上的單調性?單調區間為(-∞,0),(0,+∞)注意:單調區間一般不能取并集,應該用“和”或“,”連接f(x)在(-∞,0)上單調遞減f(x)在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上單調遞減f(x)在(0,+∞)上單調遞減√×高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)問題探究:單調區間為(-∞,0),(0,+∞)f(x)在(-函數f(x)在區間D上單調遞增(1)定義:
x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),
作差法即x1-x2<0(2)等價結論:
x1,x2∈D,當x1≠x2時,
等價于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]>0
等價于三、深化應用——思路靈感
f(x1)-f(x2)<0x1-x2與
f(x1)-f(x2)同號高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)函數f(x)在區間D上單調遞增作差法即x1-x2<0(2)等函數f(x)在區間D上單調遞減(1)定義:
x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),
作差法即x1-x2<0
f(x1)-f(x2)>0(2)等價結論:
x1,x2∈D,當x1≠x2時,x1-x2與
f(x1)-f(x2)異號
等價于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0
等價于高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)函數f(x)在區間D上單調遞減作差法即x1-x2<0證明:x1,x2∈R且x1<x2又k>0,∵x1<x2
,例1.根據定義證明函數f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函數.∴函數f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函數.取值作差變形定號結論∴x1-x2<0∴k(x1-x2)<0,(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2)∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).f(x1)-f(x2)=∴當k>0時,f(x)=kx+b是R上的增函數;當k<0時,f(x)=kx+b是R上的減函數.作差法三、深化應用——嚴謹規范為了定號,所以因式分解高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)證明:x1,x2∈R且x1<x2又k>0,∵x1<x2,證明:定義域為(0,+∞),V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2取值作差變形定號結論∴V2-V1>0,∴p1-p2>0,即p1>p2.
例2.物理學中的玻意耳定律(k為正常數)告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減小時,壓強p將增大.試對此用函數的單調性證明.∵V1<V2
,又k>0,∵V1,V2∈(0,+∞),∴V1V2>0,∴函數
是(0,+∞)上的減函數.即當體積V減小時,壓強
p將增大.徹底因式分解數學建模數學抽象數學運算高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)證明:定義域為(0,+∞),V1,V2∈(0,+∞)且V1∵x1,x2∈(1,+∞),證明:x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2∴x1>1,x2>1,∴x1x2>1,x1x2-1>0又x1<x2
,取值例3.根據定義證明函數在區間(1,+∞)上單調遞增.∴,即y1<y2∴函數在區間(1,+∞)上單調遞增.作差變形定號結論∴x1-x2<0,高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)∵x1,x2∈(1,+∞),證明:x1,x2∈(1,+∞)常用的變形技巧:
(1)因式分解:當原函數是多項式函數時,通常作差變形后進行因式分解;(2)通分:當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解;(3)配方:當原函數是二次函數時,作差后可以考慮配方,便于判斷符號;(4)分子有理化:當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化;(5)分離常數法:當原函數是分式函數時,可以考慮分離常數后再作差,例如.因式分解出x1-x2或x2-x1高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)常用的變形技巧:
(1)因式分解:因式分解出x1-x2或x2變式訓練:一題多解、一題多變、多題一解、多題歸一(3)函數f(x)在區間[2,6]上單調,則實數a的取值范圍為
;已知函數f(x)=x2-2(a+1)x+3.(1)函數f(x)的單調遞增區間是[3,+∞),則實數a的值為
;(2)函數f(x)在區間[3,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍為
;{a|a≤1或a≥5}(4)函數f(x)在區間[2,6]上不單調,則實數a的取值范圍為
.a=2注意體會兩者的細微差別:f(x)的單調遞增區間是[3,+∞);f(x)在區間[3,+∞)上單調遞增.{a|a≤2}{a|1<a<5}a+1a+1a+1a+1對稱軸x=a+1四、拓展延伸——步步生漣漪高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)高中數學人教A版必修第一冊第三章3.2.1《函數的單調性》課件(21張PPT)變式訓練:一題多解、一題多變、多題一解、多題歸一(3)函數f1.如圖是定義在區間[-5,5]上的函數y=f(x)的圖象,則函數y=f(x)的單調遞增區間是
,單調遞減區間是
.[-5,
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