由NordriDesign提供至誠至理求真求新山東淄博市教學研究室朱恒杰2018年7月6日

對數學核心素養“數學抽象”的認識及思考由NordriDesign提供至誠至理山東淄博市教學研究室

本次課標修訂（2017年版）是對2014年版的繼承和發展，在2014年版課標基礎上，凝練提出了本學科的6個核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。如何理解和認識這6個核心素養，結合昨天鮑教授和章建躍主編提出的要有具體樣例支撐、要注意數學學科核心素養與具體教學內容的關聯的思想（顯性化），以核心素養“數學抽象”為例，談一點我個人的粗淺認識。本次課標修訂（2017年版）是對2014年版的繼2數學抽象（內涵、價值、表現、水平）數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。數學抽象（內涵、價值、表現、水平）3數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁；運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。

數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和4水平素養數學抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則，能夠在特例的基礎上歸納并形成簡單的數學命題，能夠模仿學過的數學方法解決簡單問題。能夠解釋數學概念和規則的含義，了解數學命題的條件與結論，能夠在熟悉的情境中抽象出數學問題。能夠了解用數學語言表達的推理和論證；能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想。在交流的過程中，結合實際情境解釋相關的抽象概念。水平素養數學抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和5水平二能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則，能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題。能夠用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則；理解數學命題的條件與結論；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系。能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證；能夠提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想。在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現象。水平二能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則，能夠將已6水平三能夠在綜合的情境中抽象出數學問題，并用恰當的數學語言予以表達；能夠在得到的數學結論基礎上形成新命題；能夠針對具體問題運用或創造數學方法解決問題。能夠通過數學對象、運算或關系理解數學的抽象結構，能夠理解數學結論的一般性，能夠感悟高度概括、有序多級的數學知識體系。在現實問題中，能夠把握研究對象的數學特征，并用準確的數學語言予以表達；能夠感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想。在交流的過程中，能夠用數學原理解釋自然現象和社會現象。水平三能夠在綜合的情境中抽象出數學問題，并用恰當的數學語言予7一、獲得數學的概念、或深化概念

1、函數概念（變量說、對應說），擴大認知邊界（），深化對函數的理解和認知；2、三角函數（初中直角三角形、高中單位圓），突出函數周期性的本質；3、單調性（定義，

）一、獲得數學的概念、或深化概念）8

二、抽象結構關系獲得結論二、抽象結構關系獲得結論9

從結構抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知識，是可以放在一起加以認知的，并且還可以提高我們的認知水平。所以，利用數學知識的這種內在聯系特征，可以將高中數學知識進行歸類和“濃縮”，減輕知識負擔，提高學習效率。

數學對象不斷變化而關系（結構）在抽象意義上基本不變，結論具有統一性（一般性）。

遷移（具體知識不好遷移，但抽象后）：

例2，球體與圓錐是同類知識（抽象結構意義）

從結構抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知10

雖然不嚴謹，需要嚴格證明；但他提供探究的方向、研究的思路；也可能在未知的領域有創新性的發現。對象和關系的不斷抽象，而結論具有概括性或一致性，使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。

三、形成數學方法、思想、模型

例如，中點坐標公式（簡單、以簡馭繁、大概念、統攝性）雖然不嚴謹，需要嚴格證明；但他提供探究的方向、研究的112、梯形中位線（幾何對應代數）2、梯形中位線（幾何對應代數）123、圓臺中截面

除去具體屬性，數學的本質更清楚、更簡單；數學內在要求也是以簡馭繁、以少馭多、以“不變”應“萬變”、舉一反三，形成觀念、思想、模式或結構。（最后剩下典型的思想方法。“少則得，多則惑”，若滿腦子都是知識，這樣的學生可能學不好數學）。

四、數學抽象也是方法論，指導數學學習3、圓臺中截面除去具體屬性，數學的本質更清楚13

我們高三數學復習備考的基本觀點是：

1、復習內容要集約化——呈現共性。按照同類為伍，近類為鄰的原則,用抽象的觀念合并同類項，突出主干知識，聚焦核心概念，以主干知識帶動全面復習，形成一、二、三輪復習由面到線、由線到點的“面—線—點”“瘦身”復習策略。2、復習方式要聚焦“類”教學，發掘“支撐思想”

——通性通法和典型方法——舉一反三、觸類旁通，實現能力遷移。我們高三數學復習備考的基本觀點是：14以上是粗淺看法，不對之處，請批評指正！

謝謝大家！以上是粗淺看法，不對之處，請批評指正！15由NordriDesign提供至誠至理求真求新山東淄博市教學研究室朱恒杰2018年7月6日

對數學核心素養“數學抽象”的認識及思考由NordriDesign提供至誠至理山東淄博市教學研究室

本次課標修訂（2017年版）是對2014年版的繼承和發展，在2014年版課標基礎上，凝練提出了本學科的6個核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。如何理解和認識這6個核心素養，結合昨天鮑教授和章建躍主編提出的要有具體樣例支撐、要注意數學學科核心素養與具體教學內容的關聯的思想（顯性化），以核心素養“數學抽象”為例，談一點我個人的粗淺認識。本次課標修訂（2017年版）是對2014年版的繼17數學抽象（內涵、價值、表現、水平）數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。數學抽象（內涵、價值、表現、水平）18數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗；養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁；運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。

數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和19水平素養數學抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則，能夠在特例的基礎上歸納并形成簡單的數學命題，能夠模仿學過的數學方法解決簡單問題。能夠解釋數學概念和規則的含義，了解數學命題的條件與結論，能夠在熟悉的情境中抽象出數學問題。能夠了解用數學語言表達的推理和論證；能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想。在交流的過程中，結合實際情境解釋相關的抽象概念。水平素養數學抽象水平一能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和20水平二能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則，能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題。能夠用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則；理解數學命題的條件與結論；能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系。能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證；能夠提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中的數學思想。在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現象。水平二能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則，能夠將已21水平三能夠在綜合的情境中抽象出數學問題，并用恰當的數學語言予以表達；能夠在得到的數學結論基礎上形成新命題；能夠針對具體問題運用或創造數學方法解決問題。能夠通過數學對象、運算或關系理解數學的抽象結構，能夠理解數學結論的一般性，能夠感悟高度概括、有序多級的數學知識體系。在現實問題中，能夠把握研究對象的數學特征，并用準確的數學語言予以表達；能夠感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想。在交流的過程中，能夠用數學原理解釋自然現象和社會現象。水平三能夠在綜合的情境中抽象出數學問題，并用恰當的數學語言予22一、獲得數學的概念、或深化概念

1、函數概念（變量說、對應說），擴大認知邊界（），深化對函數的理解和認知；2、三角函數（初中直角三角形、高中單位圓），突出函數周期性的本質；3、單調性（定義，

）一、獲得數學的概念、或深化概念）23

二、抽象結構關系獲得結論二、抽象結構關系獲得結論24

從結構抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知識，是可以放在一起加以認知的，并且還可以提高我們的認知水平。所以，利用數學知識的這種內在聯系特征，可以將高中數學知識進行歸類和“濃縮”，減輕知識負擔，提高學習效率。

數學對象不斷變化而關系（結構）在抽象意義上基本不變，結論具有統一性（一般性）。

遷移（具體知識不好遷移，但抽象后）：

例2，球體與圓錐是同類知識（抽象結構意義）

從結構抽象意義上講，三角形、扇形和圓是同一類知25

雖然不嚴謹，需要嚴格證明；但他提供探究的方向、研究的思路；也可能在未知的領域有創新性的發現。對象和關系的不斷抽象，而結論具有概括性或一致性，使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。

三、形成數學方法、思想、模型

例如，中點坐標公式（簡單、以簡馭繁、大概念、統攝性）雖然不嚴謹，需要嚴格證明；但他提供探究的方向、研究的262、梯形中位線（幾何對應代數）2、梯形中位線（幾何對應代數）273、圓臺中截面

除去具體屬性，數學的本質更清楚、更簡單；數學內在要求也是以簡馭繁、以少馭多、以“不變”應“萬變”、舉一反三，形成觀念、思想、模式或結構。（最后剩下典型的思想方法。“少則得，多則惑”，若滿腦子都是知識，這樣的學生可能學不好數學）。

四、數學抽象也是方法論，指導數學學習3、圓臺中截面除去具體屬性，數學的本質更清楚28

我們高三數學復習備考的基本觀點是：

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