11高中數(shù)學(xué)新人教版必修一知識講解及練習(xí)附答案函數(shù)及其表示方法編稿：審稿：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運(yùn)用 .(2)能正確認(rèn)識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法.了解每種方法的優(yōu)點(diǎn).在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù) ^(3)求簡單分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的概念.函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x),xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x A}叫做函數(shù)的值域.要點(diǎn)詮釋：1)A、B集合的非空性；(2)對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性； (3)A中元素的無剩余性；(4)B中元素的可剩余性。.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 .由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等 (或?yàn)橥缓瘮?shù))；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān) ^.區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.區(qū)間表示：{x|axb}(a,b);{x|a<x<b}=[a,b]；{x|axb}a,b；{x|axb}a,b；{x|xb}-,b;{x|ax}a,要點(diǎn)二、函數(shù)的表示法優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量求函數(shù)值

優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢

優(yōu)點(diǎn)：不需計算就可看出函數(shù)值.函數(shù)的三種表示方法：優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量求函數(shù)值

優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢

優(yōu)點(diǎn)：不需計算就可看出函數(shù)值解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系..分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.要點(diǎn)三、映射與函數(shù).映射定義：設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應(yīng)法則 f,對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從 A到B的映射；記為f:ZB.象與原象：如果給定一個從集合 A到集合B的映射，那么A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要點(diǎn)詮釋：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為f(a)..如何確定象與原象對于給出原象要求象的問題，只需將原象代入對應(yīng)關(guān)系中，即可求出象 .對于給出象，要求原象的問題，可先假設(shè)原象，再代入對應(yīng)關(guān)系中得已知的象，從而求出原象；也可根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，由象逆推出原象 ^.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系：設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，若f:A-B是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).要點(diǎn)詮釋：(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定義域，值域=象集合..函數(shù)定義域的求法(1)當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合 .具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次哥的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義 ^(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示..函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題， 雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后， 值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形， 利用熟知的基本函數(shù)的值域， 或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s ^【典型例題】類型一、函數(shù)的概念例1:下列式子是否能確定y是x的函數(shù)？x2y22;Jx1Jy11;【答案】(1)不能(2)能(3)不能【解析】(1)由x2y22,得y 。2"^,因此由它不能確定y是x的函數(shù)，如當(dāng)x1時，由它所確定的y值有兩個，即y=1.(2)由6―TJy―11,得y(1xx―1)21,當(dāng)x在x|x1中任取一個值時，由它可以確定唯一的y值與之對應(yīng)，故由它可以確定 y是x的函數(shù).(3)由x20,得x,x0故由它不能確定y是x的函數(shù).【總結(jié)升華】判斷由一個式子是否能確定 y是x的函數(shù)的程序是：對于由式子有意義所確定的 x的取值的集合中任意一個x的值，由式子是否可確定唯一的一個 y的值與之對應(yīng)，也可以看由式子解出的 x的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自變量在定義域內(nèi)取任意一個值，其函數(shù)值必須對應(yīng)著唯一的值.【高清課程：函數(shù)的概念與定義域 356673例2】例2.下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個函數(shù)，為什么？f(x)(x1)0；g(x)1f(x)x；g(x)xx2f(x)x2；g(x)(x1)2f(x)|x|;g(x)Vx7【思路點(diǎn)撥】對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立【答案】(1)不是(2)不是(3)不是(4)是【解析】⑴f(x)與g(x)的定義域不同，前者是 x|x1,xR,后者是x|x0,xR,因此是不同的函數(shù);(2)g(x)|x|,因此f(x)與g(x)的對應(yīng)關(guān)系不同，是不同的函數(shù)；⑶f(x)與g(x)的對應(yīng)關(guān)系不同，因此是不相同的函數(shù)；(4)f(x)與g(x)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù).【總結(jié)升華】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應(yīng)法則 f,其中核心是對應(yīng)法則f,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征.只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：(1)定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；(2)對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的 .(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.舉一反三：【變式1】判斷下列命題的真假(1)y=x-1與y(1)y=x-1與yx1(2)y\x2與y=|x|是同一函數(shù);⑶y(3/Xj3與y(、*)2是同一函數(shù);X X(X0)」 2 一“工f(x) 與g(x)=x-|x|是同一函數(shù).X2 x(x0)【答案】(1)、⑶是假命題，(2)、(4)是真命題⑴、(3)⑴、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.例3.求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).⑴f(x)x-1

x2⑴f(x)x-1

x2-3(2)f(x)j3x-8； 1⑶f(x).2-x ..x6.(1)是分式，只要分母不為 0【思路點(diǎn)撥】由定義域概念可知定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍即可；(2)是二次根式，需根式有意義； .(1)是分式，只要分母不為 0【答案】(1)( ，邪)(先何(后)(2)8, (3) 6,23【解析】f(x)與」的定義域?yàn)閤2-3w0, x品定義域?yàn)椋? ,曲)(x/3j3)h/3,);x3TOC\o"1-5"\h\zf(x)?3x-8,由3x-80得，x8,定義域?yàn)?, ;\o"CurrentDocument"3 3 1r2x07口x2f(x)v2x/ ,由 行 止乂域?yàn)?6,2.x6x60x-6【總結(jié)升華】使解析式有意義的常見形式有①分式分母不為零；②偶次根式中，被開方數(shù)非負(fù) .當(dāng)函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時， 要使這多個式子對同一個自變量 x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解 .舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示) ：⑴f(x) —3—; (2)f(x)—彳^;(3)f(x)TfxTx.|x1|2 x1【答案】(1)(-8,-1)u(-1,3)U(3,+8)；⑵ 3,1 (1, );(3)0,1.【解析】一，、 ， 3(1)當(dāng)|x-1|-2=0,即x=-1或x=3時， 無息義，當(dāng)|x-1|-2W0,即xw-1且xw3時，分式有息義,所以函數(shù)的定義域是(-8,-1)U(-1,3)U(3,+8)；(2)要使函數(shù)有意義，須使 x10,即x 3且x 1,所以函數(shù)的定義域是 3,1 (1,)；x30⑶要使函數(shù)有意義，須使1x0,,所以函數(shù)的定義域?yàn)?0,1.x0.【總結(jié)升華】小結(jié)幾類函數(shù)的定義域:(1)如果f(x)(2)如果f(x)(3)如果f(x)(4)如果f(x)各集合白勺交集)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R;是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合;是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合;(即求(5)滿足實(shí)際問題有意義.類型三、求函數(shù)的值及值域例4.已知f(x)=2x2-3x-25,(1)f(2) ,g(2); (2)f(g(2))g(x)=2x-5,求:【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)符號的意義,得.【答案】(1)-23,-1;(2)-20,【解析】g(f(2))；可以知道-51；⑶(3)f(g(x)) ,g(f(x))f(g(2))表示的是函數(shù)f(x)在x=g(2)處的函數(shù)值，其它同理可8x2-46x+40,4x2-6x-55.(1)f(2)=2X22-3X2-25=-23;g(2)=2X2-5=-1;(2)f(g(2))=f(-1)=2X(-1)2-3X(-1)-25=-20;g(f(2))=g(-23)=2X(-23)-5=-51 ;(3)f(g(x))=f(2x-5)=2X(2x-5)2-3X(2x-5)-25=8x2-46x+40;g(f(x))=g(2x【總結(jié)升華】數(shù)之分，如2-3x-25)=2X(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.求函數(shù)值時，遇到本例題中 (2)(3)(這種類型的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù),f(g(x))，里層函數(shù)就是g(x)外層函數(shù)就是f(x)一般有里層函數(shù)與外層函其對應(yīng)關(guān)系可以理解為xgg(x)ff(g(x)),類似的g(f(x))為xff(x)gg(f(x)),類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果例5.求值域(用區(qū)間表示)：(1)y=x2-2x+4,⑵f(x) .?^;⑶f(x)甘【答案】(1)[7,28][312];(2)五;(3)(-巴1)U(1,+OO).【解析】(1)法一：配方法求值域.2 2yx22x4(x1)23,①當(dāng)x4,1時，ymax28,ymin7，，值域?yàn)椋?,28］;②當(dāng)x2,3時,ymax 12,ymin3,值域?yàn)閇3,12].法二：圖象法求值域二次函數(shù)圖象(如下圖)的開口向上，對稱軸為x1,所以函數(shù)在區(qū)間,1上單調(diào)遞減，在區(qū)間1,上單調(diào)遞增.所以①當(dāng)x4,1時，值域?yàn)椋?28];②當(dāng)x2,3時，值域?yàn)閇3,12].(2)yJx2-2x37（x-1）22拒，值域?yàn)榻?(2)y2x3-51-4—,”“—0,y1,??.函數(shù)的值域?yàn)?-巴1)U(1,+8).x3x3x31x3【總結(jié)升華】（1）求函數(shù)的值域問題關(guān)鍵是將解析式作變形，通過觀察或利用熟知的基本函數(shù)的值域，逐步推出函數(shù)的值域.（2）求函數(shù)的值域沒有固定的方法和模式，要靠自己經(jīng)驗(yàn)的積累，掌握規(guī)律.求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系（解析式）的作用，而且要注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.別忘了，函數(shù)的圖象在求函數(shù)的值域中也起著十分重要的作用.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的值域：y(3)1x2*一、yk(4)y54xx2(1)1,;(2)y|y(3) 1,1；(4)(1)即所求函數(shù)的值域?yàn)?,y2x2x2(x3)7y(3)1x2*一、yk(4)y54xx2(1)1,;(2)y|y(3) 1,1；(4)(1)即所求函數(shù)的值域?yàn)?,y2x2x2(x3)7y2,即函數(shù)的值域?yàn)閥|yy2x2xY函數(shù)的定義域?yàn)?1,0R21x22,y1,1,即函數(shù)的值域?yàn)镮y.54x.(x2)29一2一(x2) 9所求函數(shù)的值域?yàn)轭愋退摹⒂成渑c函數(shù)【高清課程：函數(shù)的概念與定義域例6.判斷下列對應(yīng)哪些是從集合例1】A到集合類型四、映射與函數(shù)【高清課程：函數(shù)的概念與定義域例6.判斷下列對應(yīng)哪些是從集合例1】A到集合B的映射，哪些是從集合A到集合B的函數(shù)?(1)A=｛直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)｝B=｛（x,y）|xR,yR｝,對應(yīng)法則是：A中的點(diǎn)與B中的（x,y)對應(yīng).A={0,1,2},B={4,1,0},對應(yīng)法則是f:xA={0,1,2},B={0,1,1},對應(yīng)法則是f:B中唯2B中唯【思路點(diǎn)撥】根據(jù)映射定義分析是否滿足“ A中任意”【解析】(1)是映射，不是函數(shù)，因?yàn)榧?A、B不是數(shù)集，是點(diǎn)集；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形白外接圓)與之對應(yīng),這是因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)可以確定一個圓；不是函數(shù).(3)是映射，也是函數(shù)，函數(shù)解析式為f(x)0,(x2n)1,(x2n1)(4)是映射，也是函數(shù).(5)對于集合A中的元素“0”，由對應(yīng)法則“取倒數(shù)”后，在集合 B中沒有元素與它對應(yīng)，所以不是映射,也不是函數(shù).【總結(jié)升華】判斷一個對應(yīng)是不是映射和函數(shù)， 要根據(jù)映射和函數(shù)的定義去判斷,函數(shù)一定是映射，反過來,映射不一定是函數(shù)，從數(shù)集到數(shù)集的映射才是函數(shù).舉一反三：(3)是映射，也是函數(shù)，函數(shù)解析式為f(x)0,(x2n)1,(x2n1)(4)是映射，也是函數(shù).(5)對于集合A中的元素“0”，由對應(yīng)法則“取倒數(shù)”后，在集合 B中沒有元素與它對應(yīng)，所以不是映射,也不是函數(shù).【總結(jié)升華】判斷一個對應(yīng)是不是映射和函數(shù)， 要根據(jù)映射和函數(shù)的定義去判斷,函數(shù)一定是映射，反過來,映射不一定是函數(shù)，從數(shù)集到數(shù)集的映射才是函數(shù).舉一反三：【變式1】下列對應(yīng)哪些是從A到B的映射？是從A到B的——映射嗎？是從A到B的函數(shù)嗎?(1)A=N(2)A=NB={1B=N+(3)A=RB=Rf:xy=(-1)x;y二|x-3|;1x(4)A=Z(5)A=N(6)A=N【解析】B二N|B=ZB二N|⑴、(4)、y二|x|y二|x|y二|x|.(5)、(6)是從A到B的映射也是從A至ijB的函數(shù)，但只有(6)是從A至ijB的一一映射;(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A至ijB的函數(shù).類型五、函數(shù)解析式的求法例7.例7.求函數(shù)的解析式- 2一,一-f(x)x2x,求f(2x1)；(2)_ 2(2)f(x1)2x1,求f(x);f(x).一一一1f(x).已知f(x)2f(-)3x2,求

x【答案】(1)f(x)4x28x3；【答案】(1)f(x)4x28x3；(2)f(x)2x24x3；(3)f(x)x-2.

x【解析】求函數(shù)的表達(dá)式可由兩種途徑(1)用代入法，f(2x_ 21)(1)用代入法，f(2x_ 21)(2x1)2(2x1)4x28x3.(2)法一：換元法1,所以f(t)1,所以f(t)_ 22(t1)212t24t3即：f(x)2x24x3.法二：湊配法_ _2 _ 2 2 _f(x1)2x1=2(x1) 4(x1)3,所以f(x)2x4x3.(3)yf(x)2f(-)3x2①，用-代替上式中的x,得f(1)2f(x)32②x x x x由①②聯(lián)立，消去 f(」)，得xf(x)x22x故所求的函數(shù)為f(x)x-2.x【總結(jié)升華】(1)由yf(x)求yfg(x),一般使用代入法；(2)湊配法和換元法有時可以并用，而換元法更具有一般性，同時，在使用換元法時一定要注意新元的取值范圍； (3)若解析式中的兩個變量具有互為倒數(shù)或互為相反數(shù)的特征，可聯(lián)立方程組用消元法解出 y f(x)的解析式.舉一反三：【變式1】已知f(x+1)=x2+4x+2,求f(x).【答案】f(x)=x2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1;(法2)令x+1=t,..x=t-1,?.f(t)=(t-1) 2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x2+2x-1;(法3)設(shè)f(x)=ax2+bx+c貝Uf(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+ca(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2a1 a12ab4b2 f(x)x22x1；abc2c1【總結(jié)升華】求函數(shù)解析式常用方法：(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數(shù)法等.注意：用換元法解求對應(yīng)法則問題時，要關(guān)注新變元的范圍.類型六、函數(shù)的圖象例8.作出下列函數(shù)的圖象.2x1 o(1)y1x(x{2,1,01,2})；(2)y ；(3)y|x2x|1.x1【思路點(diǎn)撥】先把要畫的函數(shù)圖象進(jìn)行變形，依據(jù)所學(xué)習(xí)過的基本函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象。【解析】(1)2,先作函數(shù)2x1【解析】(1)2,先作函數(shù)2x1x13y一的圖象x1,0,1,2}，，圖象為一條直