康托爾與集合論演講者：蔣晨杰

PPT制作：于祥雨組員：蔣晨杰吳連帥張開云于祥雨主要內容介紹集合論誕生歷程三次數學危機集合論趨于完善啟發介紹格奧爾格·康托爾格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數學家，19世紀數學偉大成就之一——集合論創建人。生于俄國圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統丹麥商人，母親出身藝術世家。1856年全家遷居德國法蘭克福。先在一所中學，后在威斯巴登一所大學預科學校學習。康托爾先后就學于蘇黎世大學、哥廷根大學、法蘭克福大學和柏林大學，主要學習哲學、數學和物理。個人事跡康托爾，1862年入蘇黎世大學學工,翌年轉入柏林大學攻讀數學和神學，受教于庫默爾（Kummer，ErnstEduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，KarlTheodorWilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克羅內克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以處理普通整系數不定方程ax2+by2+cz2=0求解問題論文獲博士學位。畢業后受魏爾斯特拉斯直接影響，由數論轉向嚴格分析理論研究，很快嶄露頭角。他在哈雷大學任教（1869-1913）早期證實了復合變量函數三角級數展開唯一性，繼而用有理數列極限定義無理數。1872年成為該校副教授，1879年任教授。因為學術觀點上受到沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥，雖在1887年恢復了健康，繼續工作，但晚年一直病魔纏身。191月6日在德國哈雷（Halle）-維滕貝格大學從屬精神病院逝世。康托爾興趣廣泛，極有個性，終生信仰宗教。早期在數學方面興趣是數論，1870年開始研究三角級數并由此造成19世紀末、20世紀初最偉大數學成就——集合論和超窮數理論建立。除此之外，他還努力探討在新理論創建過程中所包括數理哲學問題.1888-1893年康托爾任柏林數學會第一任會長，1890年領導創建德國數學家聯合會并任首屆主席。集合論誕生歷程

集合論研究開端：十九世紀初，許多迫切問題得到處理后，出現了一場重建數學基礎運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過實數點集。1874年，德國數學家康托爾在著名《克雷爾數學雜志》上發表了關于無窮集合論第一章革命性文章。從1874年到1884年，康托爾一系列關于集合文章，奠定了集合論基礎。他對集合所下定義是：把若干確定、有區分（不論是詳細或抽象）事物合并起來，看作一個整體，其中各事物稱為該集合元素。格奧爾格·康托爾集合是數學一個基本分支，在數學中占據著一個極其獨特地位，其基本概念已滲透到數學全部領域。假如把當代數學比作一座無比輝煌大廈，那么能夠說集合論正是組成這座大廈基石，由此可見它在數學中主要性。其創始人康托爾也以其集合論成就被譽為對二十世紀數學發展影響最深學者之一。集合集合論受排擠如同每一個新事物出現一樣，集合論一經問世就遭到許多數學家及其它學者激烈反對。當初權威數學家克羅內克(Kronecker)非常敵視康托爾集合論思想，時間達整整十年之久，法國數學大家龐加萊(Poincare)則預測后一代人將把集合論看成一個疾病。在猛烈攻擊下與過分用腦思索中，康托爾本人一度成為這一激烈論爭犧牲品，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神瓦解。然而烏云遮不住太陽，經歷二十余年后，集合論最終取得了世界公認。克羅內克AND龐加萊克羅內克，德國數學家。對代數和代數數論，尤其是橢圓函數理論有突出貢獻。他主要貢獻在于努力統一數論、代數學和分析學研究。克羅內克數學觀對后世有極大影響。亨利·龐加萊，法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家。他被公認是19世紀后四分之一和二十世紀初領袖數學家，是對于數學和它應用含有全方面知識最終一個人。二十世紀初集合論已得到數學家們贊同。數學家們樂觀地認為從算術公理系統出發，只要借助集合論概念，便能夠建造起整個數學大廈。在19第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣告“……數學已被算術化了。我們能夠說，現在數學已經到達了絕正確嚴格。”然而這種自得情緒并沒能連續多久。英國哲學家羅素(Russell)就很懷疑數學這種嚴密性，他經過三年苦思冥想，于19找到了一個能證實自己觀點簡單明確“羅素悖論”。很快，集合論是有漏洞消息快速就傳遍了數學界。集合論漏洞羅素羅素（Russell），英國哲學家、數學家、邏輯學家、歷史學家，無神論或者不可知論者，也是上世紀西方最著名、影響最大學者和和平主義社會活動家之一，1950年諾貝爾文學獎得主，同時被認為是與弗雷格、維特根斯坦和懷特海一同創建了分析哲學。羅素悖論羅素悖論還有一些較為通俗版本，如剪發師悖論。在某個城市中有一位剪發師，他廣告詞是這么寫：“本人剪發技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城全部不給自己刮臉人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示赤誠歡迎！”來找他刮臉人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉人。可是，有一天，這位剪發師從鏡子里看見自己胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？假如他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉人”，他就要給自己刮臉，而假如他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉人”，他就不該給自己刮臉。剪發師悖論號稱“天衣無縫”、“絕對嚴密”數學陷入了自相矛盾之中。從此整個數學基礎被動搖了，由此引發了數學史上第三次數學危機。剪發師悖論三次數學危機第一次數學危機：無理數發覺——第一次數學危機。希帕索斯提出一個問題：邊長為1正方形其對角線長度是多少？他造成了數學史上第一個無理數誕生。掀起當初數學界上一場巨大風暴。直接動搖畢達哥拉斯學派數學信仰。第二次數學危機無窮小量取值大小——源于微積分工具使用。微積分在很多疑難問題利用中及其簡單，不過不論是牛頓，還是萊布尼茲所創建微積分理論都不是嚴格。對于無窮小量是不是0看法引發了數學史上第二次危機。第三次數學危機 悖論產生。在康托爾集合論被公認沒多久，19，一個震驚數學界消息傳出：集合論存在漏洞。這就是英國數學家羅素提出著名羅素悖論。公理化集合論誕生危機產生后，眾多數學家投入到處理危機工作中去。19，德國數學家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化方法來消除悖論。他認為悖論出現是因為康托爾沒有把集合概念加以限制，康托爾對集合定義是含混．策梅羅希望簡練公理能使集合定義及其含有性質更為顯然。策梅羅公理化集合論以后演變成ZF或ZFS公理系統。從此原本直觀集合概念被建立在嚴格公理基礎之上，從而防止了悖論出現。這就是集合論發展第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在19以前由康托爾創建集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論嚴格處理。它保留了樸素集合論有價值結果并消除了其可能存在悖論，因而較圓滿地處理了第三次數學危機。公理化集合論建立，標志著著名數